COS2-+-COS
* Reprenons maintenant l'équation {d) qui exprime le temps employé par Ja planète à parcourir l'arc elliptique sous*tendu par la corde c. Si l'on élimine ecos^
DU SYSTÈME DU MONDE. 3ô3
au moyen de Féquation (g), on trouve
équation qui ne contient déjà plus, comme on voit, l'excentricité e. Si Ton y substitue pour ^ et tangj leurs
valeurs, en observant que — ^ = cosr-hcosz',
on aura
«'— t = ^'(z'— 2 — sinz'-h sinz); {h)
expression très-simple où le temps est exprimé en fonction de la corde de Tare parcouru, et des deux rayons vecteurs menés à ses extrémités. C'est le beau théorème qiï'Euler avait trouvé le premier pour la parabolej'et que Lambert est ensuite parvenu, par des considérations géométriques, à étendre à Fellipse et à l'hyperbole.
Si l'on développe l'arc z' en série par rapport à son sinus, on aura
3«sinV 3^5sin*z' 4.5 "^ 4-6.7
série d'autant plus convergente que le grand axe 2 a sera plus considérable. Si ce grand axe devenait infini, l'ellipse se changerait en parabole; on aurait simplement alors, en remettant pour sins' sa valeur^
tous les autres termes de la série s'annulant par la siip-
3o4 THÉORIE ANALYTIQUE
position de rt = — On aurait de même
et par conséquent
c'est l'expression du temps employé à décrire Tare de parabole que sous-tend la corde c. Nous étions déjà parvenus à cette expression (n** 27); elle est d'un grand usage dans la théorie des comètes.
T^ grand axe ia est négatif dans l'hyperbole; les valeurs de cosz et cosz' deviennent alors plus grandes que l'unité, et par conséquent les arcs z et z\ auxquels ces cosinus se rapportent, sont imaginairQ3. Si Ton nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on a c^*^~^= cosjz -h sj—i sinr, d'où l'on tire
on a de même
log(cosz-4- y/— I sinz);
z' = --= log (cos z' -f- V — I sin z!).
La formule (A), en y changeant a en — a, donne donc pour l'hyperbole,
^__^^|r >/=Tsinz'±v/=Tsinz 1
[ — log(cos3'-+- V^— I sinz')itlog(cosa-+- v^ — i smz)j
expression de laquelle on fera disparaître les imaginaires en substituant pour cosz et cos 2/ leurs va-
DU SYSTEME DU MONDE. 3o5
leurs. Si l'on fait pour plus de simplicité cos z = ^ et cosz'=^', on aura
