CHAPITRE V

DÉTERMINATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES QUI ENTRENT DANS LES FORMULES DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.

29. Les six constantes que l'intégration introduit dans les formules du mouvement elliptique, se nomment les éléments de Corbite. Ce sont elles qui fixent sa nature, sa position dans Tespace, et Tinstant du passage par le périhélie. Nous allons nous proposer dans ce chapitre de déterminer ces éléments d'après quelques circonstances du mouvement supposées connues.

' Le cas le plus simple est celui où la position de la planète m, sa vitesse, et la direction de cette vitesse sont données pour un instant quelconque, pour Tépoque, par exemple, d'où l'on compte le temps, ^, et que nous supposerons être l'origine du mouvement. Soient x, Y, z les coordonnées de m pour cet instant, rapportées à trois axés passant par le centre de M supposé immobile; -r» -r5 -7- seront les vitesses dont m * ^ dt dt dt

e3t animé parallèlement aux mêmes axes, et ces quantités pourront être regardées comme connues, puisque la vitesse initiale de m est donnée par hypothèse en intensité et en direction. Il ne s'agit donc plus que

d'exprimer en fonction de x, Y, z, — ? ^ ? ^ les six éléments a, ^, a, <p , / et oa.

2gâ THÉORIE ANALYn<^UE

Si l'on fait, pour abréger, ^ = x', -^ :^ y', ^ = z%

les équations (b) et (c) du n*^ 20 donneront d'abord les trois suivantes :

XY'— X'Y=C, X'Z — X^'=C', XZ' — Y'Z=^C".

D'ailleurs, en supposant c^ -h c'^ -h c"^ = â^j on a, même numéro,

c = Arcosy, 6*'= — ^sin^p cosa, c"=: Arsin ç sina.

Ces trois équations feront connaître immédiatement Tinclinaison (p du plan de l'orbite et la longitude a de son nœud sur le plan fixe passant par le centre de M ; ou aura ensuite pour déterminer le demi-paramètre k^ l'équation k = \jc^ + d^ + c"^ = yJiia (i — e*), d'où l'on tirera la valeur de l'excentricité e lorsque celle du grand axe 2 a sera déterminée. Pour cela, l'équation (e) du n® SjO donne

an ^

On aura donc ain$i le demi-grand axe de l'orbite, et il ne restera plus à connaître que les deux constantes /et (ô.

La première n'a été introduite dans les fornaules du mouvement elliptique que par Vintégration qui a donné la valeur de r en <; si l'on suppose donc ^ =: o dans ces formules, et qu'on désigne par u^ la valeur de Tanomalie excentrique qui répond au temps ^ = o, on aura

«/=: «^ — esini/^, R = ût(i — ecoswj. [b)

Ou aura donc, en éliminant u, la valeur de / en ^

puisque les valeurs de a et de e sont déjà déterminées par ce qui précède.

La constante w n'est introduite dans les formules que par Tintégratiôn de l'équation entre r et i^. Si Ton compte l'angle i^ à partir de l'intersection du plan de l'orbite avec le. plan fixe ou de la ligne des nœuds, qu'on nomme v^ et p) les valeurs de i' et i/ relatives à l'époque / =; o, l'équation {z) du n*^ 25, en désignant par a la longitude du nœud ascendant et faisant S = o, donnera

tanffi' = — ^^^ -•

^ ' COSÇ

Ou a d'ailleurs, par rapport au plan fixe, tang^^; = I.

On aura donc l'angle i^^ qui se rapporte à l'origine du temps t en fonction de x, de Y et des constantes a et (p, déjà déterminées; l'équation aux sections coniques donnera ensuite

, . ail: ff») H / X

COS(i^, ~ G)) = ^J {C)

La constante w sera déterminée par cette équation eu fonction de quantités connues, et Ton aura par conséquent la position du périhélie sur l'orbite. Les six éléments <7, e, a, ^, /, w de la section conique que décrit m autour du foyer d'attraction, seront donc entièrement connus.

L'expression précédente de a et celle de k sont sus-v ceptibles de prendre une forme plus simple; en effet, si l'on désigne par v la vitesse initiale de m, il est

agS THÉORIE ANALYTIQUE

clair que Ton a v* = x'* + y" 4- z'*, et l équation {a) devient

La valeur du grand axe de l'orbite, et par conséquent le temps périodique, ne dépendent donc que de la distance primitive de m au foyer d'attraction et de la vitesse de projection. L'axe 2 a est positif dans l'ellipse; il est infini dans la parabole, et négatif dans l'hyperbole. L'orbite décrite par /«, dans son mouvement autour de M, sera donc une ellipse, une parabole

ou une hyperbole, selon que* l'on aura ^ < \/—>

y z=:i/^, v > \/—\ et il est à remarquer que la

direction de la vitesse initiale n'influe pas sur l'espèce de la section coniquç.

En substituant pour c, c*', c" leurs valeurs dans l'équation h} = c^+c'^ -^ c''*, on a

-p est la vitesse dont le corps m est animé dans le sens

du rayon vecteur; si l'on désigne donc par/j l'angle que fait la direction de la vitesse initiale v avec le

rayon r, on aura-^ = v cos>3, en substituant pour k

sa valeur sl^ia[\ — e^) dans l'équation précédente, elle devient ainsi

, «v R'v'sin'Tj

Ou voit doqc que le demi-paramètre a(i — e*) de Torbite ne dépend que de la distance primitive de m à M et de la partie vsinyj de la vitesse v perpendiculaire au rayon vecteur, et qui tend à faire tourner le corps m autour de M. Si rj = 90®, ou si la vitesse initiale est perpendiculaire au rayon vecteur R, et si

l'on a en même temps v == i/^? l'orbite décrite est

un cercle. En effet, en substituant pour v sa valeur dans réquation précédente^ et remplaçant a par sa valeur tirée de l'équation (g), on trouve dans ce cas fl= R et 6 = o. Ce résultat, d'ailleurs, est conforme à la théorie des forces centrales, puisque dans ce cas la

force centrifuge — est égale à la force d'attraction —^ comme cela doit avoir lieu dans le cercle.

30. L'équation (e) du n*^ 20, qui nous a servi à déterminer le grand axe de la section conique, est trèsremarquable en ce qu'elle donne la vitesse dont le corps m est animé dans son mouvement relatif autour de M, indépendamment de la forme de l'orbite ellip-^^ tique qu'il décrit. En effet, si l'on nomme V cette

vitesse, on a généralement V* =^ -~-^ 5 et par

conséquent

D'où l'on voit que la vitesse V ne dépend que du grand axe a a, et nullement de l'excentricité de l'orbite. Il s'ensuit d'abord, comme nous l'avons dit n*'22^ que le temps périodique en est pareillement indépen-

3oo THÉORIE ANALYTIQUE

dant; mais ce résultat n*est lui-même qu'unct conséquence particulière d'une relation générale qui existe entre les deux rayons vecteurs menés aux extrémités d'un arc elliptique, la corde qui sous-tend cet arc, et le temps employé à le parcourir. Pour développer cette propriété du mouvement elliptique, re})renons les formules de ce mouvement, savoir :

Soient t' le temps qui répond à une autre position quelconque de la planète /?ï, et r', u\ v' ce que deviennent r, «, {^ relativement à cette nouvelle position; on aura

t ail c»)

r'= «' (a' -^esina'), r'=«(i — <?cos«'), /•' = — ^^ —-