Reprenons la valeur de la variation différentielle de a

, f^o dR da çfft da dR\ , \dXf dx djr^djr dZf dz /

On peut donner à cette expression une autre forme, qui a l'avantage de conduire à des expressions trèssimples, pour les variations des éléments elliptiques. Il suffit pour cela de substituer aux différentielles de la fonction R relatives aux variables a:, y^y z, leurs différentielles partielles prises par rapport aux constantes introduites dans R par la substitution des valeurs de a:, jr, z en fonction du temps et des éléments de l'orbite elliptique. Si l'on désigne par £ï, ô, Cjf\ g, h ces six constantes arbitraires, en suivant la marche que nous avons indiquée dans le n^i6, on

trouvera

expression dans laquelle on fait, pour abréger,

/ f V da db da db da db da db \ .

àXf dx dx dx^ dy, dy ^y ^^tX r \ da^db^dadb^ i

ilz, dz dz dz^ 1

Et l'on suppose aux quantités représentées par (a, c), {ciyf\ etc., des valeurs analogues fournies par la même équation, dans laquelle on substituera simplement les lettres c, /j g, A, à la place de b.

Cette expression de da est surtout remarquable en ce que les coefficients (a, 6), (a, c), etc., qui multiplient les différentielles partielles de R, sont des fonctions des constantes a, ô, c,y, g, A, qui ne renferment pas le temps implicitement. Cette proposition, que nous avons démontrée généralement n** 17, peut se vérifier ici d'une manière fort simple. Il suffit pour cela de faire varier le temps t dans les expressions de f^, ô), (a, c), etc.

En effet, différentions l'expression précédente de (a, ô), nous aurons

, , da , db db , da db , da da db

dJa» ^ ) = — d, d, 1 d, d, —

^ ' dXf dx dx^ dx dx dx^ dx dx,

da db d^ j ^^ ^b da da db

dy, ' dy dy, ' dy dy ' dy, dy ' dy,

da db ^^ . ^^ ^^ ^ d^ da db

dz, ' dz dz, * liz dz ' dz. dz ' dz.

Formons les valeurs des difFérentielles ^.-7-5 d.^^

ax dXf

d.-r^d,-T-^ d,-yy etc., qui entrent dans le second

dx dx, dy ' ^

membre dé cette équation.

Si Ton différentie par rapport à la variable x Féqualion

a = Fonct. (.r,^, z, x^,j^, 2,, /), (a)

et qu'on la différentie ensuite une seconde fois par rapport à /, en faisant varier tout ce qui varie avec

le temps t^ qu'on substitue pour -£^ -j-y ^j leurs valeurs jr,,^,, z,, et qu'on observe que si, pour abréger, on fait t = V, les équations du mouvement elliptique donnent

dt ~ dx' dt~ d/ dt'^ dz'^ ^^^

on aura

jda^/d^a d^a d^a d^a

'dx "~ \dxde "^ "^ '^' "^ dxdx ^' "^ dxdz ^'

d^a d\ d^a dY d'à

dxdx^ dx dxdjTf dy dxdz^

dt.

Mais en différentiant simplement par rapport au temps t l'équation (a), on a

da j^ da » da > da «

da J da t da ,

Le premier membre de cette équation doit devenir

une fonction de t^ .r, j^ z, x,^ j,^ z,, identiquement

nulle, lorsqu'on y substitue pour dx^^ djr^^ dz^ leurs valeurs tirées des équations (a), puisque l'équation (a) est une des intégrales premières de ces équations. Cette substitution donne

da da da da \

dt^ dx '^ dx'^' dz ' r

da^ dY da^ dV d^ dV ( ^ ^ dx^ dx dy^ dy dz^ dz '

Cette équation étant identique par rapport à I, x^ j^ z, x^jj-^^ z^j, subsistera encore en faisant varier séparément ces quantités; je la diiférentie par rapport à x^ et je trouve

Ixdt "*" ^ '^' "*" ^i^^' "^ Ixdz ^'

d^a ^V d\a dW d'à dV

dxdXf 'dx ^^Xt> dy dxdZf dz da^ d^ da d'Y da^ d'\ dx^ dx' dy^ dxdy dz^ dxdz

La valeur de la différentielle de -p se réduira, en vertu

dx 7

de cette équation, à

d——-^i— —ju^ €/^V da^ d'y\ . ' dx \^/ dx' dy, dxdy dz^ dxdz)

On trouvera de la même manière

d —— ^ (— ^'^ da d^ da^ d'Y \ , . ' dy \d^% dxdy dy^ dy' dz, dydzj '

d — -^ ^ (— '^'^ — ^^^ — ^1^\ dt * dz \d^t dxdz dy^ dydz dz^ cfe* /

Si Ton différentie la valeur de a, d'abord par rapport

à JC, et ensuite par rapport au temps t^ on aura

[dt;

da^ l d^a d'à d'à

^ dx, "" \dx,dt ^ dxdx^ ^' "^ dydx^ ^' dzdx, ' d'à d\ . d'

dxj dx dx,

'a dV^ d'à d\\

^djr/ dy dx^dz^ dz )

mais si Ton différentie par rapport à x^ l'équation identique (6), en remarquant que V ne contient pas les variables j:,,^^, 2^, on a

d'à da d'à d'à d'à

dXfdi ' dx ' dxdXf ' dydx^*^ ' dzdx^^'

d'à d\ d'à dS d'à dV

€lx' dx dXfdy^ dy tlx^dz^ dz

On aura donc simplement, en vertu de cette équation,

, da da ,^

«.-7- = — -y-at.

dx, dx

On trouverait de même

j da da j. t da da «^

a. 3— = — -7- ai. a. —- = — -j-at,

dy, dy dz, dz

Et en supposant la constante b donnée par une équation semblable à celle qui détermine a, on aura

pour les différentielles rf. -7- ? ^. — » d.—^ </.., ^. --. ,

'- dx dy dz dx^ dy,

rf.— j des expressions semblables aux précédentes,

en y changeant seulement aen b.

Si Von substitue ces valeurs dans l'expression de d.(a^ b), on verra que les termes qui contiennent les

, ^, . 1^ :, da db da db da db , .

différentielles de ^ , ^, ^, ^, -, ^, se détriii-

sent mutuellement, et qu'en ordonnant par rapport aux différences partielles de V les termes qui contiennent les différentielles de -7-î -7-) -r-5 etc., les coef-

dx dx dy

ficients de chacune de ces différences se réduisent d'eux-mêmes à zéro.

D'où il suit que la quantité représentée par (a, h\ et par conséquent les autres quantités semblables (a, c), (6, c), etc.^ ne renfermeront pas le temps ^ et ne pourront être que de simples fonctions des constantes a, 6, c, etc., lorsqu'on aura substitué^ à la place de Jt*, y^ 2, x^^ /^ 2^, leurs valeurs elliptiques en fonction de ces constantes et du temps t.

Ainsi, la variation différentielle da de l'un quelconque des éléments de l'orbite de /?2, se trouve exprimée par une formule qui ne renferme que les différences partielles de R, prises par rapport aux cinq autres éléments é, c, etc., et multipliées par des fonctions de n, ^, c, etc., indépendantes du temps.

Ce résultat remarquable n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons obtenu d'une manière générale dans le n*^ 17; mais, vu son importance dans la théorie des perturbations planétaires, nous avons cru qu'il ne serait pas inutile de montrer comment on y peut parvenir immédiatement, par la seule considération des formules du mouvement elliptique, et comment se vérifiait, dans ce cas, d'une manière trèssimple, l'indépendance des symboles (a, h\ («, c\ etc., à l'égard du temps i.

Il nous eut été facile, d'ailleurs, de déduire immédiatement et indépendamment de toute autre consi-

dération, la formule (i) de la formule générale (D) du

En effet, si Ton ne considère que le mouvenient d'un seul corps m, dont les trois coordonnées rectangulaires a:, ^, z ne sont liées entre elles par aucune équation de condition, on pourra prendre pour variables indépendantes ces coordonnées; on aura ainsi y = x, ij; = j^, 9 = 2, ce qui donne y' = jr^, (j;' = j^, 9' = jz,, et la valeur de T se réduira, dans ce cas, à

d'où Top tire

dT dT </T

Ces valeurs, substituées dans la formule générale (D), en observant que la fonction représentée par ù doit être ici remplacée par mR, reproduisent Ja valeur de da^ à laquelle nous soinmes parvenus plus haut.

39. Appliquons la théorie précédente au calcul deî^ perturbations planétaires.

Reprenons, pour cela, les- diverses intégrales que nous OQt fournies les équations du mouvement elliptique, et déterminons, d'après la formule générale (i), les variations qu'il faudra faire subir aux constantes arbitraires qu'elles renferment, pour étendre ces intégrales aux équations différentielles du mouvement troublé. Nous sommes parvenus, dans le chapitre IV?

aux huit intégrales suivantes :

^r. - ^, J = ^' zx — z,x—c!, jz, -j,z = c\ \

r=:a(i — ccosm), < 4- / = «'(« — csin«),

i4-ecos(«' — w)

Nous supposons, pour plus de simplicité, |x = i .

Ces intégrales contiennent sept constantes arbitraires; mais comme elles ne doivent en renfermer que six distinctes entre elles, l'une de ces arbitraires est nécessairement comprise dans les six autres.

En effet, on à, n® 20, entre les constantes c, c\ c", a, e, réquation de condition,

c»-Hc'2^c"» = fl(i — e*).

De sorte que ces cinq constantes n'équivalent réellement qu'à quatre arbitraires distinctes, et qu'on peut regarder l'une d'entre elles, prise à volonté, comme fonction des trois autres, T..es constantes c, c\ d' fixent la position du* plan de l'orbite'; et en nommant ç son inclinaison sur le plan des xy^ et a la longitude de son nœud, comptée sur le même plan, à partir de l'axe de a:, on a

tangç = ^—^ , tanga = - 7 '

d'où, en faisant pour abréger A* = c* -+- c'* -h c"^, on tire

C = AcQsç, c'== — Asinycosa, c"= A;sinf sina.

Ces valeurs nous seront utiles dans les recherches suivantes.

La constante oi> exprime la longitude du périhélie comptée sur le plan de l'orbite à partir d'une ligne fixe prise à volonté; nous supposerons , dans ce qui va suivre, que cette ligne est l'intersection du plan de l'orbite avec le plan fixe des x,y^ et nous nommerons g ce que devient dans ce cas la constante cù; la dernière des équations (B) donnera ainsi

cos(p-g)=.^'-. (BO

40. Cela posé, les six arbitraires dont nous allons déterminer les variations d'après la théorie générale exposée au commencement de ce chapitre, sont les cinq constantes a, a, y, /, g, et la constante k dont le carré représente le demi-paramètre de l'orbite, et que nous emploierons de préférence à l'excentricité e, parce que les calculs qui s'y rapportent so/it moins compliqués. Ces constantes^ substituées tcyir à tour à la place de a et 6 dans la formide géiyrale, produiront quinze quantités symboliques (aJA"), (a, a), [kj(x)j etc.^ qu'il faudra calculer par la rormule (2). Commençons par chercher les valeurs de ces quinze quantités.

Formons d'abord les combinaisons [a^ A), {a^ 9), (^, a), (A:, ç), (A:, a), («,9), où n'entrent point les constantes Zet g. Si l'on ajoute les carrés des trois premières équations (B), on aura la valeur de k en fonction de x^jr^ z, x^^ y,^ z. ; en mettant à la place de c, c', c'\ leurs valeurs dans les expressions de a

et 9, on aurait de même la valeur de ces constantes en fonction de x^ jr, 2, ^,^7^ ^r On pourrait donc ainsi déterminer directement, d'après la formule (2), les six quantités précédentes; mais il sera plus simple de regarder les constantes A:, a, y comme fonctions des constantes c, c', c'% et d'employer d^ns cette recherche la formule (E) du n° 18.

Si, au moyen des quatre premières équations (B), on forme les différentielles partielles des arbitraires c^ c% c" et tty prises par rapport aux variables x^ jr^ z, x^^ jr,, z , qu'on substitue ensuite les valeurs résultantes dans la formule (2), on trouvera sans peine

(ajC) = o^ (^, c')=:o, (<2, c") = o.

La constante k est déterminée en fonction de c, c', c'% par récjliation

la formule (E), n*^18, donnera donc

d'où l'on tire

Les deux arbitraires ç et a étaqt déterminées par les équations

tangy = 3L , tanga = - ^>

pn aura de même

Pour former les deux combinaisons (A*, y) et (A, a), I remarquons que Ton a par la formule citée :

\ Si Ton substitue pour (c, c'), (t^, c"), (c', c"), leurs valeurs, en observant que l'on a, n^'lS, (c', c)=--(c, c'), (c", ^) = - (c, c"), (c", c') = - (c', c"), on trouve

D'ailleurs

Par conséquent

Pour former la combinaison (a, 9), remarquons que l'on a

cosy = T; d'où Ton déduit

Nous omettons le terme («^ ^) ^' parce que (a, A) est nul, comme nous venons de le voir,

33o THÉORIE ANALYTIQUE

de' ^

et en substituant pour (c', c), (c", c\ -jji -rj, leurs

ce*

valeurs

(a, c) = - cos'a (^— p7— j = - i, et par conséquent ^i^hL^f z -^

(a, ©)=T-î — • tc

Passons au calcul des combinaisons dans lesquelles entrent les constantes / et gj et commençons par chercher les valeurs des quatre quantités (a, Z), (A-, /), (?9 0' (^1 0* ^^ ^^"^^ ^^ septième des équations (B), on substitue pour u sa valeur donnée par l'équation qui la précède, cette équation prendra cette forme,

/= — i-l-Fonct.(rt, A, r); (c)

d'où Ton tire, en faisant d'abord abstraction des constantes a et A:,

dl dldr xdl

dx drdx'

dl ^dl dr lfy~ drdf'

dl dldr dz drdz'

zdl ~ 7dr'

La valeur de l ne contenant pas les variables J^,,/,, 2,7 on aura, par rapport à une constante quelconque 6,

,, ,, i ( db db db\dl

dr'

Pour avoir égard aux constantes a et A contenues dans la valeur de /, il faudrait ajouter au second mem-

bre de cette équation la fonction

Mais on peut Tomettre, parce que b devant représenter Tune des quatre constantes a^ k^ (fy a, les deux termes précédents sont toujours nuls. Il ne reste plus qu'à substituer successivement ces arbitraires à la place de b dans la valeur de (Z, 6).

Il est aisé de voir d'abord par les valeurs de c, (/, d'j que la substitution des constantes ç et a ou de toute autre fonction de c, c', c'\ à la place de 6, rendra nulle la fonction

db db db

dx, ^ dy, dz,

On aura donc aussi

Quant à la constante a^ on trouve

da ^ da * da «

en faisant donc b-=^ a dans (/, b\ on aura

, , V 2 fl* / \dl ^drdl

(Z, a) = ^ — [a:a:^+jjr,+ zz,)j^=^ ^""didr"^

mais l'équation (c) donne évidemment — = — ; par

conséquent

Faisons enfin 6 = A:, la constante A* étant fonction de c, c'j c'\ on aura5 d'après ce que nous avons dit

plus haut,

il,k) = o.

Passons maintenant à la recherche des cinq dernières combinaisons (g, a), (g, A), {g, ç), (g, a), et {gj l) qui renferment la constante g". L'équation (B') donne, en la résolvant par rapport à g,

On aura donc, relativement à une constante quelconque 6,

, , . I / db db db \ dg

di^db\ dzdzj

(dp db dv ilb tcf %A,w \ dxdx, djr df, "^

On peut omettre le dernier terme, parce que b devant représenter une des cinq arbitraires a, A, (p, a, /, ce terme est toujours nul.

Pour former les quantités ^ ' ^ ' ;7" ' ^^ f^^^^ avoir

la valeur de l'angle v en fonction des variables oc,jr^ z] or on trouve aisément

JC =

rcosi'cosa —

rsint^cosipsina.

rcosi^sina + rsini^cosycosa,

rsini^sinç;

d'oui

on tire

sin V =

= — !— , COSi^

arcosaH- j^ sin a

Nous ferons usage de la première de ces valeurs,

comme étant la plus simple. Elle donne, en la différentiant,

dv — xz dv — yz dp r^ — z'

:> zr.-— ^^.1 >

dx r*sinçcost> df r^sin^cosp dz r^sin^cosc

rdz — zdr

dif z cosy dtf dt

dif r sin' y cosV dt r* sin y co^p

Substituant ces valeurs dans la formule qui donne [gj t^\ et ajoutant, à cause de la constante 9 qui

entre dans l'expression de sinv, le terme (y, b)--r-^ on

I i aura

, , V i I db db db\dg

z . I db db db\ \ ,,.

r' sin 7 cos p \ dx^ ^ df, dzj ( ^ '

I db f M \dg f my.dv

rsin^ cospi/z, ^ ' ' da ^^^ ' dt^

Il ne reste plus qu'à substituer les constantes rt, A:, f , a, Z à la place de h dans cette formule. Faisons d'abord b^=.a^ nous aurons

da da da • rdr

dx, -^ dy, dz, dt

I da

(da , da da\

r^sinycosp\ dz, *^ dy, dz,) rsiny cosp c^z,

/ rdz — zdr \

~dt 1 2 d^

^r'sin<]pcost'/ dt

On a de plus (a, a) = o, (ç, a) = o; par conséquent

dg dv

et comme -f- = — -75 on aura

at fit

(g,fl) = 0.

Faisons 6 = Ar; l'arbitraire A: étant fonction de c, c\ d\ on a

dk dh dk

dx, ^ dx, dz,

D'ailleurs (^, A:) = o et (9, A) = o; la formule qui donne (g^ A:) se réduit donc à

/ i\ i dk

^^^ ^ rsiUffCOSP dz^

mais A* = c* + c'* -H c"*, d'où l'on tire

^ = -^^-7 = smç(arcosa H-/sma);

ou bien, d'après la valeur de cosi' trouvée précédemment,

-y = rsm(pcosp;

par conséquent

Cherchons la valeur de (g, ç), et pour abréger, au lieu de faire 6 = ç dans la formule (rf), observons que

Ton a cosç = 7» par conséquent

Il est aisé de se convaincre que (g, c) = a; nous avons trouvé (g, A:) = — i; donc on a

/ s COScp

M ÀÊ

Cherchons la valeur de {gf, a); a étant fonction de & et c^, on a

mais il est aisé de se convaincre que Ton a

La valeur de tanga = — ^ donne, en la difïérentiant.

^ • i^b^tuQps ces valeurs dans (g, a), nous aurons

cos'a lc"3e-\-c'y\ di>[ „rfa . ^^rfal

mais

par conséquent

(a a:\= ^^^'^ lc'^ + ^'x\ î îÇ

^^' ' rsin^ cosf» \ c" / ^sin^rsin'

COSf

D'ailleurs les valeurs de c, c', c'' (n®59) donnenE , . , = — t; — 5 d OU 11 resuite

^^' ^^ "" rsinrcosP \ 7'^ /'

et comme cz -h cy H- c"ar = o (n^ 20), on a enfin (g, a) = o.

Déterminons la valeur de (g, /), dernière combinaison qui nous reste à considérer. La constante l peut être regardée comme fonction des variables r et t^ et des arbitraires a et A*; nous aurons donc par conséquent

(g, l) = {g. 0 J' -^ (ff. «)^ + (g, ^) ^î

et comme (g, a)=zo et (g, A) = — i, cette valeur se réduit à

Puisque r ne contient pas les variables x^j y^^ z,, la valeur de (g, r) se réduit à

Le second terme est nul de lui-même, puisque Ton a

et que nous avons vu que y étant fonction de c, c', c\ la quantité x-^ -^J-j- "*" ^^ ^^^^^ nulle. Il ne nous reste donc à former que la quantité (^, r),

, V da dr da dr da dr

^ ' ' dx^ dx dy^ dy dz^ dz

ry ^ '. da da da dr dr dr i

Substituons pour t-' -7-' 1-^ 3-' "r et — leurs va- î

* aXf djr^ dZf dx dy dz

leurs, on aura

/ \ 2 «* , V ^dr i

Ainsi donc

et par conséquent

. ,v ^ dr dl dg dl « dg dl

^o^ J dt dr da dk da dk

Si pour -j- ^^-yi on substitue leurs valeurs tirées de

l'équation (B') du n° 39, et de la septième des équations (B) du même numéro, difFérentiées par rapport à ces constantes, et en y regardant e comme fonction de a et de Ar, on trouvera , toute réduction faite,

et par conséquent

41. Rassemblons les valeurs des quinze quantités que nous venons de déterminer; nous aurons

{a^k)r=o, (a,ç}=o, (rt,a)=o, (rT,g)=o, (n,/)=î2a% {l^k)=o, {/,f)=o, (/, a)=o, (/,g)=o, (X:,9)=o, (A:,a)=o, (A:,g)=i,

Si dans la formule générale (i), on met successivement a^ /, A:, g, a et y, à la place de a et é, et qu'on y substitue ensuite les valeurs précédentes, on aura

3S8 THftMŒ ANALTIK^JE

pour déterminer les variatiaDs de ces six quantités :

Annf \dfj ^ ksukf\dgj Âsinf\daJ

43l. De ces formules il est aisé de conclure celles qui se rapportent à la variation des six arbitraires que nous avons considérées dans la théorie du mouvement elliptique; il suffit pour cela de remplacer les constantes Ij kj g par leurs valeurs en fonction de ces arbitraires. Noos avons supposé (n** IMt et 59)

n étant par hypothèse égale à a ' ^ On tire de là, en différentiant.

dt.

de =

an ^i —V

2ae

dar.

Quant à la valeur de d(ù^ remarquons que ncRis avon» désigné par g (n^39) l'angle compris entre la ligne des noeuds et le grand axe de Torbite;. gj est l'angle

que forme ce même axe avec une ligne fixe menée dans le plan de cette orbite : on aurait donc dtô = dg si la ligne tles uceiids ne faisait aucun mouvement pendant l'intervalle de temps dt; mais cette droite changeant à chaque instant de position, il est clair que dQ est égal à dg^ plus le mouvement des nœuds, pendant Tinstant dt, projeté sur le plan de l'orbite ; on aura ainsi, aux quantités près du second ordre, d(ô zzzdg-h cos ff doL.

La quantité R peut être considérée, soit comme une fonction des arbitraires a, Z, A:, g, a, soit comme une fonction des arbitraires a, £, e, ca et a : on a donc, en la difiérentiant dans ces deux hypothèses, l'équation identique

Substituons dans le second membre, à la place de dij de, d(ùy leurs valeurs précédentes, et égalons ensuite de part et d'autre les codBBcients de da, dl, dk^ dg et doL ; nous aurons

^/^\ i»-g'r/R 3(6 — tajrfR da \da 1 ^ae de 2 a dg ^

dR dR dl dz

dR an ^i — e^ dR

dk — e de'

dR dR dR

dg dt d(ù

dR /dR\ 'dR dR

34o THÉORIE ANALYTIQUE

Si Ton substitue ces valeurs dans les formules (o); qu'ensuite on substitue pour da^ dl, dkj dg et da leurs valeurs résultantes dans de, de et ^«, on aura, pour déterminer les variations des six éléments de l'orbite elliptique, en observant que n^ = a"*, et que k= ^a(i — e^), les équations suivantes :

da = :ta^ndt^^^y (i)

andt^Ji^

andt l^^\ ia\

45. Nous voici donc parvenus à exprimer les variations différentielles des éléments de l'orbite elliptique par les différences partielles de la fonction R relatives à ces mêmes éléments, et multipliées par des coefficients qui ne renferment pas le temps. Il suffira donc, pour avoir leurs valeurs finies, de différentier par rapport à ces éléments chaque terme du développement de R, et de l'intégrer ensuite; avantage précieux qui résulte de la forme particulière que nous avons donnée aux expressions de ces variations.

La constante arbitraire s étant toujours jointe à

1 angle w^, on a -7- = -x > d ou 1 on tire -7- « dt =rf'R,

^ ' at nat a% '

la caractéristique r/' désignant une différentielle relative au temps t^ prise en ne faisant varier t qu'autant qu'il est multiplié par n ; les valeurs de da el de de deviennent ainsi *

tf ^ e \dtù )

On peut employer indifféremment ces expressions ou celles dont elles dérivent.

Nous avons supposé /i = « ' ; on aura donc^ en différentianty

dn:^---'iand'Vi. (7)

Cette formule donnera en l'intégrant la valeur qu'il faut substituer à la place de n dans les formules du mouvement elliptique. Or, en nommant Ç la longitude moyenne de la planète m, on a | = w^ 4- ç, et par conséquent

rf| = ndt -h tdn h- di ;

expression dans laquelle il faut remplacer dn et d^ par leurs valeurs. Mais il y a ici une observation essentielle à faire, c'est que, dans la différence partielle de R, relative à a, on peut ce dispenser de faire varier la quantité n qui dépend de rz. En effet, R étant fonction de nt + 6, donnera, à raison de la variation de n,

le terme -r- t-y^ la valeur de dt renferme le terme

dt da^

--la^-j- ndt, La variation de n y introduira donc.

le terme •— aa*— t-^-ndt; par conséquent la variation de la longitude moyenne sera, à raison seulement de la variation de /i,

d^ = tdn — a ^i' -r- -r- ndt.

da as

Si Ton substitue pour dn sa valeur, et qu'on re-

marque que j- = ^* "7" ^"^ = " ^» ^^ verra

que cette expression se réduit à zéro. Il suit de là que dans la valeur de d^ on peut omettre le terme tdn^ pourvu qu'on regarde n comme constant dans la différence partielle de R prise par rapport à a. On aura donc Ç =1 Jndt -4- £ pour l'expression de la longitude moyenne dans le mouvement troublé, et toutes les formules relatives au mouvement elliptique auront également lieu dans le cas de l'ellipse invariable et dans le cas de l'ellipse troublée, pourvu qu'on y change nt en fndtj et que l'on détermine les éléments de l'ellipse variable par les formules précédentes. Cette manière d'exprimer le moyen mouvement a l'avantage de faire disparaître les termes qui se trouveraient sans cela multipliés par le temps t hors des signes sinus et cosinus. Si Ton fait Ç=zfndty on aura dÇ = ndt ; et en substituant pour n sa valeur tirée de Téquation (7), et intégrant ensuite, on trouvera pour déterminer la variation du moyen mouvement la formule

!; = •-• 3 ffandt.d'R. (8)

44. Les formules (5) et (6), qui donnent les va- ' leurs de dd. et de dcp^ contiennent au dénominateur

le sinus de l'angle tp, quantité très-petite lorsqu'on suppose l'inclinaison de l'orbite sur le plan fixe peu considérable^ et qui devient nulle lorsqu'on rapporte la position de la planète au plan de son orbite primi* tive, comme nous le ferons dans la suite. On peut éviter cet inconvénient en substituant aux arbitraires (f et a, qui représentent Tinclinaison de l'orbite et la longitude de son nœud ascendant, les quantités tangfsina^t tangç)cosa qui en dépendent. En effet, si l'on fait

/ = tangç) sina, q = tangtp cosa, on aura, en difierentiant^

dq = ^— ^ dm ^ p da.

■* COS*ç ^ ^

Si l'on considère R comme fonction de y et a, et ensuite comme fonction de p et ç, on a l'équation identique

£n substituant pour dp et dq leurs valeurs, et en égalant de part et d'autre les coefficients de rfa et de d(p^ en trouve

dR 1-d^

dR Pd^'

dK df

sina cos'y

cosa COS'ç

dq'

Si l'on substitue ces valeurs dans celles de daetâe'dip^

qu'ensuite on substitue les valeurs résultantes dans dp et ilq^ et qu'on néglige les termes du second ordre par rapport à y, ou bien qu'on fasse y = o, ce qui suppose que l'on prend pour plan de projection le plan même de l'orbite de m^ on aura

. andi [ dK\ , .

, mandi fdK\ , .

Ces formules, jointes aux quatre premières du n** 42, sont celles dont nous nous servirons désormais pour déterminer les variations des éléments de l'orbite elliptique, et nous en conclurons d'une manière trèssimple toutes les inégalités du mouvement des planètes.