I + ^COS

Si Ton retranche l'expression de t de celle de ^', on aura

t' — t = à" {u! — u -— esina'4- esinw).

C'est le temps que la planète emploie à décrire l'arc elliptique compris entre les deux rayons r et r'. Si Ton fait, pour abréger, t* — 7 = 2Ô, u! — ii r=z *iSj w' -h w == 2 j', et qu'on observe que

' sin u — sin w = a sin cos = 2 sm s co^s\

on aura

ô = a'(^ — esin^cos^), [d)

Nommons c la corde qui joint les extrémités des deux rayons r et r', s^* — v sera l'angle qu'ils comprennent entre eux, ej^fen considérant le triangle formé par ces

DU SYSTÈME DU MONDE. Soi

trois droites, on aura

c* = r' -f- r'* — 2 /r' cos(('' — v) ; équation qu'on peut écrire ainsi :

(r+7"')^— c^=!2rr'[n-cos(t''— p)]=4rr'cos*(î!^^j. [e)

Substituons dans cette équation, à la place des angles V et p', leurs valeurs en u et u\ Si Ton compare entre elles les deux valeurs de r, on trouve aisément

•^,. as/i— e^sinu acosu-^ae ^- ' ' '''*•''• '*» smi^ = .» 5 cosi^= ; ,...., , ,>**-.

on aurait de même

, a i/.i — e' sin a' , a ces u' — ae sm/=-^^^^ -, , COSi>'= -, j

d'ailleurs

rr' = a^ (i — e cosw) (i — e cosz/')

= a^[i — e(coswH-cosw') + e^coswcosw'].

En observant que cos(i^' — i')= cos(^ cosi^'-f- sin v sin v\ on aura donc

rr' [i + co^[v' — pj] =fl' ji-l- cos{a' — u)— 2 e (cosm H-cos w')-|- ^^[i-i- cos(a'-|- //)]} , OU bien

=a' ces' 2£cos ces l-^'cos' |( ^ '

=fl' (cos j — e cos / )'.

Faisons pour abréger /•-+- r'-hc = 2p, r4-r'--c=a7,

3oa THÉORIE ANALYTIQUE

ce qui donne (r-f- r')*— c^= ^pq et r-h /'=/> H- q; en vertu des équations {e) et (/), on aura

^Jpq = a [coss — ccos^).

En substituant de même pour r et r' leurs valeurs en u et u' dans l'équation p 4- 9 == r + r', on trouvera

^4- qz=ia\7. — e(c08«-|-C0Sw')] = 2flr(l — £cOS5COS5'). {g)

Si Ton tire de cette équation la valeur de ecoss' et qu'on la substitue dans la précédente, on aura

et, par suite,

• ___ [a ^ p){a^ g) + ylpq{^a ^ p){ia'-^ eus ^ s — ^ -

^-^^ Si l'on suppose donc

= cosz, ^ = cosz ,