Si l'on supposait enfin

p' = sinf) sina, q' = sinç cosa,

on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,

Ces formules sont rigoureuses, tandis que les précédentes ne sont qu'approchées; elles se confondent avec elles quand on suppose y une très-petite quantité.

En général, on peut observer que la disposition des

formules précédentes dépend uniquement des arbitraires que Ton a choisies, et peut varier par conséquent d'une infinité de manières. Si Ton prenait pour constantes arbitraires les cinq quantités rz, s, w, p, q^ et le demi-paramètre A:* au lieu de l'excentricité e, on trouverait pour déterminer la différentielle de k^

Cette formule nous sera utile dans la suite.

On aurait des formules plus simples encore que celles que nous avons développées dans le n° 41 , et qui auraient l'avantage de ne contenir qu'une seule différence partielle de la fonction R, en prenant pour constantes arbitraires les cinq quantités «, A, /, a, y, dun**40, et la quantité w du n*^ 42. On trouverait sans difficulté, pour déterminer les variations de ces constantes, les équations suivantes :

/■sm^\ûf(p/ * Aismy\rfa/

On aurait encore, n*^ 18, des formules dont chacune ne contiendrait qu'une seule différentielle partielle de R, en prenant, pour constantes arbitraires, les valeurs des trois coordonnées x, j", z, et des trois

vitesses ;^' ^» ;^ ^^ '^ planète, relatives à une épo-

34/S THÉORIE ANALTTiqVE

que déterminée, par exemple, à Finstaiit d'où Ton compte le temps /.

46. Considérons maintenant, d'une manière générale, les diverses formules que nous venons d'obtenir. Ija fonction B, dont les di£Férences partielles entrent dans ces formules, est une fonction donnée des coordonnées or, jr^ z de la planète troublée, et des coordonnées or^, jr% ^^ etc., des planètes perturbatrices. Cette fonction est'du premier ordre, par rapport aux masses de ces planètes; de sorte que si, dans une première approximation, on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il :suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées Xy y^ z, x', /', z', etc., leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. R devient alors fonction 4lu temps t et des éléments a, £, 6, cj, p^ q, a\ c', e', fù\ //, q\ etc., des orbites des planètes m, m', etc., et il'on peut toujours supposer cette fonction développée ^n série ordonnée par rapport à t. Nous donnerons dans le chapitre suivant le moyen d'effectuer ce développement; il suffit ici seulement d'en concevoir la possibilité. Il suit de là que si l'on désigne par F le premier terme de cette série, c'est-à-dire le terme indépendant de tj F étant une fonction connue des éléments de la planète troublée et des planètes perturbatrices, il en résultera dans les variations des éléments éUf 6, e, etc., des termes proportionnels à l'élément du (temps, lesquels produiront, par Tint^ation dans les variations finies de ces éléments, des termes croissant comme le temps, et qui seront indépendants de la

position des planètes m, ni^ nfj etc., dans leurs orbites. Si Ton substitue donc F à la place de R dans les formules (i), (2), (3), (4), (9), (10), et qu'on observe que la différentielle de F par rapport à nt est nécessairement nulle, on aura, pour déterminer ces termes, les formules suivantes :

/fe=-.

andt^i-^é^ ( d¥

andisji — e^ (dY\

Les variations déterminées par ces équations ont été nommées inégalités séculaires ^ parce qu'elles croissent avec une extrême lenteur. Quant à l'autre partie de la variation dés éléments elliptiques de nij elle constitue ce qu'on appelle les inégalités périO" diquesy et on la détermine au moyen des formules du n^ 42, en ne conservant dans le développement de R que les termes que nous y avons négligés. On voit parles formules précédentes que l'expression du grand axe n'est soumise à aucune inégalité de la première espèce, en sorte qu'on peut le considérer conune mvariable lorsqu'on fait abstraction des inégalités pé-riodiques. Cette importante propriété constitue l'ua

des phénoiHènes les plus remarquables de la disposition du système du monde.

L'introduction que nous avons proposée, n*' 44, des quantités p et q, à la place des variables 9 et a qui déterminent la position du plan de l'orbite de m, mérite une attention particulière. Cette transformation de variables, semblable à celle dont nous avions fait usage, n*^ 54, livre I, et dont nous avons indiqué l'utilité pour la théorie de la libration de la Lune, a l'avantage, dans la question qui nous occupe, de réduire les équations différentielles qui déterminent les inclinaisons et les longitudes des noeuds d'un système d'orbites, à la forme d'équations linéaires à coefficients constants dont le nombre est double de celui des corps agissants du système, ce qui facilite extrêmement leur intégration. On peut appliquer une transformation analogue à Texcentricité et à la longitude du périhélie et faire disparaître ainsi du dénominateur des valeurs de de et rfo, l'excentricité e qui, relativement aux planètes, est toujours une trèspetite quantité. En effet, si l'on suppose

b = esino), c = ecosw,

on trouve, en opérant comme dans le n^ 44,

formules qui, dans la théorie des variations séculaires, ont sur celles qui donnent directement de et r/o, les mêmes avantages, que nous avons indiqués plus haut relativement aux équations (9) et (10).

Nous développerons, dans le chapitre suivant, les formules précédentes; nous déterminerons ensuite, en les intégrant, les variations finies des éléments des orbites planétaires, et nous en déduirons, par des approximations successives, les différentes inégalités des mouvements des planètes avec toute l'exactitude qu'exige la précision des observations modernes.

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