INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES ÉLÉMENTS DES ORBITES PLANÉTAIRES

yariations séculaires des grands axes et des moyens mouvements,

58. Le grand axe est, de tous les éléments des orbites planétaires, celui dont les variations séculaires sont les plus importantes, parce que non-seulement il influe de la manière la plus directe sur la forme de Torbile, mais' encore parce qu'il détermine le moyen mouvement, ou, pour parler plus exactement, ce qui dans l'orbite troublée répond au moyen mouvement dans l'orbite elliptique; d'où il résulte que la moindre altération dans le grand axe de l'orbite d'une planète en produit- une nouvelle, beaucoup plus sensible encore , dans la durée de sa révolution.

En effet, si l'on fait n =z a *, et que l'on désigne par Ç le moyen mouvement de w, on a dans l'orbite elliptique rfÇ = «rf/. Or, nous avons vu qu'on pouvait dans le mouvement troublé, supposer que pendant chaque instant infiniment petit dt la planète m se meut dans un orbe elliptique; l'équation précédente aura donc encore lieu dans ce cas, seulement la quantité n ne sera plus constante, et ce mouvement, par conséquent, ne sera plus uniforme. Nous conti-

nuerons cependant, par analogie, à appeler Ç, ouTiniégralejndtj le moyen mouvement de la planète troublée, parce qu'il correspond, dans les formules du mouvement troublé, au moyen mouvement nt dans les formules du mouvement elliptique. On aura (n** 43) pour déterminer raccroissement de Ç dans Torbite variable, la formule

H = -^fJandtci'R, (i)

et la variation du grand axe sera donnée par Téquation

âa = ^Ja^d'Vi, (a)

On voit donc que si la différentielle (t R renferme im terme proportionnel à Télément du temps, ou, ce

qui revient au même, si — renferme un terme constant, il en résultera dans l'expression du gi^and axe, un terme croissant comme le temps et de la forme kt^ k étant une fonction des éléments des orbites de m et de/w'; et dans l'expression du moyen mouvement, un terme de la forme kû^ qui, croissant comme le carré du tendps^ deviendra à la longue extrêmement sensible. Ainsi, au bout de quelques sièles, la forme des orbites et la durée des révolutions des planètes pourront se trouver sensiblement altérées. Si au contraire la différentielle ^'R n'est composée que de termes périodiques, dépendant des moyens mouvements nt et n! t de la planète troublée et des planètes perturbatrices, cW-à-dire de termes où le temps / est toujours renfermé sous les signes sinus ou cosinus , les va-

leurs de âa et de d^Ç ne contiendront que des termes semblables. Les grands axes des orbites et les moyens mouvements ne seront soumis par conséquent à aucune inégalité séculaire à longue période ou susceptible de croître indéfiniment avec le temps, u^ 47 ; ils ne seront assujettis qu'à des inégalités périodiques dont on pourra toujours assigner les limites, et qui, dépendant uniquement de la configuration des différents corps du iystème, reprendront les mêmes valeurs toutes les fois que ces corps reviendront aux mêmes positions. Il est donc extrêmement important d'examiner avec soin la forme de la différentielle rf'R. Nous avons déjà vu (n^ 46) que celte quantité ne pouvait contenir que des termes périodiques, lorsqu'on n'avait égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices, quelque loin d'ailleurs quQ Ton porte les approximations par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. Mais, pour ne laisser aucun doute sur ce point, Tun des plus intéressants du système du monde, nous allons reprendre ici cette proposition, et nous la généraliserons en l'étendant au cas où l'on considère les carrés et les produits des forces perturbatrices.