CHAPITRE VI

VARIATIONS DES CONSTANTES ARBITRAIRES QUI ENTRENT DANS LES FORMULÉS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE, OU THÉORIE DES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES.

36. Nous sommes parvenu, dans le chapitre IV, à intégrer complètement les équations différentielles des mouvements des centres de gravité des corps célestes autour du Soleil, lorsqu'on n'a égard qu'à l'attraction de cet astre, et qu'on fait abstraction de leurs actions mutuelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les orbites qu'ils décrivent sont des sections coniques dont le Soleil occupe un foyer et dont les éléments sont les constantes arbitraires introduites par les intégrations. Dans le chapitre suivant, nous avons montré que la détermination de ces éléments ne dépend que de la vitesse dont le corps que l'on considère est animé dans un point donné de l'orbite, ou, ce qui revient au mém^, des forces qui le sollicitent à une époque déterminée. Or, la force qui fait décrire aux corps célestes des sections coniques autour du Soleil est la puissance attractive de cet astre combinée avec une impulsion que ces corps peuvent être supposés avoir reçue à l'origine du mouvement, dont on peut fixer l'époque à un instant quelconque. Il suit de là que si, la force attractive restant la même, la force d'impul-

DU SYSTEME DU MONDE. 3i5

sio» épreuve un changement quelconque , la nature de l'orbite ne variera pas, mais ses éléments en seront plus ou moins altérés; de sorte que Torbe elliptique d'une planète, par exemple, pourra devenir parabolique ou hyperbolique, et la planète se trouvera ainsi transformée en comète. Imaginons maintenant qu'au lieu d'éprouver une variation finie qui n'agit que pendant un instant, Timpulsion primitive soit soumise à des variations infiniment petites, mais dont l'action soit continue, comme on peut supposer que cela a lieu à regard des corps célestes en vertu de leurs actions mutuelles; l'orbite pourra encore, pendant chaque intervalle de temps dt^ être regardée comme une section conique dont les éléments sont constants pendant cet instant, et varient seulement dans l'instant suivant. Les variations de ces éléments serviront à déterminer l'effet des forces perturbatrices.

Les observations avaient fait voir, en effet, depuis longtemps que les éléments des orbites planétaires ne sont pas constants, et que ces orbites doivent être regardées comme des ellipses dont les dimensions et la position dans l'espace varient par degrés insensibles, de sorte que l'ingénieux artifice de calcul que nous avons développé dans le chapitre III, et qui consiste à faire varier des quantités regardées d'abord comme constantes, pour étendre la solution d'une question particulière à celle d'une question plus générale, semble, dans la théorie des perturbations planétaires» avoir été indiqué aux géomètres comme le résultat des observations, dont il n'est, pour ainsi dire, qu'une simple traduction.

3i6 THÉORIE ANALYTIQUE

Exprimons par des formules analytiques les considérations précédentes.

37. Si Ton désigne par m la masse de la planète dont pn considère le mouvement relatif autour du Soleil, par M celle de cet astre, et par m', 7?i'', m*', etc., celles des planètes perturbatrices; que Top nomme x^ y^ z les coordonnées de m rapportées à trois axes rectan-r gulaires passant par le centre de M ; x\y\ :^j les coor-. données de m! relatives aux mêmes axes, et ainsi de suite; si de plus on fait pour abréger M -h m = fx, x^^j^^ z^z= r% af^-^-j'^"^ z'^= r'% etc., et qu'on suppose

Vv^{x"-J^)»-^(/'-/)»-^(^"-2)» • p''* ;

pn aura, n^ 8, pour déterminer les mouvements de m autour de M, les trois équatioxis différentielles sui-; vantes ;

d^x ^^^x rfR

r* dx

lit' ^ r»

dR

~ dz'

Si dans ces équations on fait R = o, elles devien* nent celles du mouvement elliptique que nous avons intégrées dans le chapitre IV. Supposons à l'une quelconque des intégrales premières auxquelles nous som^

mes parvenu, cette forme

a = Fonct. {x, y, z, x^, jr,, ^,, 0, («)

en désignant par a une des arbitraires introduites par l'intégration, c'est-à-dire l'un quelconque des éléments de l'orbite elliptique, et en Élisant, pour abréger,

dx dy dz

^' = ;57' J''=di' ^'=di'

Si Von veut que pendant l'instant dt l'ellipse décrite dans le cas où R est nul, et l'orbite troublée coïncident, il faudra supposer aux variables or, ^, z, et à leurs différentielles premières x^^ j^^ z,, les mêmes valeurs sur les deux courbes, et par conséquent l'expression de a ne changera pas, soit que l'on considère le mouvement elliptique ou le mouvement troublé. Mais dans ce dernier cas, les vitesses J?,,/,, 2,, au bout de l'instant dt^ sont augmentées respectivement, par l'effet des forces perturbatrices, des trois quantités infiniment petites — di^ — dt^ — éi^; on ne peut plus

alors regarder l'élément a comme constant, et en ajoutant aux vitesses or,, ^,, z,, dans l'expression de cet élément, leurs variations, on aura pour déterminer la variation correspondante da^

, (da rfR da dK , da dK\ . , ,.

Si l'on considère l'équation [a) comme une intégrale première des équations (A) dans le cas où l'on a R = o, il est évident qu'elle satisfera encore aux mêmes équations, dans le cas où leur second membre

3i8 THÉORIE ANALYTIQUE

n'est pas nul. En efFet, les valeurs des coordonnées jr, y^ Zj et de leurs différentielles jc^dt, J'f^^t ^,^^j sont par notre hypothèse supposées les mêmes dans les deux cas, et ces quantités ne diffèrent que par leurs différentielles secondes ; de sorte que si Ton désigtie par (jcj, (/J, (;«;) les valeurs de or,, /,, z,, dans le cas où R est égal à zéro, on aura x^ = (orj, j-^ = (j^J, z, = ( zj, et en différentiaut

Cela posé, différentions l'équation (a), et désignons par fonct. (x, j-, z, a:,, /,, z , t) la différentielle du second membre dans le cas où R = o ; on aura

o == fonct. {x,jr, z, ar,,x^ ^,» 0-

Cette même équation, en y faisant varier à la fois les constantes et les variables, pour Fapphquer au cas où R n'est pas nul, donnera

ou bien, en retranchant la première différentielle de la seconde.

Or, si Ton substitue à la place de -r^j -—? -7^, dans

* tlt dt at

les équations (A), leurs valeurs {dx^-^dx^j (^J"*-<^X^ {dz) -f- c^z,, on a

puisque les quantités (WlrJ, l^,), (^zj, sont en effet

DU SYSTÈME DU MONDE. dig

supposées satisfaire à ces équations dans le cas où R est nul. Si Ton remplace donc âûc^, &jr^^ &z,^ parleurs valeurs dans l'équation (i), et qu'on substitue pour da la valeur que nous lui avons supposée dans Féquation (a'), on voit qu'on aura une équation identique, et que par conséquent l'intégrale {a) satisfait égale-* ment aux équations différentielles (A), soit que l'on néglige, soit que l'on considère l'action des forces perturbatrices : la seule différence, c'est que dans le premier cas l'arbitraire a est constante, et que dans le second elle doit être regardée comme variable. Il en serait de même de toute autre intégrale première des équations (A), abstraction faite de leur second membre, quel que soit le nombre des constantes arbitraires qu'elle renferme.