V-^ = i Af^-f- A,^'^ cosy H- Af^ cosîiy
Si on la différentie par rapport à a, en observant que
-v- = a (a — rt cosf ), on aura
— a j (a — a cos(p)y~^~* = - i -h i-cosç
-h-^cosay-H...; mais l'équation V = a'* — a^^' cosç -4- n* donne a — a cos © = ; on a donc anisi
* .la
^ ' 7.S da
adk\'^ adk^:^
3 — COS© 1 — cosa©— ...,
s da ^ s da *
OU bien, en mettant pour V"'* et V"**~* leurs valeurs en série,
^ Ai*^H- AÎ'^ cos (p 4- Ai'^ ços 2 (p + ...-*-(«'- ^") f^ Bi*^
-f- Bf'^ cosy H- B?^ cosi^ 4- . . . ]
xadP^:^ adk['^ adk!^:^
= ; ; COS q> ;; COS 2 ® — . . .1
2 S da S da ^ s da
d'où l'on tire généralement, par la comparaison des termes affectés de cosinus semblables,
dA^!^
f(fl^«— fl')g(0^^(/)
da a 'a'
OU bien, en mettant pour B^'^ sa valeur donnée par la formule (è),
Si Ton différenlie successivement cette équation par * rapport à rr, et que dans les équations résultantes on
substitue pour - ' et --^ — leurs valeurs déterminées par la formule précédente, à mesure que ces quantités se présenteront, les différences successives
de Ai'^ se trouveront toutes exprimées en fonction de
Ai'\ Ai"^'\ Af"*^'^, et nous avons déjà vu comment on déterminait ces valeurs. *
Si dans la formule (D) on suppose ^ = -j elle devient
équation qui donne, en y faisant successivement i = o
et/=i,
da
1^ = ^^ A' (0) - ^^^ A' (^ ) - ^ ^^ da a'^-^a^ a(û'^— û») a da '
da^ -^[a'^^a^Y ^ a[a'^'^a^y^ '
dJJ^ la^^^l^a-^a'- ^,^ a'[a'--^Za^) ,3
etc.
On peut donner à ces formules une forme plus simple en substituant à la place de A'^^^ et A'^^^ leurs valeurs en B^^^ et B'^^, valeurs qu'on obtiendra aisément par les formules (i) et (2), en faisant dans ces
^formules i = o, j = — On aura de cette manière :
etc.
/fLA\=:2.iB(»)-«'B('), «'(^^j=3«a'B(«)-2fl'«B0),
Lorsqu'on aura ainsi déterminé les différences successives de A'^^ et de B^'^ par rapport à <t, il sera facile d'en conclure les différences successives des mêmes quantités par rapport à o! , Pour cela on remarquera que le coefficient A'^'^ résultant du développement par rapport à ç d'une fonction homogène de a et à de la dimension — i, est lui-même nécessairement une fonction semblable en a et ci de la même dimension ; par la propriété connue de ce genre de fonction, on a donc
d'où Ton tire, en différentiant,
etc.
De même, le coefficient B^'^ résultant du développement d'une fonction homogène en a et a' de la di-
mension — 3, on aura
et en différentiant,
etc.
On aura ainsi les différences partielles de A'^'^ et de B^*^, par rapport à a' au moyen de leurs différences partielles relatives k a.'
On peut observer encore que les valeurs de A'^'^ et de B^'^ restant les mêmes lorsqu'on y change a en a\ et réciproquement, ces valeurs et celles de leurs différences successives serviront à la fois dans le calcul des perturbations des deux corps m et m\ Lorsque iâ valeur de A'^'^ sera connue, on aura celle de A^'^ par l'équation A^'^=A'^'\ / étant un nombre quelconque
diflférent de l'unité, et par l'équation A^'^=A'^'^— -^>
I étant égal à l'unité.
53. On déterminera donc par ce qui précède les différentes quantités qui entrent dans le développement de R en série. Considérons de nouveau l'expression générale de ce développement. Pour cela, reprenons
la valeur de R du n^ 48,
[v^r;»-27-,r; cos(c/-i.J-hr;H-(z'-zj' (r^'+z'^f J
r, et r' étant les rayons vecteurs de m et m' projetés sur le plan des xjr^ et i^, et v^[ les longitudes de ces rayons, comptées à partir de Taxe des x. Représentons par (r ), (i;,), (z), et par (r;), (i^;), (z^) les parties des valeurs des variables r,, i^,, z, et r' , ^[ ^ 2' qui dépendent du mouvement elliptique ou qui sont dues à la seule action du Soleil, et désignons en général par la caractéristique â placée devant une quantité, la variation finie de cette quantité due à l'action des forces perturbatrices. On aura
^, = {r,) -hc?r, i>;--= ((;,.) 4- c?i>,, 2 = (2) 4- (Jz,
Telles sont donc les valeurs qu'il faudrait substituer à la place de r, i^,, z, etc., dans l'expression de R pour avoir la valeur exacte de cette fonction; mais c?r^, c?i^^, d^z et d^r, , cî^t', , (Jz', sont nécessairement de très»petites quantités de Tordre des masses m', m", etc., puisque ces variations sont nulles quand on fait abstraction des forces perturbatrices ; il n'en saurait donc résulter dans R que des termes de l'ordre du carré des masses, puisque cette fonction est elle-même du premier ordre par rapport à ces masses. Si l'on se borne donc à considérer les termes du développement de R du premier ordre relativement aux masses perturbatrices, ce qui suffit presque toujours pour les planètes,
il faudra substituer seulement dans cette fonction, à
la place de r,^ i^,, z, r', v , z' leurs valeurs elliptiques. On aura ainsi
Désignons par r le rayon vecteur de m dans son orbite elliptique ; par v la longitude de ce rayon comptée dans le plan de l'orbite à partir de son intersection avec le plan fixe des x, jr] et par à la longitude de cette ligne comptée sur ce dernier plan à partir de l'axe des abscisses x, en sorte que ( rj représente la projection du rayon vecteur r, et 1^, — a la projection de l'angle Vy nommons enfin <p l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe : nous aurons par le n**25, en bornant les approximations aux termes du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons,
^» = (^,) = t' -f- a — tang* - (p sin !i i^;
ou bien, en mettant à la place de r et i> leurs valeurs données dans le n** 24,
/;=r:a|i-ccos(/f/-hfi-«)-f--^^'[i-cos2(«f-h8-w)]| i~ Ung'y sin»(/ir+e-a) L
<»^=y7r-H 8-f- 2es\n{nt H- s — ta) -i- j e^ sin 2 (nt -h s — «)
tang'-«psin2 (/?/ H- e — a),
/i étant le demi-grand axe de l'orbite de/w, e l'excentricité, Cl) la longitude de son périhélie, et nt -h e la I. 24
3'jo THÉORIE ANALYTIQUE
longitude moyenne de la planète comptée de la même origine que F angle a.
En comparant les valeurs précédentes de r^ et i^^ à celles que nous leur avons supposées n*^ 48, savoir,
r, = fl (i ■+■ «), p^ = wi -+- £ + V, on aura
uziz — tf co8(/ï^+ 8— w)-4- - <?»[i — C0S2 {/îf-ï-*— m)] tang' ^ sin' («r-j-e— a)^
vc= 2 ff »iii-(/i^-4-e— <»)-t- j ^' sina («r-hs— w) — tang' - 9 sin 2 («/ -+- e — a).
Si Ton désigne par a% e', w', €% w', a' et ç' par rapport à m' les quîintités que nous avons désignées par a, e, w, s, Gi), a et f relativement à m, on trouvera de la même manière
m'= — ^ co»(/i'^-h£'-w')-f- - <?"[i -cos2'(/?'f+Ê.'-«')] - - tang'y' sin*(/i'/+8'-a'),
v'=2«e' si!i(/î'r4- «'-«')■+• T <?"sin2(/i'r+«'— «')— tang' -y siii2 («'f+s'— a').
Enfin on aura pour déterminer z et z^,
z = r, tangf sin (p^ — a) et .2' = r tang y' sin («'' — «')•
Telles sont par conséquent les valeurs qu'il faudra substituer à la place de m, v, z, m', v', s' dans le développement de R du n*^ 48, et Ton aura ainsi la valeur de cette fonction exacte, aux quantités près du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Si à la place des inclinaisons ç et y' des orbites de m et de m' sur le plan fixe, et des longitudes a et a! de leurs nœuds, on veut introduire dans R les varia-
blés p etq que nous avons considérées n*^ 44, et leurs analogues p' et ç', on fera comme dans ce numéro,
p = tangoDsina, q = tangfcosa,
d'où Ton tire
tangç = Vf^ + 7% tanga =^.
On aura de même
tang9' = V/i'^4-7'», tanga = ^.
On aura ensuite
z = qjr- pXy z'=q'y — p'x\
Comme la fonction R ne contient que les carrés et les produits de z et js' et que p^ ç, p' et q% sont des quantités de Tordre des inclinaisons y et y', il suffira de substituer à la place de x et^, x' etjr' dans ces équations, leurs valeurs indépendantes des excentricités et des inclinaisons : on a dans ce cas
a: =: a cos[nt -H e), y '=■ cl î^x\{nt -f- s),
• jc:'=a'cos(«'<+ e'), y' = a! ^\w{v! t '\- e');
ce qui donne, par conséquent,
- = ^sin(n« 4-e) — pcos(n< + s), ~=:9'sin(/i'^ + 6') —//cos(w' / + £').
Si l'on substitue ces diverses valeurs dans Texpression de R du n^ 48 et qu'on ne conserve que le premier terme du développement, c'est-à-dire le terme indépendant des angles ni et rit^ on trouvera pour la valeur de la quantité que nous avons désignée par F
dans le n^ 46,
Si dans cette expression on fait A^*^^ = A'^®^ et AM) - A'(*) - J' ^^ q^^ Po^'' -^'^""^ ^'^*^ ^t l^^ï's différences partielles, on substitue leurs valeurs en B^®^ et B^*^ données dans le n*^ 52, en remarquant que l'on a
= -«a'B(«)— (a'4- a")B(') = — 1 aa'BO,
Ja valeift* précédente de F prend cette forme plus simple, •
Enfin, si dans cette expression on substitue pour p(^) et B^*^ leurs valeurs
B(o) M^XI B^^) - Hli^l',
on aura
*<?.^cps(»' — w)
On peut encore donner une autre forme à cette expression, en faisant, comme dans le n^ 46,
6 = esino, 6* = ecos(«), è'=e'sinw', c'=e'cosG.)S
On trouve alors
En substituant à la place de la fonction F sa valeur [n) dans les formules (i i) de l'article 46, ou sa valeur (/?) dans les formules (i a), on aura par la différentiation de chacun de ses termes les variations différentielles des éléments de l'orbite de /n, exactes aux quantités près du second ordre, par rapport aux
à^4 THÉOaiE AIULYÏIQUE
excentricités et aux ioclinaisons, que oous.r^ardons comme de très-petites^ quantités du premier ordre.
Il est bon de remarquer que A^^^ ainsi que. les fonctions de a et a' qui sont représentées par des parenthèses dans la valeur de F, étant symétriques par rapport à ces deux quantités, cette valeur ne varie pas lorsqu'on y change a^ i, r, p, ç, en a', b% c\ p\ q\ et réciproquement, de sorte que si Ton fait F = m' F', la fonction F' sera la même pour les deux planètes, et pourra servir simultanément pour le calcul de leurs perturbations. C'est d'ailleurs ce qu'on peut conclure à priori de l'expression de R. En effet, on a
Il est aisé de se convaincre, et nous prouverons dans le chapitre suivant, que lorsqu'on n'a égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux masses per-
turbatrices, la partie "^^ de la valeur précédente ne produit dans le développement de R que des termes périodiques, en sorte que la partie non pé-^ riodique de R, que nous avons désignée par F= m' F', ne peut provenir que de la partie non périodique de ta fonction
d'où il suit que F' est égal à la partie non périodique
de la fonction [(a:' -. xf + ( j'- j)' + (z' - z)^]'^ développée en sinus et cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps, et que par conséquent
sa valeur est la même pour la planète m et pour la planète m!.
54. Après cette digression indispensable sur le développement de R en série, reprenons les formules générales que nous avons trouvées dans le chapitre précédent pour déterminer les variations séculaires des éléments du mouvement elliptique, et développons les conséquences importantes qui en résultent relativement à la stabilité de notre système planétaire. Considérons un système composé d'un nombre quelconque de corps m, m% Tn!\ etc., réagissant les uns sur les autres. Nommons a', //, c\ /?', g', e\ w', a', f' par rapport à m'; a!'^ h\ d\ p\ ç", e^, «", a", tf par rapport à Vfi\ et ainsi de suite, ce que nous avons nommé a, A, c, /i, 7, e, «, a, ç relativement à m. Substituons pour A^^^ sa valeur dans l'expression (/?) de F, et faisons, pour abréger,
' ;"{«'«-«')' (ùt^-hcc),^
en désignant par 2 la somme de tous les termes semblables aux précédents qu'on obtiendra en combinant entre elles deux à deux et de la même manière les masses m, wi', m'\ etc., et les quantités qui leur sont relatives.
Si l'on substitue L à la place de F dans les formules (11) et (12) du n** 46, on aura des équations
différentielles au moyen desquelles on déterminera les variations séculaires des éléments b^ c, /?, q de Torbite de m, causées par l'action des corps m\ m'\ etc.; et comme la fonction L esr symétrique par rapport à tous les corps du système, il suffira de marquer successivement d'un accent dans ces formules les lettres m, b^ c, p, q pour avoir les variations des mêmes élément^ relatifs aux orbites de m\ m'\ etc. En négli-^ géant les carrés et les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, et en se rappelant que a*«^= I, a'^n'^z=i i, etc., on obtiendra de cette manière le système d'équations différentielles suivant :
db =
d$ dh
de
fa
, dt dL
dp = F^"7-5
db' =
m si a ^y dt dL
ït dL
'Sl^dq!''
de = dq=, dc'=^ dq^ =
dd'^
dt dL
dt dL msfâ^P ' dL
dt
1 ,:__ dt dL ^ ;„' J7? da*
etc.
dt dL
d{ dL
m"sj^db"'
dt dL
La forme simple et symétrique de ces formules fait connaître plusieurs relations qui existent entre les variations séculaires des éléments d'un système de planètes /w, m', wl\ etc. On tire d'abord des équa-
tions précédentes,
etc.,
dlu ^^, dL ^^
^L ^,„ dL ^ „
dL . , . d,L , , dL . „ dL -,
^dL dL
^ de' ^ db'^^ dc^' ' dh"
Et comme L est une fonction des variables «, A, c, p^ 1/, a', i', etc., indépendante du temps, et que d'ailleurs^, a\ à'j etc., sont constants, n**46, par rapport aux variations séculaires, il s'ensuit qu'on aura dh = o, et par conséquent L =;= constante, équation qui doit subsister, quelques variations que les éléipents i, c, p, 9, b\ c\ etc., subissent dans la suite des siècles.
Si l'on multiplie les équations (M), la première par msjabj la seconde par msJaCj la cinquième par m! ^a'b\ la sixième par m! sja'c\ et ainsi de suite, qu'on ajoute entre eux ces différents produits, on aura
ms[i[hdb^cdc]-h m' sl7'[b'db' -h c'dc') + m" s[7' {b" db" 4- ç" dd')
Il est aisé de se convaincre que le second membre de cette équation est nul de lui-même par la nature de la fonction L. Si l'on observe donc que les demigrands axes a, a', à\ etc., sont constants, et que h'^c'^^é', A'^ -h c'^ = e'% etc., l'équation précédente donnera, en l'intégrant,
m yjae^ h- m' y(â'e'^ 4- w!' yjâre"^ H- . . . = const. (e)
C'est-à-dire que la somme des masses des différents corps du système, multipliées par les racines carrées des demi-grands axes et par les carrés des excentricités de leurs orbites, sera la même dans tous les temps. Si Ton suppose donc cette somme très-petite à une certaine époque et tous les radicaux yja^ y/af^ etc., de même signe, elle demeurera toujours peu considérable. Nous verrons bientôt que cette remarque assure relativement aux excentricités des orbes planétaires la stabilité du système du monde.
Si l'on multiplie les équations (M), la troisième par m \jap^ la quatrième par myjaq^ la septième par m! >(]a' p\ et ainsi de suite, qu'on intègre la somme de ces produits en observant que, par la nature de la fonction L, on a
dlu dL ,dL ,d'L ,,dL „dla
on trouvera
m V^(/>'-4- q') 4- m'sf^[p"^q'^)^m''^f^[p"^+ q'"') -i-...= coast. (/)
D'ailleurs, en nommant ç, ç)', y", etc., les inclinaispns des orbites de m, m% m", etc., sur le plan fixe desorj, on a
p^-k- q^ = tang'cp, ;?'>4- q'^ = tang'cp', /?"»+ q"^ = lang'<p", etc.
L'équation précédente donnera donc
m V^tang'ç H- m' ^tang*<p'-f- /w" ^a" lang'ç''-h. . . = const., (/)
équation d'où l'on tirera, relativement aux inclinaisons des orbites, des conséquences analogues à celles qu'a fournies l'équation (e) par rapport à leurs excentricités.
Si Ton multiplie les mêmes équations^ la troisième par m sja^ la septième par m' \/a', et ainsi du reste, qu on les ajoute ensuite; si Ton multiplie la quatrième par77iv/«, la huitième par m' sja', et ainsi de suite; qu on ajoute les produits, et qu'on intègre les deux sommes résultantes, en observant que par la nature de la fonction L, on a
rfL rfL ^L e/L £/L rfL
on aura les deux nouvelles intégrales suivantes :
m sfâp 4- m' sfS p'-^mf' s[a" p'' -^ . . .= const., I
Si Ton multiplie la première des équations (M) par m>Jac^ la seconde par — myjab^ la troisième par m\jaq^ la quatrième par — m\lap^ la cinquième par m'sfa'c'^ et ainsi de suite, et qu'on ajoute entre eux les produits résultants, on aura
rfL rfL ..rfL ,rfL .„rfL „dL
rfL dL ,dL , dh „ dL „ dL
•^Pd^-^'^w-^'d?'^'^'-^'' w^'W^----
Or, la quantité que représente L étant une fonction homogène du second ordre, par rapport aux variables />, c, /?, 9, ^, c', etc. , on^a, par la propriété de ces
38o THÉORIE ANALYTIQUE
sortes de fonctions,
, dh dit widL fdh
rfL dL ,dL ,dL ,
On a d'ailleurs, d'après les valeurs de b, c, p, q, b', (fy etc.,
cdb - bdc = e*da, d dlf - hdcf^ e'^'dtù',
(fdb'-b"d(fz= ë"^d(ù\ etc.,
qdp -r- pdq = tang* ç c?a, q' dp'— p' dq!-=z tang' <f' da!,
qfdp" — p"dp" = tang» ç" da.\ etc.
L'équation précédente deviendra donc
et comme la fonction L est constante, on peut, dans le second membre de cette équation, substituer sa valeur à un instant quelconque. D'ailleurs, comme les variations séculaires des excentricités et des inclinaisonSy tant qu'on ne considère que les termes du premier ordre par rapport à ces quantités, sont données par des formules absolument indépendantes entre elles, on peut supposer les orbites de m, /n', m'\ etc., dans le même plan, lorsque Ton ne considère que les variations des excentricités, ou les supposer circulaires, lorsque Ton considère celles des inclinaisons. En faisant donc tour à tourç = o, ç)'^= o, ç>"= o, etc., et e = o, e'== o, e"= o, etc., dans l'équation précé-
dente, on aura séparément,
m(a-^ H- m' 0?-^— + m" s^a" — ^— ■+■• • . = const.
mfa--^ h/w V^ — ^^ hm^s/a'' —^ |-...=const.
^ tu - at dt
Les quantités "^ » "^ ' ^^^- ^ ^ ' "^ ' ^^c. , expriment
les vitesses angulaires des mouvements des périhélies et des nœuds des dififérentes orbites ; les équations précédentes donnent par conséquent une relation qui doit toujours exister entre ces vitesses, et montrent qu'elles ne pourront pas croître indéfiniment, si on les suppose toutes de même signe^ ainsi que les radicaux v'a, \[â\ etc.
Les diverses équations auxquelles nous venons de parvenir expriment des relations qui doivent toujours subsister entre les éléments des orbites de m, m', etc., regardées comme des ellipses variables à>raison de l'action mutuelle de ces corps, quels que soient les changements que ces éléments éprouvent dans la suite des temps, du moins tant qu'on n'aura égard, dans la détermination de leurs valeurs, qu'à la première puissance des excentricités, des inclinaisons et des forces perturbatrices. Elles fournissent par conséquent autant d'équations de condition, au moyen desquelles on pourra vérifier ces valeurs lorsqu'on les aura déterminées*
S5. Considérons en particulier les mouvements des orbites de deux planètes m et m' que nous supposerons assez éloignées d|es autres corps du système, pour
qu'ils n'aient sur elles aucune influence, en sorte que ces deux planètes forment entre elles, avec le Soleil, une sorte de système particulier. Noiis verrons dans la suite que ce cas est, à très-peu près, celui de Jupiter et de Saturne.
Si Ton prend pour plan fixe le plan de l'orbite de m à une époque quelconque, qu'on nomme y l'inclinaison mutuelle des deux orbites, que nous supposerons toujours très-petite, on aura ç = o et 9'= 7; d'ailleurs, d'après la remarque que nous avons faite dans le numéro précédent, si l'on ne considère que les variations des inclinaisons, on peut supposer nulles les excentricités dans la valeur de la fonction L, .qui devient simplement alors
La fonction U doit demeurer constante, quelques variations que subissent les quantités pf elq' *j on a d'ailleurs p'^+ q'^ = tang^ / . L'équation précédente donnera donc
tangy' = tangY = constante,
c'est-à-dire que, dans ce cas, l'inclinaison mutuelle des deux orbites est toujours la même.
Déterminons le mouvement des nœuds de l'orbite de m' sur l'orbite de m. Si dans la formule (5) du
n® 42 on remplace R par -7 L', on aura
En substituant dans cette expression, à la place de
L' sa valeur précédente, et en négligeant les termes du second ordre, par rapport aux excentricités et avix inclinaisons, on trouve
do! ___ ^maa' [a, a')'
c'est Texpression de la vitesse angulaire du mouvement du nœud de Torbite de m! sur le plan de Torbite de /w. On voit que cette vitesse est constante. Le mouvement de l'intersection de deux orbites pendant le temps t, en vertu de Faction mutuelle de m et de m\
sera donc — ^—^ ^^^^ ' t sur le plan de Torbite de
m: le mouvement de cette intersection pendant le même intervalle sur le plan de Torbite de mf sera
maa [a^ ^ ^ ^et leur inclinaison mutuelle pendant ce
temps ne variera pas.
Concevons un plan fixe intermédiaire entre ceux des deux orbites, et passant par leur commune intersection. Soit (f l'inclinaison de Torbite de wi, et ç' l'inclinaison de l'orbite de m' sur ce plan, en sorte qu'on ait qp' 4- y = y. Le mouvement des nœuds de chacune des deux orbites sur le plan fixe sera déterminé par les équations
rfa I dL
^' I dlu
d^ '^ w' sla'{i—e'^) sin y' df^' ' Layant la même signification que dans le n*' 54..
Si l*on n'a égard qu'à Taction mutuelle de deux planètes m et m\ et qu'on substitue pour/?, ç, />', ç' leurs valeurs n*^ 53, dans la fonction L, on aura, aux quantités près du second ordre en y et y', r
d'où Ton voit d'abord que les mouvements instantanés da, et dcx! des nœuds des deux orbites sur le plan fixe, se font en sens contraire, ce qui résulte en effet de ce que, par la construction, le nœud ascendant de l'une d'elles coïncide avec le nœud descendant de l'autre, et réciproquement. On voit de plus que si l'on fait
m \Jn{i — e*) sinç> = m' \la'{\ — e'^) sinç)',
on auraj pour un instant quelconque, da= — da\ c'est-à-dire que, dans ce cas, l'intersection commune des deux orbites restera toujours sur le plan que nous venons de considérer, pourvu qu'il partage l'angle 7 de manière à ce que les angles y et y' satisfassent à l'équation précédente.
Cette équation combinée avec la suivante qui n'est qu'une extension de l'équation (Z) du n® 54, et que nous démontrerons dans la suite,
mslaix -e^)sin*î)+ w! yja' [i - e'^) sin^Qp' = c% donne
sin»© = — r , — ; T>
m^a[i — e^){m sja (i — c») + m' V«' (i — ^'^ ) J
mJaii — e^)c^
sin^9'= -F — ^. V ^ -T-
Ces valeurs montrent que les deux angles y et ç' sont constants; les inclinaisons des orbites de m et de m' sur le plan fixe sont donc invariables, ainsi que leurs inclinaisons mutuelles; ces trois plans auront toujours une intersection commune, et le mouvement de cette intersection sera uniforme. Nous verrons dans la suite que le plan qui jouit de cette propriété remarquable, est celui du maximum des aires, que »ous avons nommé plap. itwariable dans le p^ 23 du premier livre.
56. Il nous reste à considérer la variation de la longitude g de Fépoque. La troisième des formules (ii) du n^ 46 qui la détermine, peut être mise sous cette forme :
Si dans cette formule on substitue à la place de F la fonction — L du ii^ 54, .pour avoir des formules symétriques pour toutes les planètes, on aura
f / / ô\ 1 za'^ndt eiL
^ ^ ' m da
Désignons par s', £", etc., ce que devient e relativement aux planètes m\ m", etc., nous aurons, pour déterminer les variations rfg', r/s", etc., des formules analogues à la précédente, en marquant successivement d'un accent dans celles-ci les lettres //2, A^, «, e, G). Cela posé, si l'on multiplie ces différentes formules, la première par m \/a^ la seconde par m' \^a'
et ainsi de suite; qu'on les ajoute en observant qu'on
a généralement an\la:= i^on trouvera
m sja dt + /w' v^é/s'4- m" ^7'dt"-\-. . .. z=:m^a (i — ^i — ^') fl?w
-f. iw' V«^(i— v/î"^^^^) ^«'-+- m" sJ7' (i - v^7=V^0 ^«"H
/ rfL ,rfL „iiL \-
L étant une fonction homogène en a, a', a'\ etc., de la dimension — ï -^^ on a, par la propriété de ces fonctions,
dL ,dL ^ „dh
Nous avons vu (n®54) que la fonction L est constante par rapport aux variations séculaires des éléments de /n, m'y etc.; d'ailleurs, si Ton néglige les puissances des excentricités supérieures à la deuxième, on a, numéro cité,
m v^(i— \/i-— e') d(ù -H m- s]a' (ir- \/i— 4?'») dtù'
+ m'' sl'^' (i - s/ï^^^^') ^«''•+- . . .
C étant une constante invariable.
On aura donc enfin,
msla-^^ m' yja' -^ -\- m" yja'' ^ + • • =const, {^)
relation semblable à celle qui existe entre les longitudes des périhélies et des nœuds, et dont on peut tirer des conséquences analogues.
Si l'on ne veut considérer dans le premier mem-
bre de réquation précédente que les termes de — ?
dt
— 5 etc., qui sont proportionnels au temps, on pourra
faire abstraction de la constante du second membre. On aura donc entre ces termes Téquatipn
myjâdi 4- m' y/a'dz'-h m!' \fà' dz" -^^ . . . = o, [t)
d'où il suit que la somme des termes des longitudes s, e', ^\ etc., proportionnels au carré et aux puissances supérieures du temps, multipliés respectivement par myjaj m*>Ja\ m" yja'\ etc., est constante. On retrouve donc entre ces parties des variations séculaires de la longitude de l'époque, les mêmes relations qu'on remarque entre celles des carrés des inclinaisons, et, en général, entre les inégalités dont les périodes sont très» longues.
57. Nous avons fait voir que la fonction L, et par conséquent la fonction F du n**46, ne varient pas lorsqu'on y fait varier les éléments a^ ô, c, ^, q de la planète troublée et des planètes perturbatrices, en vertu de leurs inégalités séculaires; c^est-à-dire qu'on aura toujours
y- da -^ -yr- db -^ ^e +-— ûf/> H- -j- </^ -+-..= O, da do de dp dq
Nous n'avons démontré cette proposition qu'en portant l'approximation jusqu'aux termes de l'ordre du carré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons; mais il est facile de l'étendre à toutes les puis-
sauces de ces éléments. En effet, si l'on substitue à la place de da^ db, etc., da\ db', etc., leurs valeurs déterminées par les formules (ii) du n^ 46, l'équation précédente se vérifiera d'elle-même; d'où l'on peut conclure que la fond ion F est rigoureusement constante par rapport aux variations séculaires de la planète troublée et des planètes perturbatrices.
Au reste, cette propriété de la fonction F n'est qu'un cas particulier d'une propriété plus générale dont jouit la fonction R, et qui consiste en ce que si, après y avoir substitué à la place des coordonnées x, y, a de la planète troublée, leurs valeurs elliptiques, on regarde cette quantité comme une fonction du temps t et des six éléments «, £, ^, o, ç et a de Torbite de /w, qu'on la différentie ensuite par rapport à ces mêmes éléments, la fonction résultante sera identiquement égale à zéro. Ce qui doit résulter, en effet, de ce que la quantité que nous avons représentée par R étant une fonction finie des trois variables a% jTy z qui déterminent à chaque instant la position de la planète /w, la différentielle première de R, conformément aux principes généraux de la variation des constantes arbitraires, doit conserver la même forme, soit qu'on y fasse varier les éléments elliptiques introduits par la substitution des valeurs de ces coordonnées, soit qu'on les traite comme des quantités constantes. On aum donc ainsi l'équation de condition suivante :
^R , ^R , rfR . dK t (l^ j dR ,
-r-da-t -y- «2-f- ~j-de-\' ^-««4- -r-dcp-h -r- rfa=o,
ela "6 ne "w ««p ' fia
équation qui se vérifie en effet lorsqu'on y substitue
pour da^ r/g, de, etc, leurs valeurs données par les formules du n^ 42, et qui peut servir, soit à contrôler ces valeurs lorsqu'on les â calculées séparément, soit à déterminer Tune quelconque d'entre elles lorsque les cinq autres sont connues.
Dans le chapitre suivant, nous examinerons en particulier les inégalités séculaires de chacun des éléments des orbites planétaires; nous développerons les formules différentielles de leurs variations, et nous les intégrerons ensuite ; et comme la forme des inté** grales a la plus grande influence sur la constitution et sur la stabilité du système solaire, nous donnerons à cet examen toute l'étendue et tous les développements que son importance exige.
3go THÉORIE ANALYTIQUE
