V-'-^ = l Bl'^+ B^^ cos(p H- Bf ^ cosaf -h

Si l'on multiplie par a'^ — s^/z'cosf -f- a* les deux membres de cette équation, et .que pour V"* on sub- ' stitue sa valeur en série, on aura

-AJ*^4-A^'^cos(p4-A|'^co8 2f H- ..

=:(û'»--2ûû'co5y-*-a») f-B^*^H-B^'^co5<p-f-B^^*^cosîïf H-. . . j;

et en comparant les coefficients des cosinus semblables, on trouvera

mais il doit exister entre les coefficients Bj;"^'^ y B^'^ y Pi*"*"'^ des relations analogues à celles qui existent

DU STSTÈME DU MONDE. 35g

entre les coefficients A/'-^ A/'^ , AÎ'^'^ : la formule (a) donnera donc, en y changeant j en ^ + 1 et î en i -t- 1 ,

Si l'on substitue cette valeur dans l'expression précédente de A,^' V elle devient

Cette «quation donne , en y changeant / en î + i,

d'où l'on, tire, en substituant pour Bi*"*"'^ sa valeur précédente,

(i — *)(/ — * +i)aû'

Si Ton élimine Bi'"'^ entre cette équation et l'équation (i), on aura •

ou bien, en substituant pour A^*^'^ sa valeur donnée par la formule (a\

On déterminera au moyen de cette formule les va-

36o THÉORIE ANALYTIQUE

leurs de B["\ b['\ B^;\ etc., lorsque celles de A^^^ A^'\

Al^\ etc., seront connues; et comme celles-ci sont données par la formule [a] lorsque Ton connaît les valeurs de A^*^ et A^'^, il ne nous restera plus que ces deux quantités à déterminer.

50. Pour y parvenir, nous ferons usage de la méthode très-simple que nous avons déjà employée dans le n^ 25 et qui s'applique à tous les cas analogues. Elle consiste à exprimer le cosinus qui entre dans la fonction V en exponentielles imaginaires et à la déve-

lopper ensuite. On a, n**24, cos9 = ^ — -,

on aura donc V = a** — aa' (c^ ^H- c"^^ ^) -h a^ ; on peut par conséquent regarder V comme le produit

des deux facteurs a'— ac^^^ et a'— ac""^^""\ de sorte qu'on aura généralement

Si l'on développe séparément chacun des facteurs du second jnembre, on aura les deux séries

^(^H-i)(^ + 2) «3 ,-3Vi/i:r,

Si l'on multiplie ces deux séries l'une par l'autre.

et qu'on ordonne leur produit par rapport aux puis- *

sances de c^^-» et de c""^^""'; que Ton substitue

ensuite acosf à la place de c^^^'h- c""^^""', et

en général acos/f à la place de c'^^^'-f- c""'^^~'; la valeur de V"^ se trouvera exprimée, comme il est facile de s'en assurer, par une série de cette forme, k^^-i- aA^*^ cosç 4- aA^^^ cosa^ -h etc. On aura donc

ainsi généralement AÎ'^ = a k^'^ ; et en supposant i = a et / =' I , on trouvera

• Ar>=^,[,+.-fi+('Ji±i>)'=i

, j(fH-i) *(5-î-i)(j4-2) a* , \

Ces séries seront convergentes toutes les fois que le rapport -7 sera moindre que l'unité* Or, comme on peut regarder également la fonction V comme le produit des deux facteurs a' — ^^c^^"' et a'— ac''^^~\

ou des deux facteurs a — a' c^^""' et « — a' c""^^""', il s'ensuit qu'on pourra changer dans les séries pré* cédentes a en a', et réciproquement. On choisira donc

pour déterminer A^^"^, A^^\ celles de ces séries où la plus grande de ces deux quantités entrera au dénomi-. pateur.

51. Pour rendre ce qui précède applicable à la question qui nous occupe, il suffira de faire ^= i,

s ==- dans les formules que nous avons trouvées, et de supposer que les quantités que nous avons désignées par AÎ"\ Ai' \ Ai'\ etc., deviennent A'<<>VA'«*\ A'^^\ etc.,- et que celles que nous avons nommées B|*^

Bi'\ B<*^ etc., deviennent B(^\ B^*>, B^*>, etc.; mais, dans ces deux cas, les séries précédentes sont peu convergentes; elles le deviennent davantage lorsqu'on suppose ^ = — -: et si Ton fait

V = (a, a') -h («, a)' cos(p -h (^, a'Y cos 29 + . . . on trouve, pour déterminer (rt, a') et (a, a')\

""4.6.8.2.4.6.8.io^~"'*7'

On aura par ces séries les valeurs de [a, a') et de (^z, a')' avec tel degré de précision que Ton voudra. Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, et Ton pourra négliger les suivants; ou plus exactement, comme ces termes approchent ensuite de plus en plus de l'égalité, on les sommera comme une pro-

gression géométrique dont la raison serait i ;^-,

les valeurs de (a, a') et de (a, a'/ qui en résulteront seront exactes, à la sixième décimale près, ce qui est plus que suflfisant dans tous les cas. Lorsqu'on aura déterminé ainsi (a, a') et (rt, a')', on aura par les formules (6) et (c), avec le même degré de précision, les valeurs de A'^^^ et A'^*^ Si Ton fait dans la première

s = et / = o, elle donnera

Et si l'on fait s = ? i = i dans la formule (c), on

aura

On déterminera ensuite par la formule (a) A'^'^ en fonction de A'^^^ et de A'^*\ quel que soit le nombre /, et Ton en déduira B^'^ par la formule (c). Si dans les expressions de B^**^ et de B^^\ trouvées de cette manière^ on substitue pour A'^°^ et A'^*^ leurs valeurs précédentes, on aura les formules très-simples

52. Voyons maintenant comment se formeront les différences successives des quantités A'^^\ A'^*\ etc., B^^^, B^*>, etc., que nous venons de déterminer, tant par rapport à a que par rapport à a\ Pour cela reprenons Téquation générale