L- iog(y-h v^/*- i)±iog(r -f- v^r»- i)J
La formule {h)j qui donne le temps indépendam* ment de l'excentricité, doit encore avoir lieu quand Tellipse indéfiniment aplatie se change en une ligne droite; cette formule exprime alors le temps qu'un corps mû sur le grand axe mettrait à s'avancer vers le foyer placé à l'autre extrémité. Or, en considérant la chute rectiligne d'un corps attiré vers un centre fixe, ce corps partant du repos à la distance 2 ^, on trouvera que le temps qu'il emploie à parcourir l'espace p' '— p est exprimé par cette formule
t' — t = a' {zf -- z — sinz'-f- sinz), . dans laquelle on fait, pour abréger,
i- = COSJ5', ' = COSZ.
Cette expression doit être identique avec l'équation (A); ce qui donne
a — p' na — (r-f-r'-f-c) a — p aa — {r-+-r' — c)
et par conséquent
, r-f-r'rl-c r-l-r' — c
d'où il suit que le temps que la planète emploie à parcourir l'arc sous-tendu par la corde c, est préciséement le même que le corps mettrait à décrire le long
âo
3o6 THÉORIB ANALYTIQUE
du grand axe le même espace c en partant de la distance p'. Si Ton suppose p = o, p' m ^a^ on aura
f '— / = a^ TT, en nommant n la demi-circonférence, dont le rayon est i ; c'est le temps que le mobile emploie à parcourir le grand axe sa, et il est égal à la durée d'une demi-révolution de la planète /n, ce qui est conforme au théorème précédent.
On voit donc qu'il suffit de la moindre force tangentielle à l'aphélie pour changer le mouvement rectiligne d'un corps attiré vers un centre fixe, en un mouvement de révolution autour de ce centre; mais le temps que le corps met à descendre vers le foyer reste le même dans les deux cas.
Il existe toutefois une différence essentielle entre ces deux mouvements; dans le dernier, la planète m, après avoir atteint l'extrémité du grand axe, revient au point dont elle était partie. Dans le mouvement rectiligne, au contraire, le corps parvenu au foyer d'attraction, passe au delà, et s'en écarte en vertu de sa vitesse acquise d'une distance égale à la hauteur dont il était descendu, en sorte que ce n'est qu'après deux révolutions de la planète qu'il se retrouve avec elle au point de départ {*).
51 . Supposons maintenant que Ton connaisse deux lieux de la planète dans son orbite, et le temps employé à parcourir l'espace qu'ils comprennent; on peut encore, dans ce cas, en conclure tous les éléments de l'orbite. En effet, désignons par X, Y les coordonnées
(*) roir les Notes à la fin du volume.
rectangulaires de m, rapportées au plan et au grand axe de son orbite, on aura
X — rcos^, Y = rsin(^;
on a d^ailleurs
tf (l— e') f y.
r= — ^ '■ = ail — €cosw):
d'où Ton tire (n« 20)
X =r rt cosM — ae^ Y = a \/i — e* sin u ;
équations dans lesquelles on peut substituer pour u sa valeur déterminée par Féquation (4), du même numéro . Soient œ^ jr^ z, les trois coordonnées de m par rapport à un plan fixe quelconque, passant par le centre de M, tù Tangle que forme le grand axe de Torbite avec son intersection sur le plan fixe, a la longitude de cette intersection comptée de Taxe des jc, et 9 Tinclinaison mutuelle de ces deux plans ; soient enfin X' et Y' les coordonnées de m rapportées à la commune intersection du plan de Torbite et du plan fixe; on aura
X'= rcos(p — «), Y'= rsin((^ — w),
d'où Ton tire, en substituant pour rcosi^ et rsini^ leurs valeurs,
X' = Xcos« H- Ysinw, Y'= — Xsinw-4^ Ycoso.
Cela posé, on trouvera par les règles ordinaires de la transformation des coordonnées, en mettant pour X' et Y' les valeurà pt'écédentes,
J^= (X cosw -h Y sin») cosa -+- (Xsinw — Y cos») cosy sina, J = (Xcosw -f- Ysinw)sina — (Xsino) — Ycosw)cosçcosa, z = — (X sin« — Y GOsa>) sinç.
Le second lieu de la planète fournira trois équations
3o8 THÉORIE ANALYIIQUE
semblables^ et en nommant x\y\ z' les coordonnées de m relatives à ce nouveau point, on aura six équations entre lessix quantités connues jc, y^ z, od ^y\ z' et les six constantes r?, e, f ^ a, /, d), et par conséquent tout ce qui est nécessaire pour déterminer ces arbitraires. Mais comme l'anomalie excentrique u est donnée en fonction du temps, que nous supposons connu, par une équation transcendante, le problème ne peut pas se résoudre dans ce cas algébriquement, à moins cependant que l'on ne suppose très-petit l'intervalle de temps écoulé entre les passages de la planète par les deux points donnés. Dans ce cas, les coordonnées x\y\ z' peuvent se réduire en suites convergentes ordonnées par rapport au temps ^; et comme nous aurons occasion d'en faire usage dans la théorie des comètes, nous allons développer ici ces séries.
32. Si l'on regarde les variables x, y^ z qui déterminent à chaque instant la position de la planète ou de la comète 7n, comme des fonctions du temps <, et qu'on nomme x. Y, z les valeurs de ces variables relatives à l'époque où < = o, et x^ y^ z leurs valeurs relatives à une autre époque quelconque, on aura en général
dt dr 1.2 dt^ 1.2.3
dY ^ . d^Y /» rf»Y i' I ,,x
^ (U rfr» 1.2 ^'1.2.3 1
dz ^ d^z r d^z t^
dt ' dr 1.2 dr^ 1.2.3 les coefficients différentiels^? -^-j? —? etc., désignant
DU SYSTÈME DU MONDE. Sog
ici ce que deviennent les différences ^5 -^pi -f- y etc. , lorsqu'on y fait t=zo.
Les équations différentielles du mouvement elliptique donnent, en faisant jx = i ,
'dF~^7^^ "^"~~r^' dF'^^'P'
Si Ton différentie successivement la première de ces équations, et que, pour abréger, on fasse
rdr x€ix -{' jrdf -^ zdz
^'^'dt~ di '
on aura
d^x 3f l €lx
aMx /3 «^ __ 3.5.52 l\ 2.3.sdx
dt* ~ \r^Jt 7' "^ r7 ^ ^ r* di '^
et pour avoir de mên^e les différences successives de j* et de z, il suffira de changer simplement x en j- et en z dans les expressions précédentes.
Si Ion suppose <=o dans ces équations, o:,^, z, r, s^
dx dy dz y dx dY dz ^.
H' Yt' dt ^^ cl^^«ge«t en X, Y, z, R, s, ^, ^, -• & Ton effectue ensuite les substitutions dans les équations (A:), et que, pour abréger, on fiasse
dx , dY , d^ , ds ,
HF — ^' 'di—^' ^"-^' "Sf""^'
et
V=i— i.-il-+-i?-lL /3s^ 3.5.S' i\ t'
R' 1.2"*" R* 1.2.3"*" \ii*' K' "*"?/ 1.2.3.4"^*"'
" Jk' 1.2.3"^ K* 1.2.3.4 ■^••'
on trouve
jc = X V -h x'U, j = yV + Y'U, a = zV + z'U. (/)
Ces expressions donneront les valeurs des coor-données x, j^ z relatives à un instant quelconque en fonction des coordonnées x, Y, z, qui se rapportent à répoque où Ton compte < = o, dès différences premières et secondes de ces quantités et du temps écoulé depuis cette époque.
33. Si l'on suppose donc, comme dans le n^5i^ que l'on connaisse deux lieux de la planète m dans son orbite, en substituant dans les équations précédentes, pour X, Y, z, leurs valeurs relatives au premier point donné de l'orbite, et pour ;c, j-j z et t^ leurs valeurs relatives au second, en ne portant l'approximation que jusqu'aux troisièmes puissances du temps, on aura trois équations qui donneront les valeurs des trois quantités x', y', z', et l'on déterminera celles des six constantes a^ e, ç, a, Z, «, comme nous l'avons fait n^ 29.
Il e^t bon de remarquer que les deux quantités s et s' déterminent immédiatement deux des principaux éléments de Torbite, le grand axe et l'excentricité. En effet, les équations (e) ^t (rf), n** 20, en remplaçant h
et k par leurs valeurs et — par 5, donnent
d'où, en difiPérentiant et divisant par rdfy on tire
DU SYSTÈME DU MONDE. 3ii
Si dans ces équations on substitue à la place de r, s et / leurs valeurs relatives à Tépoque où < = o, elles donneront
- = s', a(i — e*) = aR s^. (m)
On aura donc ainsi les valeurs de a et de e. On voit de plus que les quantités que nous avons désignées par s et s', et qui entrent dans les valeurs de V et U, . ne dépendent que de la figure de l'orbite et sont indépendantes de sa position. Dans la parabole, le grand axe *xa est infini, et le demi-paramètre /i (i — e^) est double delà distance périhélie; en nommant donc D cette distance, les équations précédentes donneront dans ce cas
1 = 8', D = R-is^
54. Enfin la figure de l'orbite peut encore être déterminée par les formules du numéro précédent, dans le cas où l'on connaît seulement les trois rayons vecteurs r, r\ r'\ et les temps tett^ employés par le mobile à parcourir les intervalles qui les séparent. En effet, si Ton ajoute entre elles les trois équations (/) après les avoir élevées au carré, qu'on observe que x^ + J"^ -^ z^ = r^j on aura
r^ = (X^ 4- Y* + Z^) V^ + 2 (XX' 4- YY' -H ZZ') VU H-(X'*-4'Y'^-+-Z'»)U^
On a d'ailleurs (n^* 32 et 33)
X^ + Y^ -+- Z^ = R% XX' -+- YY' -f- ZZ' = S,
^ a Si
On aura donc
H = R^ V^ -h 2sVU + (; + s") U».
Cette équation donnera \a^ valeur de r relative à un temps t quelconque, lorsque les quantités R, s et s' relatives à l'époque, seront déterminées.
Supposons que Ton fixe l'origine du temps, qu'oin peut prendre à volonté, à l'instant où le raybn vecteur de m est égal à r ; qu'on nomme t et t\ les intervalles de temps qui séparent les passages de la planète par les trois points dont les rayons vecteurs ^ont doi\né$, on aura
i'^= H V- -h asVU + (7 + s') U%
V et U' désignant ce que deviennent V et U lorsqu'on y change t en /'. .
On aura donc deux équations. entre les inconnues s et s', au moyen desquelles on pourra déterminer leurs valeurs. Elles donneront immédiatement le grand axe, et l'excentricité par les formules (w); on aura ensuite l'angle compris entre le rayon r et le périhélie par la formule (c)(no 2»).
35. C'est en compara^nt les positions des planètes observées à différentes époques, qu'oji a déterminé les éléments de leurs orbites ; çt comme ces corps ne sont janiais à d'assez grandes distances de la Terre pour échapper aux instruments astronomiques, on a pu répéter ces observations autant qu'on l'a jugé convenable, et par des corrections successives, on est parvenu
A8TIK5NOM1OAL SOCIETY OFTHEl»ACIFIC
DU SYSTÈME DU MONDE. 3i3
à fixer ces éléments avec toute la précision désirable. La petitesse des excentricités et des inclinaisons mutuelles des orbites planétaires a beaucoup contribué aussi à faciliter ces recherches; mais il n'en est pas ainsi par rapport aux comètes : non-seulement leurs excentricités et les inclinaisons de leurs orbites varient à Tinfini, mais encore, comme ces orbites sopt en général très-allongées, elles ne sont visibles pour nous que lorsqu'elles reviennent dans la partie la plus voisine du Soleil ou vers leurs périhélies ; leur éloigne^ ment les dérobe ensuite à^ios regards, et souvent elles^ disparaissent pour toujours. C'est donc un problème d'analyse fort intéressant que celui qui a pour objet de déterminer les éléments de l'orbite d'une comète d'après un certain nombre d'observations faites pendant la durée de son apparition, puisque c^est la seule donnée que nous ayons pour reconnaître ces astres lorsque la suite des temps les ramène vers le Soleil. Les plus grands géomètres, depuis Newton, se sont exercés sur cette question, et nous avons aujourd'hui différentes méthodes pour la résoudre ; nous ne nous arrêterons pas ici à exposer aucune de ces méthodes, ce qui nous entraînerait dans une trop longue digres^ sion; nous reviendrons sur cet objet lorsque nous aurons achevé la théorie des planètes, et nous consacrerons un livre à part à la détermination des éléments de l'orbite des comètes et à la théorie de leurs pertur-n bâtions.
