CHAPITRE VIL

DÉVELOPPEMENT DES FORMULES QUI DÉTERMINENT LES VARIATIONS DES ÉLÉMENTS DES ORBITES PLANÉ- TAIRES, ET RELATIONS QUI EXISTENT ENTRE LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES DE CES ÉLÉMENTS.

47. Nous venons de voir qu'en vertu de l'action réciproque des corps du système solaire, les éléments des orbites des planètes étaient soumis à deux espèces de variations distinctes. Les unes, indépendantes de la configuration de ces différents corps et de leurs positions respectives, qui reviennent les mêmes après de courts intervalles, peuvent croître indéfiniment avec le temps, ou être assujetties à des périodes qui leur sont propres, mais dont la durée est toujours extrêmement longue. Les autres, au contraire, dépendent uniquement de la position des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs aphélies, et reprennent les mêmes valeurs toutes les fois que la disposition générale du système redevient la même.

Ces dernières, comme nous l'avons dit n® 46, ont été nommées variations périodiques. Les éléments de l'orbite, en vertu de ces inégalités, ne font qu'osciller entre des limites qu'elles ne sauraient dépasser; leur effet est de changer à chaque instant la position qu'au-

rait la planète dans son orbite supposée invariable^ mais la stabilité du système du inonde n'en peut être altérée.

Les premières , qui sont en même temps les plus importantes et les plus difficiles à déterminer, ont été appelées variations séculaires^ parce que leurs accroissements étant extrêmement lents, ce n'est qu'après un grand nombre d'années que leur effet peut se manifester. Elles font varier de siècle en siècle, et par degrés insensibles, la figure des orbites et leur position dans l'espace, de sorte que, comme leur action est permanente et continue, il est impossible de décider à priori si la forme générale du système planétaire n'en sera pas à la longue entièrement bou* leversée.

Il faut, pour résoudre cette importante question, examiner avec soin les valeurs finies de ces variations,, valeurs qu'on obtiendra, comme nous l'avons dit^ en intégrant les formules du n*^46. Cette intégration, il est vrai, est impossible en général dans l'état actuel de l'analyse, et il est, par conséquent, impossible aussi d'avoir rigoureusement les valeurs finie» des variations des éléments elliptiques; mais le peu d excentricité des orHtes des planètes, et la petitesse de leurs inclinaisons mutuelles, permettent de déterminer par des approximations successives l^urs valeurs approchées, aussi exactement qu'on le peut désirer.

48. Pour le faire voir^ et pour calculer généralement toutes les inégalités que l'action mutuelle des planètes peut produire dans leurs mouvements, il est

35a THÉORIE>NALYTIQUE

nécessaire de réduire en série la fonction que nous avons désignée par R. Occupons-nous donc d'abord de ce développement. En ne considérant que l'action d'une seule planète perturbatrice m' sur m, on a

L'action des autres corps rïi\ m*', etc., introduit dans cette fonction des termes semblables.

Désignons par r, le rayon vecteur de m projeté sur le plan des xy^ et par s^^ l'angle que fait ce rayon avec l'axe des x ; désignons de même par r\ le rayon vecteur de m' projeté sur le même plan, et par p l'angle que forme cette projection avec l'axe des x\ nous aurons

X =1 r^ cost^,, jr =^r^ sini^,,

x^z=, r\ coss>\ , ^'= K sini'' .

Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction R, elle devient

r,r\ cos(f^|— pj-f zz' '

Les excentricités et les inclinaisons mutuelles des orbites planétaires étant de très-petites quantités, puisque ces orbites s'éloignent peu de la forme circulaire, et qUe leur plus grande inclinaison à l'écliptique ne surpasse pas sept degrés, si l'on développe la fonction précédente en série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de ces deux éléments, cette série sera nécessairement très-convergente. Cela posé,

choisissons le plan fixe des x^ jr, qu'on est libre de prendre à volonté, de manière que les inclinaisons des orbites sur ce plan soient peu considérables ; les valeurs des ordonnées z et z' seront très-petites, et en développant dans cette hypothèse la fonction R, ort aura

*[v^[r;»-2r,r;cos(p;^p')+>'»] r''' J /«V Zm'r,z''co%{v\-^t>^) . m'[z'-^zy

+ etc.

Supposons, pour un moment, les orbites circuliaires, et couchées toutes sur le plan des xj\ en désignant par a et a' les distances moyennes des planètes m et m! au Soleil, et par nt -f- 8 et n' if -f- e' leurs moyens mouvements autour de cet astre, nous aurons r=a,, (;^=72/-h£, z=o, ?'[ = a', t^)::^ w'^H-e', s'=o;

et si Ton nomme R ce que devient, dans ce cas, la valeur de R, on a

R,i;:w'. j [fl'*— 2 aa^ co5(«'/— w/4-«'— ej-t-^^]"^ r^ cos(/2'/— «/-4-e'— e) |.

Nous démontrerons tout à l'heure que toute fonc-

tion de la forme {a'^ — i aa' cos<f -h a^) ' peut toujours se développer en une série procédant suivant les cosinus de l'angle ç et de ses multiples : soit donc

ffl'--

+ A'(»)cos2 («'/ — nt -^ e' — e) +. . ., I. 23

on aura

[«'»— 2 aa' cos (n't^nt-h «'— e) 4- «M ' — ^a cos(/i' /— nt H- e'— 6)= ^ A'O

+ ( A'<»)— ^ j cos(«'^ — /i/H- e'— 8>4-A'(»^ C0S2 («' ^ — «/-f«'— e)4- etc.

Si Ton observe que les arcs négatifs ont mêmes cosinus que les arcs positifs correspondants, on pourra représenter^ pour abréger, par

-l.A^'^cosiln't — m -h e'— e)

la somme de tous les termes de cette série. Le nombre i devant prendre toutes les valeurs entières, positives

ou négatives, comprises depuis î = o jusqu'à i = ±: - ,

en ayant soin de faire A<""'> = A^'>; et le coefficient A^'^

étant donné par l'équation A^'^ = A/'^ toutes les fois

que i est un nombre quelconque différent de l'unité^

et par l'équation A^'^ = A'^'^ — ~ quand 1 = 1.

Cette manière très-simple de représenter une série procédant suivant les multiples du cosinus d'un arc donné et composée d'un nombre indéfini de termes, est fort usitée dans toutes les branches de l'analyse,^ et elle est d'un usage très-commode dans la théorie du système du monde, où l'on a souvent de pareilles suites à considérer.

La valeur précédente de R, deviendra ainsi

R, = ^2.Aî*)cosi(/2'^- w^ + £'-e).

Revenons maintenant aux orbites supposées peu

elCentriques et peu inclinées les unes aux autres. On aura dans ce cas, d'après les valeurs du rayon vecteur et de la longitude vraie dans l'orbite elliptique, développées n^ 25,

en représentant par a, u\ v, v' de très-petites quantités dépendantes des excentricités et des inclinaisons. Si Ton substitue ces valeurs dans la fonction R, et qu'on la développe par rapport aux puissances et aux produits de w, w', v, v', z et z', il suffira de remplacer ensuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, comme nous nous le sommes proposé. Mais la fubstitution que nous venons d'indiquef revient évidemment à donner aux quantités a, a\ nt + è^ nft + e', qUi.entrent dans la fonction R les accroissements aw, a'u\ v et v% et à joindre à la fonction qui en résultera les termes du développement de R dépendants des variaÊles z et z'. Si l'on fait donc

[a'^— 2aa'cos(n'« — nt -hé'-- e) -h a^]'^

= - B<«J + B(*> cos(7i'^ - n^ -+- é' — £)

-h B<^> COS2 (w'< — w^ -h e' — £) -f- . . .

== i2.B<'> cosi{n't — né: -f. s'— £),

le nombre i dans cette série, comme dans la précédente, devant s'étendre à toutes les valeurs comprises

entre i = — ^ et / = ^, en observant que B^~*^ = B^'>, on trouvera par la formule ordinaire du développement des fonctions de plusieurs variables :

R = — 2. A<'^ cosi{n't - «t 4- c' - £)

H M 2. a l— — j cosi[n t — w^ -f- e — €)

4- — w'2.a'( -^V) cos i{nft — wt-i^s'— s) -^ ^(v''^v)l.iA^'^sini{n't - wi h- £'- g) 4- -7-w"2.a^ ( , ^ J cosi{n t — «^ -h Ê — ê) H m/'2.aa ( , . , 1 cosf(7i^ — n^ H- s'— s)

+ J w'^I.a'^ (^îê?) cos/C^'^ - /i^ 4- s' - s)

(v'— 1;) wl.za ( --7 — I sini[n t — w/ + r — e)

^(^,' v)i/l.ia' (^) sin/(j;/^ - w^ 4- s'- g)

J-(v'- v)^ 2./» A^'J cos/(w'< ^nt-hs'-s)

TT H jr- COs( n't — Ht 4- s' — £)

~ ^^'(''-^)'2.B^') cos£(w'/ - W/ + £'-- £)

Si Ton nomme s ^t s' les latitudes de «i et de m au-dessus du plan fixe de projection, ce qui donne z = r5, z' = r'/, on pourra remplacer, dans l'expression précédente, ces deux dernières quantités par leurs

valeurs, et Ton aura ainsi la fonction R développée en série procédant suivant les puissances et les produits des quantités très-petites «, «', v et î>', s et y. En substituant ensuite à la place de ces six quantités leurs valeurs en séries déduites des formules du mouvement piliptique, la fonction R se trouvera développée en une'suite de sinus et de cosinus d'angles proportionnels aux moyens mouvements des planètes troublées et des planètes perturbatrices, multipliés par des coefficients ordonnés par rapport aux puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons qui sont supposées également de très-petites quantités. Il ne reste plus qu'à montrer comment se forment les quantités A^'\ B^'^quî entrent dans ce développement ainsi que leurs différentielles successives.

49. Pour cela, considérons généralement la fonction V~* = (a'^ — a aa' cosç -+- a^)~^, et supposons que le développement de cette fonction en série sui-r vaut le cosinus de l'angle ç et de ses multiples soit

V~* = i A^"^+ A^'^ cosf -+- Af ^ COS5I 9 4- . . . ,

les coefficients AJ*^, A^'\ Af\ etc., étant des fonctions

de a^ a\ et de s.

Si Ton différentie par rapport à f chacun des termes de ce développement, on aura

as.aa'.Siintp.Y"^^* = A^^ sinç 4- a Af ^ sin 2 y h-

Multiplions par V les deux membres de cette équation, et. substituons ensuite pour V~* et V leurs va-

358 THÉORIE ANALY'nQUE

leurs, nous aurons l'équation identique

a^.aa'.sinç.f - A^'^-^ A]''cosf H- A^'^cosaç) +• . • |

=(a^ — aaa'cosç-f-a'^) ( Ay^sinç4-2A^'^sinaf+. .. ] ;

d'où l'on tire, en développant et comparant les cosinus semblables,

Ay> = .-;. ^-, —. (a)

' (i — s)aa ^ ^

On aura par cette formule A^'\ Al^\ etc., quand A^

et Aj'^ seront connus.

Supposons maintenant