Reprenons la formule du n** 43, daz= 2aVR
La caractéristique d' ne se rapporte ici qu'aux coordonnées de la planète troublée, en sorte que si Ton regarde R comme une fonction des coordonnées jc, ^, Zy x', y y z\ etc. , de la planète troublée et des pla-
DU SYSTÈME DU MONDE. SpS
iiètes perturbatrices, on a
dx dy ^ dz
Par conséquent, si l'on remplace les coordonnées x^ jTj z^ x\ jr\ z', etc., par leurs valeurs en fonction du temps, il faudra, pour avoir la différentielle r/'R, faire varier le temps qui aura été introduit dans R par la substitution des valeurs des coordonnées de m, et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de m\ m", etc., c'est-à-dire qu'on aura
r/'R= —Tulty le temps t ne devant varier dans R
qu'autant qu'il est multiplié par la constante n.
Cela posé, ne considérons, pour plus de simplicité, que l'action mutuelle des deux planètes m et m! ; ce que nous allons dire pouvant d'ailleurs s'étendre, comme on le verra, à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Si dans une première approximation on néglige les puissances des masses perturbatrices supérieures à la première, il suffira de substituer dans R, à la place des coordonnées de m et de m\ leurs valeurs relatives au mouvement elliptique. Nous avons vu que la fonction R peut toujours se réduire alors en une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, de sorte que chacun des termes de ce développement sera de cette forme
m' A cos [i'n't — int -f- A),
nteXn't représentant les moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perturbatrice, / et V
des nombres entiers qui peuvent prendre toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro; enfin, A et A", des fonctions des éléments des orbites de m et m' indépendantes du temps t.
Pour avoir la différentielle de ce terme, par rapport aux coordonnées de m y sans faire varier celles de m\ il faut différentier, par rapport au moyen mouvement nt^ et regarder le moyen mouvement n't comme constant. Cette différentiation fera disparaître le terme constant du développement de R qui répond à /' = o, f = o, ainsi que les termes périodiques qui ne dépendraient que du moyen mouvement n! t de la planète m\ et Ton aura, relativement au terme qui précède,
r/'R= rn! kindtsm^i'n' t — int -h k).
Le terme correspondant de da sera donc
da = *iin! kina^ dt^\\\[i' n! t — //li-t- k)^
et en intégrant, on aura
(f a = — -77— r — cosii n t — int + A).
La différentielle da ne peut contenir aucun terme constant, à moins que Ton n'ait V n' — in = o, condition qui suppose les moyens mouvements des planètes TîK et m' commensurables entre eux, ce qui n'a jamais lieu dans notre système planétaire. Le grand axe, et par conséquent le moyen mouvement, ne contiendront donc aucun terme croissant comme le temps, et ils ne seront assujettis qu'à des variations pério-
DU SYSTÈME DU MONDE. SgS
cliques dépendant des moyens mouvements nt et n! tj et de leurs multiples, du moins tant qu'on n'aura égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices.
Si le rapport des moyens mouvements nt et n't^ sans être exactement commensurable , approchait beaucoup de celui de ik i\ la quantité i' n' — in deviendrait très-petite, et le terme précédent de la valeur de 9a^ et à plus forte raison celui qui lui correspond dans l'expression du moyen mouvement, et qui a le carré [i'n' — iny pour diviseur, deviendraient très-considérables. 11 en résulterait, dans l'expression de la longitude moyenne de la planète m, une inégalité qui, croissant avec une grande lenteur, pourrait faire penser, lorsqu'on comparera les anciennes observations aux modernes, que son moyen mouvement n'est pas uniforme, et qu'il est affecté d'une inégalité à longue période du genre de celles que l'on nomme inégali^ tés séculaires. C'est ce qui est arrivé pour Jupiter et Saturne. Cinq fois le moyen mouvement de Saturne est à fort peu près égal à deux fois le moyen mouvement de Jupiter, en sorte que la quantité Sw'— in n'est pas la soixante-quatorzième partie de n ; et cette cir-. constance singulière produit les grandes irrégularités observées dans les mouvements de ces deux planètes^ et qu'on avait regardées longtemps comme inexplicables par la loi de la pesanteur universelle.
60. Voyons si le résultat précédent subsiste encore, lorsqu'on considère les carrés et les produits des masses ?/îetm'. C'est une question importante à examiner,
♦Ai m;v#?c.
parce que si la seconde puissance des forces perturbatrices introduisait dans l'expression différentielle du grand axe des termes proportionnels à l'élément du temps, ou des termes périodiques indépendants des moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perturbatrice, les inégalités qui en résulteraient, quoique multipliées par le carré des masses, pourraient à la longue devenir très-sensibles dans l'expression du mouvement moyen, les premières en s'y trouvant multipliées par le carré du temps, les secondes en acquérant par la double intégration qu'elles subissent, de très-petits diviseurs du même ordre que leurs coefficients, cequi les rendrait après l'intégration indépendantes des masses, et semblables, par conséquent, aux inégalités séculaires des autres éléments de l'orbite, qui dépendent de la première puissance des masses et qui sont données par une seule intégration. On sait d'ailleurs qu'une inégalité de cette espèce, si elle existe, serait du second ordre par rapport aux excentricités; elle deviendrait comparable par conséquent à l'inégalité du mouvement elliptique, dont l'argument est le double de l'anomalie moyenne, c'està-dire au second terme de l'équation du centre. Il est donc essentiel de s'assurer que le carré de la force perturbatrice ne produit que des termes périodiques dans l'expression du moyen mouvement, ou que si elle y introduit quelque inégalité séculaire, à longue pé^ riodej c'est-à-dire dont l'argument soit indépendant des moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perturbatrice, son coefficiept, qui est une très-petite quantité du second ordre dans la valeur
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différentielle de cet élément, restera encore insensible après r in tégration .
Les termes du second ordre, par rapport aux masses, sont introduits dans R par les variations des éléments elliptiques de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Si Ton substitue donc dans R, Ç 4- c?Ç, (f-^.^ay e-hâe^etc, Ç'n- d'Ç', a'-i-âa', e'-h âe\ etc.^ à la place de Ç, a, e, etc., Ç', a\ e\ etc., la caractéristique â désignant ici des variations dépendantes seulement de la première puissance des masses m et m\ et qu'on développe ensuite la fonction résultante que nous désignerons par R^ en se bornant aux termes de Tordre du carré des masses, on aura
En supposant, pour abréger,
ndt da ai de «w dp dq ^
« rt/ r/ût d€ de' r/w' cl'/?' '^ dq' ' '
l'équation (a) donnera,^en la différentiant par rapport
flf'R, = ^'R + rf'.(jR4-^'.(?'R. {h)
On doit remarquer ici que, pour avoir la différentielle rf', d^R, il faudra, d'après ce que nous avons dit précédemment, faire varier dans d^R le temps introduit par la substitution des valeurs des coordonnées de m et des variations d^Ç, ^ciy ài^ etc., et regarder comme constant celui qui provient des coordonnées de m'; de même pour avoir r/'.(?'R, il faudra faire
varier dans â'R le temps introduit par les coordonnées a:, jr^ Zj et regarder comme constant celui qui résulte des coordonnées a:\ f ^ z\ et des variations ù^\ âa\ âe\ etc., des éléments de Torbite de m!.
Examinons successivement les trois termes de la valeur de d' R,, pour nous assurer qu'aucun d'eux ne peut contenir de partie non périodique. Le terme d'R est celui que nous avons considéré dans la première approximation ; nou» avons prouvé qu'il ne renferme aucun terme de cette espèce; passons donc de suite au second. Si dans l'expression de (ïR on considère d'abord le premier terme en faisant abstraction de tous les autres, et qu'on le différentie par rapport à la caractéristique d', on aura, en vertu de ce terme seulement,
ou bien en substituant pour c?Ç et d.âÇ leurs valeurs données par la formule (1), n^ 58,
Cette fonction n'introduit dans d\âR que des termes périodiques. En effet, supposons qu'on ait réuni en un seul tous les termes de R dépendants du même argument i'n't — int^ et soit A cos{i^n' t — int H- A) ce terme, il en résultera dans d', âR les deux salivants :
3 ai ^ n^ A* dt
TTry^f^—T^cos^i'n't — int ■+- k) sm[i'n't — in( 4- A)
Zai^n}A}dt . , ,, , . ,v / ., , . .n
.; ; . sui(i'/?7 — lut 4- A)cos(i'w'^— mt + k)^
expression qui se réduit en sinus dépendants du double fie l'angle 1 ' n' t -^ int.
Considérons maintenant les termes de l'expression de (^R dont nous avons dlabord fajt abstraction. Si I*on remplace les variations âa^ c?€, etc., parleurs valeurs résultantes de l'intégration des formules différentielles du n*^ 4^, on aura A
e \d(ù J de de J dt^ ]
— j doit
être prise ici sans faire varier n, conformément à la remarque faite n*^ 45 .
Pour avoir la valeur de d' .à^^ il faut différentier complètement Texpression de c?R relativement aux variations des éléments de nij ou, ce qui revient au même, supprimer les signes /qui n'ont été introduits que par l'intégration des valeurs différentielles de ces éléments, et alors cette expression est identiquement nulle. Il suffira donc, pour avoir d' , c?R, de différentier dans ^R, par rapport à nt^ les quantités hors du signe/. Mais si l'on substitue dans (?R à la place de R SSL valeur développée en sinus et cosinus d'angles rauitiples desmoyens mouvements w( et n'if, les différents ternaes de cette fonction pourront prendre cette
4oo THÉORIE ANALYTIQUE
forme VfQdt — QfPdtj en représentant par P et Q une suite de termes de la forme
A\ ' (Vn — int-h k).
-sm . ^ • ' '
/ et i' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Pour avoir dans
d'.{PfQdt-QfPdt)
des termes où les moyens mouvements ntj n' t produisent en se détruisant des termes i\on périodiques, il faut combiner ensemble les termes de P et Q qui dépendent des mêmes multiples de nt et de n't. Soit donc kco^[i n' t — int h- k) un terme quelconque de P, et soit A' cos(/' n' t -^ int h- A') le terme de Q qui a le même argument, on aura, relativement à ces termes,
d', dK = A indtsin(i' n't— int 4- ^ )fA.'dt cos (i' /i' t—int-\-k') — A' in dt sin [i' n' t -—int -hk')fA dt cos (i ' n' t^int-\-k),
expression qui se réduit à zéro lorsqu'on effectue les intégrations indiquées. Concluons donc que les variations des» éléments de la planète troublée m ne produisent dans tf'R^ aucun terme non périodique.
Il nous reste à considérer les différents termes de l'expression de d' , &' R résultant des variations des éléments de m'; il n'est plus possible d'employer ici la réduction précédente, parce que la fonction R n'étant pas symétrique par rapport aux coordonnées x, j, 2, x'y y, z\ cette foncrion changera de valeur relative-
DU SYSTÈME DU MONDE. 4oi
nient aux perturbations de la planète m! . Soit R' ce que devient dans ce cais R ; on aura
\sjx'-xy-\-{y-yY+{z'- zy »•' )
et par conséquent
La variation de R, produite par les variations des éléments de l'orbite de m\ est donc égale à la variation du second membre de cette équation relative aux variations des mêmes éléments, et par conséquent si la différentielle de cette variation relative à la caractéristique d' ne renferme aucun terme non périodique, on sera assuré que la fonction d', (^'R ne saurait contenir non plus aucun terme semblable.
Considérons d'abord le premier terme de ce second membre. La variation du moyen mouvement Ç' pro-
duit dans <?'R' le terme "73-^'?', et l'on prouvera,
comme on l'a fait pour le terme analogue — c?Ç, qu'il
n'en saurait résulter que des termes périodiques ; on peut donc en faire abstraction, et, en vertu des variations des autres éléments de l'orbite de m', on aura ^
Si Ton remplace ùa\ âe\ (Je', cJw', c?/?', âq' parleurs
valeurs, on voit, par l'analyse précédente, que &'K
pourra se décomposer en une suite de termes de la
forme VfQ'dt — Q'fP'dt; et pour avoir la différentielle d'. â'R\ il suffira de différentier, par rapport à nt^ les quantités hors des signes/, celles qui sont sous le signe intégral étant relatives aux éléments de la planète m% et devant par conséquent être re-gardées comme constantes. On prouvera, par la même analyse, que cette fonction se réduit à zéro lorsqu'on n'a égard qu'aux termes non périodiques qu'elle peut renfermer. La fonction différentielle d\â'R' ne contient donc que des termes périodiques, et si des termes lion périodiques peuvent exister dans d'. ^'R, ils ne proviendront que de la variation de la fonction
Désignons, pour abréger, par L celte fonction. Si dans la première des équations (A) du n** 37, on substitue M -f- /n à la place de ^, M étant la inasse du Soleil, on en tirera
m' X w' d^x mm* x m^ (^^\
1^ '^ ~"m IF sr P ^ m" \dx) '^
on aurait pareillement
Les équations différentielles en j^ z, jr' et z' four-^ niront des équations semblables. Si l'on multiplie respectivement par or', j^% z',. les équations en x^ jr^ z ainsi obtenues, et par jc, j^ z les équations en x\jr\ z', et qu'on retranche ensuite les secondes des premières, on aura
iw' V d\{xdx' — x' dx+ydy' — jr' df'{'zdz' — z'cfe)"! .
DU SYSTÈME DU MONDE. 4o3
en nommant, pour abréger, N la fonction en x^ j-j Zj ^', J^'^ z' du second ordre relativement aux masses m et m\ déterminée par l'équation
L'équation (c) donnera, en la différentiant par rapport à la caractéristique rf', et ne considérant que le premier terme du second membre,
[xdx' — j/ dx -H ydy' — y' dy •+- zdz' — z'cfe) '
~' dF'
Le second membre de cette équation ne renferme aucun terme constant, puisqu'un pareil terme disparaîtrait de lui-même par la différentiation. La fonction fd' L ne peut contenir par conséquent aucun terme simplement proportionna au temps t. Elle ne peut renfermer non plus aucune inégalité séculaire susceptible d'acquérir une valeur sensible par la suite des temps, parce que la valeur de rf'L étant une différentielle exacte, les termes qui contiennent sous le signe sinus ou cosinus le temps t indépendamment des angles nt et n* t^ n'augmenteront pas par l'intégration dans l'expression de la fonction /rf'L.
En n'ayant égard qu'au terme N de l'expression L, on aura
rf'L = rf'N.
L»a fonction î( étant de l'ordre du carré des masses, si Ton n'a égard qu'aux termes de cet ordre, il suffira
4b4 THÉORIE ANALYTIQUE
de substituer dans N, au lieu des coordonnées de m et de in\ leurs valeurs elliptiques, et il est aisé de se convaincre alors que d' N ne renferme que des quantités périodiques. En effet, des équations du mouvement elliptique de m et m', on conclut
xx' -t yy' -h zz^ x' il'x -h jr^ d^y -h z d^ z
7^ "~ (M^^^mydP '
xx' -\- fy^ -i- zz' xd^x' -{-yd^y^-hzd^z'
La fonction N devient donc ainsi
fxd^ xf -t- jd'^y ' 4- zd"" z' l
fx'd'x-hyd^f-^z'd'z\ w'r,/rfR\ [dW\
dK\ /dK'\ JdK\ /dK'\-]
Les deux premiers termes du second membre ne renferment aucun terme non périodique, si l'on y substitue pour JT, /, r, oc'jj', z' leurs valeurs elliptiques, ce qui suffit dans Tordre d'approximation où nous nous arrêtons. En effet, les coordonnées a:, ^, z ne contiennent que des termes périodiques dépendants de Tangle nt et de ses multiples, et les coordonnées x' ^ y'^ z' ne renferment que des termes semblables dépendants de Tangle n' t'^ il est donc impossible que les moyens mouvements nt et n'/ disparaissent dans les produits xd^ x\ x'd^Xy etc.
Quant au dernier terme, si Ton substitue dans —
à la place des coordonnées de m et -de m' leurs valeurs elliptiques, cette fonction pourra se développer
DU SYSTÈME DU MONDÉ. 4o5
en une suite de cosinus d'arcs multiples de nt et de rit^ et comme la valeur de x' ne contient que des termes périodiques dépendants de l'angle n't^ il ne
faudra considérer dans — que les termes où n'entre pas le moyen mouvement nt pour que leur combinaison puisse produire dans ^* -r- des termes indépen-
(lants à la fois des moyens mouvements nt et n' t. Or ces teraies disparaissent d'eux-mêmes dans la valeur de la différentielle rf'N qui ne doit être prise que par rapport aux coordonnées de la planète m; le produit
x' — n'introduit donc danK cette expression aucun
terme non périodique. Il en serait de même relativcr
, ,^ ,dK ,rfR ment aux produits j* — ^ z — •
(^uant aux trois autres produits «^"y^'T;/"?' '^w^' on prouverait par un raisonnement contraire que*, pour avoir dans N des termes non périodiques, il ne faut
considérer dans les trois différences -7— ,? ~ti^ -n ^^^
dx dy dz' '■
les termes dépendants du moyen mouvement nt de la planète m. Soit mnïX l'un des termes indépendants (le w^ que leur combinaison avec les valeurs elliptiques des trois coordonnées .r, ^r, z introduit dans N, il en résultera dans /rf'N le terme mm' f cl' X ou mm'Xy parce que d'X est alors une différentielle exacte: ces termes seront donc encore de l'ordre mm' après l'intégration et par conséquent insensibles. Il suit de là que la fonction /r/'.(î'R ne renferme que des quau-
4o6 THÉORIE ANALYTIQUE
tués périodiques, du moins lorsqu'on néglige les iWgalités séculaires qui seraient de Tordre du carré et des puissances supérieures des masses, et qui par conséquent ne pourraient s'abaisser qu'au premier ordre dans l'expression du moyen mouvement.
Les résultats précédents peuvent aisément s'étendre à un nombre quelconque de planètes perturbatrices. Soit en effet nï^ une nouvelle planète dont on considère l'action sur m; elle ajoutera à la fonction R les termes
Sl{x"^ xY-\- ( j--^)»H- (a"— zY '^'
Les variations des coordonnées de m et de m", résultant de l'action réciproque de ces deux planètes, produiront dans la variation de R des termes multipliés par mm" et par m"^^ et l'on prouvera par l'analyse précédente qu'aucun d'eux ne pourra donner dans fd'.&^B. de termes non périodiques.
Les variations des coordonnées de /»', résultant de l'action de m" sur m\ produiront une variation dans la partie de R dépendant de l'action de m' sur //i, et qui est représentée par
v^(^'- xy-h (r'-rr-f- {3'- zf ^'
Il en résultera, dans R, des termes multiplies par m^m" et qui seront fonctions des coordonnées elliptiques x^jTy z et des angles /i'^, n"t^ ou bien, en remplaçant x^jr^ z par leurs valeurs, des termes fonctions des trois angles nt^ ri t^ n" t. Ces trois moyens mouve-
ments ne pouvant se détruire entre eux, ces termes ne produiront que des termes périodiques dans rf'R, D'ailleurs s'il existe, dans le développement de R, des termes indépendants du moyen mouvement nt^ ils disparaîtront d'eux-mêmes par la différentiation dans rf'R, et si l'on considère au contraire les termes dépendants de cet angle seul, ces termes seront de la forme m' m"d' P, P étant une fonction des coordonnées elliptiques de m. Il en. résultera dans /r/'R des termes de la forme m!m"fd'¥ ou m!m"Vj puisque r/'P est alors une différentielle exacte. Ces termes seront donc encore du second ordre après l'intégration, et nous négligeons les quantités de cette espèce dans la valeur de cette fonction.
De même, la variation des coordonnées jc, j^ z, produite par l'action de m" sur m, ne peut introduire dans la partie précédente de R que des termes multipliés par m' m"* et fonctions des coordonnées x\y' y z' et des angles nt ou rft^ ou fonctions simplement des trois angles nt^ n'i, n"t^ et ces trois angles ne pouvant se détruire entre eux, il n'en saurait résulter dans rf'Rque des termes périodiques. Quant aux termes dépendant seulement de nt^ ils ne produiront que des termes non périodiques de Tordre m!nf dans fd'R,
Les mêmes raisonnements s'appliquent évidemment à la partie de R dépendante de l'action de m'' sur m.
Concluons donc enfin que, quel que soit le nombre des planètes dont on considère l'action réciproque, les variations des éléments elliptiques de la planète troublée et des planètes perturbatrices, ne produiront diws ffl'R aucune inégalité séculaire croissant indé-
4o8 THÉORIE ANALYTIQUE
finiment avec le temps, ni aucune inégalité séculaire à longue période susceptible de devenir considérable par la suite des siècles , du moins tant qu'on n'aura égard qu'aux carrés et aux produits des masses perturbatrices.
6 1 . Reprenons maintenant la formule ( 2 )
da=:^a^d'R, (2)
Lorsqu'on a égard aux quantités du second ordre par rapport aux masses, il n'est plus permis de regarder comme constant le facteur a* dans le second membre de cette équation : en substituant donc à sa place {a -f- àaYj négligeant les termes d'un ordre supérieur au second et intégrant l'expression résultante, on aura, pour déterminer la variation du grand axe de l'orbite de //i, la formule
&a = 2a^fd'R^8a^f{d'^fd'R). (3)
Nous venons de voir que la fonction /rf'R, ne renferme que des quantités non périodiques de l'ordre mm\ lorsque l'on considère dans R, les termes du premier et du second ordre par rapport aux masses perturbatrices, R étant une simple fonction des coordonnées elliptiques de la planète troublée et des planètes perturbatrices, peut se développer en une série de cosinus d'arcs multiples des moyens mouvements nt^ n' ty etc. Soit
m'Acos(/'/2'^ — int 4- ^), l'un des termes de ce développement. Les termes cor-
respondants de rf'R et de fd'R seront
^'R=: indtm'h.ûn{i' n't — int + k\
/^'R= - J!L^,n'kco%U'rn - int 4- A);
el il faudra évidemment combiner ensemble ces termes dans la valeur de $a pour que ni et w' t puissent s'y détruire. Mais on a de cette manière
r/'R./rf'R= ^'^,^^\in2(r/î'f-m^H->f),
•^ in — l' n 2 ^ '^
ce qui donne dans da une inégalité périodique dépendante de Fangle 2 {i^iït ^ int + A).
Il suit de là que la variation du grand axe de Torbite d une planète ne peut contenir aucune inégalité séculaire du premier ou du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, qui puisse devenir sensible par la suite des siècles, quel que soit le nombre des planètes qui troublent son mouvement. Le même résultat s'applique évidemment à la variation du moyen mouvement ; en effet, nous avons trouvé pour la déterminer la formule
r/Ç = - 3/^/i^^rf'R. (i)
Si Ton considère les termes du second ordre, il faut regarder comme variable le facteur an dans le second
membre de cette équation : or, on r an ^= a % d'où l'on tire, en différentiant,
d.an = - a^—^ = - a^'nd'R.
4io THÉORIE ANALYTIQUE
La valeur de â'Ç deviendra donc, par conséquent,
^Ç=^3a7iffd'R^dt-h^a^ff{ndtd'}{fd'R\ (4)
formule qui ne peut renfermer aucune inégalité non périodique si la formule (3) n'en contient pas de semblable.
Concluons donc de l'analyse qui précède, ce beau théorème qiiî est de la plus haute importance dans la théorie du système du monde : Les mojcns mouvements des planètes et les grands axes de leurs orbites sont invariables lorsqu'on fait abstraction des inégalités périodiques et que ton néglige les quantités du troisième ordre par rapport aux Jorces perturbatrices.
Ce résultat cesserait d'avoir lieu si les moyens mouvements de la planète troublée et des planètes perturbatrices avaient entre eux des rapports coramensurables. Nous avons vu que ce cas n'existait pas dans la nature lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices; mais il pourrait se présenter lorsque l'on pousse plus loin les approximations. En effet, si l'on considère l'action mutuelle de trois corps m, m\ m" circulant autour de M, on voit par l'analyse précédente qu'il en résultera dans rf'R des termes du second ordre par rapport aux masses m, m', m'\ et de la forme Ksin(i«< — i'n' t -+- i"n"t -f- k). Si Ton suppose donc que les rapports des moyens mouvements nt^ n' i^ ri't soient tels, que la quantité in — V n' -\-i"nL' soit une très-petite fraction de /z, il en résultera dans la valeur de Ç une inégalité qui pourra devenir considérable. Ce cas très-singulier se présente dans Ir système des satellites de ]u])iter; le moyen mouve-
DU SYSTÈME DU MONDE. 4ii
ment du premier satellite, -moins trois fois celui du second, plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à zéro, c'est-à-dire que l'on a « — 3/*' 4- 2 /i"= o; et ce phénomène, unique dans le système du monde, produit dans les moyens mouvements de ces astres des variations dépendantes de la seconde puissance des masses perturbatrices que la théorie détermine, mais que les observations n'ont pu jusqu'ici rendre sensibles.
62. Il suit du théorème que nous venons d'énoncer que, dans la suite des siècles, les orbites planétaires ne feront que s'aplatir plus ou moins en vertu des inégalités séculaires de leurs excentricités ; elles conserveront toujours les mêmes grands axes, et les moyens mouvements, qui s'en déduisent par la troisième loi de Kepler, seront inaltérables, ou du moins, s'ils sont soumis à quelques variations séculaires, elles seront insensibles. On ne peut pas encore en conclure rigoureusement, il est vrai, que la durée de la révolution sidérale moyenne des planètes sera constante aussi; en effet, nous avons vu, n® 22, que la planète m revenait au même point de son orbite lorsque la longitude moyenne /i^ -h s était augmentée d'une circonférence ; le premier terme de cette expression, qui est proprement ce qu'on appelle le moyen mouvement do la planète, croît uniformément avec le temps, et son coefficient est invariable, comme nous venons de le voir; mais le second terme peut être soumis, comme nous le démontrerons bientôt, à des inégalités séculaires contenant des termes croissants comme le temps • er du premier ordre par rapport aux masses, et des
termes proportionnels au carré du temps et du second ordre par rapport à ces masses. On pourra faire abstraction des premiers, parce qu'ils s'ajouteront au moyen mouvement; mais les seconds produiront dans la longitude moyenne de véritables inégalités séculaires. Heureusement ces termes, comme nous le verrons, sont tout à fait insensibles pour la Terre et pour les planètes ; mais ce sont eux qui produisent l'accélération séculaire qu'on observe dans le mouvement de la Lune, et dont les astronomes avaient longtemps vainement cherché la cause.
Les résultats précédents s'appliquent à tous les corps de notre système planétaire ; mais c'est surtout dans la théorie de la Terre que leur importance se fait sentir, à cause de l'influence que les inégalités de son moyen mouvement auraient sur la durée de Tannée sidérale, élément que les astronomes ont toujours regardé comme invariable et qui sert de base aux calculs de toutes les Tables des mouvements célestes. On devait désirer qu'il ne restât aucune incertitude sur une donnée aussi essentielle; mais d'une part les observations anciennes sont trop peu exactes, et de l'autre les modernes sont comprises dans un trop court intervalle de temps pour qu'on en pût conclure rien de certain sur l'invariabilité de l'année sidérale. Cette question est donc une de celles où la théorie devait devancer l'observation, et l'analyse que nous venons de développer fixe un point important du système du monde, qui n'aurait pu être établi d'une manière in- .contestable, par les observations seules, qu'après un grand nombre de siècles.
DU SYSTÈME DU MONDE. 4i3
J^ariations séculaires des excentricités et des longitudes des périhélies.
65. Après avoir démontré Tinvariabilité des grands axes et des moyens mouvements par rapport aux inégalités séculaires, avec tout le soin qu'exigeait cette importante question, nous allons examiner successivement les variations séculaires des autres éléments des orbites planétaires.
Commençons par les variations des excentricités et (les longitudes des périhélies. Pour cela, reprenons les expressions différentielles de ces variations, données n° 46,
rfw:
andt^i — e^ (d¥
En différentiaut par rapport à w et par rapport à e la valeur (n) de F, trouvée n® 53, on aura
de " "^(«'»~«»)» ^
Si par conséquent on fait, pour abréger,
, „ lm'an\aa'{a,a')-v{à'-\-a'^){a,a')'\ ^
on aura, pour déterminer les variations séculaires des excentricités et des périhélies, en ne portant Tapproximation que jusqu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons, et en ne considérant que l'action d'une seule planète perturbatrice /w', les deux équations
de rz ^ , . f , V
e sni(c«) — w),
dt d
-^=:[rt, a']~ 1^^ Jcos(«'-«).
L'action des planètes m", m*', etc., ne fera qu^^ajouter à ces équations des termes semblables. Désignons
donc par [«, a"], g, a"\ , ce que deviennent les fonctions [a^a'\ a^ a' \ , lorsqu'on y change a' et m' en à'
et m" ; désignons semblablement par [a, à"]^ |^y a
ce que deviennent ces mêmes fonctions lorsqu'on y change a' et m! en a!" et m"', et ainsi de suite ; on aura, en vertu des actions réunies de tous les corps m' ^ m", w"', etc.,
de I— — I f— — I
— = \ay a'\ ef sin («'— w) -h \a^.a" \ e" sin («" — w) + etc.,
— =[û, «'] + [«, II"] -4- .. . — l'fl, a' I -C09(w' — «)
— I ^y ^" I — cos ( &)'' — w ) — etc.
De ces expressions, il est facile de conclure celles de
de* rf«' de" dtù" ^ , ^ . ,
^^^ "5"' 7~' "T"' ^*^*' ^^^ changeant successivement, danSfJes équations précédentes, ce qui se rapporte
DU SYSTÈME DU MONDE. 4i5
à la planète m dans ce qui se rapporte aux planètes m'y ni\ etc., et réciproquement. Soit donc
\a\ a\ [a', a"\ [a\ a-], etc., RT^, f^^, pT^^^etc, \a"yi K, al K, «-], etc., FT^ . RT^ , FV^ , etc.,
ce que deviennent les fonctions que nous avons désignées par [û, tf'], [a, a''\ [«, a"'], etc., | g, g' | , |g, g'' | , |g, a"'\, etc.,
lorsqu'on y change successivement ce qui est relatif à m en ce qui se rapporte à rn\ m", etc., et réciproquement; nous aurons pour déterminer les excentricités et les périhélies des orbites de m, m\ rri\ etc., le système d'équations différentielles suivant :
j = [g, a' \ e* sin(w'— «) H- [g, a" \ e" %\n[vi" — w)H- etc., dé
— = I a% g I esin(w— w')4- |</, a" \ ^"sin(w''— to')+etc.,
— = \a"y fl|gsin(ft)— M'')-f- |fl'', a'I ^'$ia(w' — w")H-etc., etc.,
— = [«, «']-h[«, a"]+ .. — |a,g^| -cos(6)'-w)
— I ^> ^*' I "" cos(w" — w) — etc.,
— = [a\ «]+[«', «'1 H RT^ ^ cos(« - 0)')
— |a', a"| — cos (<»" — w' ) — etc.,
!^ = [«",«] + K, «']+...- [53 -jcos(«-m")
F77] ^, cos (»'—«") — etc.
4i6 THÉORIE ANALYHQUE
On détermine fort simplement, au moyen de ces formules, les variations annuelles des excentricités et des périhélies. En effet, pendant ce court intervalle, on peut supposer constants les éléments e^ c', etc., «, Cl)', etc., qui entrent dans les équations différentielles précédentes, et les intégrer dans cette hypothèse, ce qui revient à multiplier par le temps t les valeurs de
de def ^ dtA dtJ -. , .
-jrf 'T"> ^^c., -J-» -j-' ©te. Les expressions qu on obtiendra de cette manière pourront même s'étendre, relativement aux planètes, à plusieurs siècles avant et après Tépoque que Ton aura choisie pour l'origine du temps: Si l'on veut avoir des valeurs plus exactes, on observera que les excentricités et la position des périhélies variant avec le temps, l'excentricité de l'orbite de /», pour un temps quelconque /, sera égale à
^de r' d'^e
et la longitude de son périhélie à
de d^e ^ dta d^<o , , .^ . iw
^'^' "^' ^^'^ "' TS"' "dF^ ^*^' ^^^"^ relatifs a lepoque. Or les valeurs précédentes de ~ et de ^ donneront, en les différentiant et en observant que a eta\ etc., sont constants, les valeurs de -:^, -4^, etc.,
dC^^ dt^
lïF'^li^^ pourra donc continuer aussi loin que
Ton voudra les séries qui précèdent; mais il suffira,
dans la comparaison des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d'avoir égard, relativement aui planètes, aux termes de ces séries multipliées par le carré du temps.
64. Quoique cette manière de déterminer les variations séculaires des excentricités et des périhélies suffise aux usages astronomiques, cependant la théorie de ces variations ne serait pas complète, si elle ne donnait pas leurs valeurs finies pour un temps quel-: conque, ce qui exige qu'on intègre rigoureusement les formules différentielles (o). Leur intégration directe est impossible ; mais par la transformation que nous avons indiquée n® 46, et dont l'idée ingénieuse est due à Lagrange, on les ramène à la forme d'équations différentielles linéaires du premier ordre que Ton sait intégrer. En effet, supposons, comme dans le numéro cité,
6 = e sin w , è' = e' sin w', b" = e" sin w", etc . , {?=:ecos&), e'=^'cosû.)', c"=:e"cosa)", etc.
En différentiant ces expressions, on aura
db . . de dtii
-r- = sni w -T -+- ecosw --7-»
dt dt dt
de de . d(ti
— =cosw3- — esmw-T-j
dt dt dt
db' , ,d€' , ,dt^'
-r- = sm « -^ -h e coso) -7-?
dt dt dt
de' „.j^^ ^1^1 f*^^'
etc
-— = COSW -; 6 smw -y-y
dt dt dt
4i6 THÉORIE ANALYTT'""
On détermine fort x :£? , ^ , £^ , etc
' " ' ^ dt dt ^ ^ y
formules, les variî» .^''-^ ^, ,
, do de
des périhélies. F ^^^âerminer ;^' ^» etc. ^
on peut suppo' ^ -T'^ivantes :
w', etc., qui ^.^^'^
précédente .,^./' - f^T^g — f^T^c^-etc.,
qui revie
tien
y /-f /iy', «'1+ etc., [*'-{- \a',a\ h-h \a'y fl^ ^"4- elc,
re ,^
On peut d'ailleurs déduire directement ces équations des formules (la), en y substituant pour F sa valeur en fonction de fc, b\ c, c', etc., donnée n^SS.
Les équations précédentes sont linéaires et s'intègrent par les méthodes connues. Lorsque, par leur moyen, on aura déterminé les -valeurs des quantités ô, c, b', c\ y\ c^j este, on obtiendra celles des excentricités et des longitudes des périhélies, en remarquant que les équations (a) donnent
é* = ^ô'-f- c% tango.) = - 9 <?' = sjb'^ -+- «'% tang w' = -77 etc^ Il ne nous reste donc plus qu'à opérer l'intégration
.ions précédentes; pour y parvenir, faisons
^ = M sin{kt -4- Z), c = M cos{ht -4- /),
b' = M' sin(A^ + /), c' ^ M'cos(A^ -f- Z),
h''= W'sin {ht -4- /), e"i= M^'cos(A^ 4- /),
etc., etc.,
M, M', M", etc., étant, ainsi que h et /, des quatltités constantes indéterminées.
Si Ton substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les équations (P), il en résultera^Jentre les indéterminées M, M', M", etc. , A et /, les équatiotts de condition suivantes :
MA =t[fl, «']+[«, «'']-!- etc.) M - f^T^ M^— [^TZ] M"~etc.J
M'A = {[ii',û]-l-[«', a"]-f-elc. } M^>-> RT^M — pT^ M"— ete., j
M"A= { [a", a]-^[a% «']-♦- etc. } M"— J^l\a\ M- |77^ M' - etc., |
Le nombre de ces équations sera égal à celui des coefficients M, M', M'', etc.; mais comme chacun des termes qui les composent est multiplié par l'un de ces coefficients, il s'ensuit que Von tie pourra déterminer, par les équatiotis précédentes, que le rapport de ces quantités entre elles, de sorte qu'il y en aura toujours une qui restera indéterminée. En effets soit £, par exemple, le nombre de ces équations de condition; il est aisé de voir, d'après leur forme, que si, au moyen des i — I premières, on élimine de la dernière les z — I coefficients M^ M", etc., le coefficient M en disparaîtra de lui-même ; de sorte qu'on arrivera à une
équation finale eu h du degré i\ qui ne contiendra plus que cette constante d'inconnue, et pourra servir par conséquent à la déterminer. Cette équation sera toujours d'un degré égal au nombre des coefficients arbitraires M, M% M", etc. , ou des corps m, m', m", etc. , du système ; elle aura donc un nombre égal de racines qui, substituées tour à tour dans les i -—\ premières équations (A:), serviront à déterminer chacune un pareil nombre de coefficients arbitraires M, M', M", etc. Soient donc //, A,, A^, etc., les racines de Féquation finale en A; soient M, M', M", etc., M|, M',, M',, etc., Ma, M 2, M'j, etc., les différents systèmes de coefficients indéterminés qui correspondent respectivement à chacune de ces racines, les valeurs de A, A', b", etc., de c, d, d\ etc., qui en résulteront, satisferont toutes aux équations (P). Or l'intégrale complète d'une équation différentielle linéaire est égale, comme on sait, à la somme de ses intégrales particulières, on aura donc
ft = M sin ( A/ 4- /) + M, sin(A, r 4- /,) 4- Mjsiii (A,/4- /*) 4- etc., 6'=M'sin(A/+ /) 4-M', sin(A,r4-/,)4-M', sin(A,/4-/0+«tc.,
c =Mcos(^r4-0 4- M, cos(^,/4- /,) 4- M,cos(A,/4-/0-+-etc., c't= M' co$( A/-I- /) 4- M', cos (A, r 4- /, ) 4- M', cos (A,f 4- U) 4- etc., etc.,
/, /,, /j, etc., étant des constantes arbitraires.
Ces équations renferment autant d'arbitraires qu'il y a d'équations différentielles (P) ; car chaque système d'indéterminées M, M', etc., contient une arbitraire, et il y a de plus /arbitraires /, /,, /j, etc. Ces équa-
lions sont donc les intégrales complètes des équations différentielles proposées. Quamt aux 2 i constantes arbitraires qui entrent dans ces équations, on les déterminera au moyen des observations. Elles ne donnent pas directement ces constantes, il est vrai ; mais elles font connaître, pour une époque fixée, les valeurs des excentricités et des longitudes des périhélies des orbites, et par suite les valeurs des quantités A, 6', etc., Cj c\ etc.; on pourra donc toujours en déduire les valeurs des arbitraires inconnues.
63. Il résulte de ce qui précède que les exceutricilés et les longitudes des périhélies des orbites planétaires ne sont plus, comme les grands axes, assujetties à de simples inégalités périodiques; les variations de ces deux éléments contiennent des termes indépendants de la situation mutuelle des corps du système, et par conséquent la forme des orbites et la position des grands axes peuvent éprouver dans la suite des altérations considérables ; mais les ellipticités, en vertu de leurs variations séculaires, sont-elles susceptibles de croître indéfiniment? S'il en était ainsi, les orbites, aujourd'hui presque circulaires, deviendraient à la longue fort excentriques, et pourraient même finir par changer entièrement de nature. L'invariabilité des grands axes ne suffirait plus alors pour assurer la conservation de notre système solaire, qu'une pareille progression menacerait dans la suite des siècles d'un bouleversement total. L'équation (e) à laquelle nous sommes parvenus (u^ 54) montre heureusement que ces changements sont à jamais impossibles ; mais il ne
42a THÉORIE ANALYTIQUE
sera pas superflu d'examiner ici avec plus de détail cette question, puisque c'est sur elle que repose lune des conditions essentielles de la stabilité du système du monde.
Pour cela, reprenons les expressions que nous avons trouvées pour déterminer les valeurs des quantités b et c, savoir ;
^ =. M sinfjit -h /) -h M, sïn{hj-\- /,) -t- M^ siu{h,t -h /,)+ elc,
C = M COs(ht -h 0 -*- M| OQs{àtt~h /,) -f' M, COS(Aar-J- /a)-|- CtC,
les quantités A, h^y Aa, etc, étant les racines d'une équation déterminée d'un degré égal au nombre des corps agissants du système, et M, M,, M^, etc., /, /|, /a, etc., des constantes arbitraires dont la détermina-^ tion dépend des valeurs de b et de c, à une époque donnée.
Substituons ces valeurs à la place de A et c dans l'expression de l'excentricité de l'orbite de m ; on a e^ = ô' -h c* ; on aura donc
e^=z W-hM] 4- MJ + . . .-^ aMM, cos[(A, — h) t + /,— i] -h 2MM2Cos[(A2— /i)/4-/2— /]-{r2M,M2 cos[{^2— ^,)r + /2— /.] H- etc.
Le premier membre de cette équation est constamment plus fetit que (M -h M, -4- Ma -4- . . .)^, tant que les cosinus qui entrent dans le second membre sont tous réels; ainsi donc, toutes les fois que les racines A, A^, Aa, etc., sont réelles et inégales, l'excentricité e de l'orbite de m ne peut jamais surpasser la somme des coefficients M, M, , Mj, etc. , pris avec le méoie signe ;
DU SYSTÈME DU MONDE. 4a3
et si l'on suppose ces coefficients fort petits à une époque donnée, comme cela a lieu en effet dans la nature, elle demeurera toujours peu considérable.
Mais il n'en serait plus de même, si quelques-unes des racines de l'équation en h devenaient égales ou imaginaires. Ces racines introduiraient, au lieu de sinus et de cosinus, dans les expressions de b et de c, des arcs de cercle et des exponentielles, et ces quantités étant susceptibles d'augmenter indéfiniment avec le temps, il en résulterait que les valeurs de i et de c ne seraient plus resserrées entre des limites qu'elles ne doivent pas dépasser; que par conséquent les orbites pourraient dans la suite des temps devenir fort excentriques, et que les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu'ici, fondés sur la petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbites, cesseraient d'être exacts. Il s'agit donc de montrer que les racines A, 7zi,^2>6tc., sont toutes réelles et inégales; c'est ce que l'on peut faire d'une manière fort simple, et sans être obligé de former l'équation dont elles dépendent, dans le cas où l'on suppose que les différents corps w, m\ rri\ etc. , du système, circulent tous dans le même sens.
En eflfet, reprenons les équations (o) du n** 63. Si
Ton multiplie respectivement ces équations par m yja e, vfis[cè e\ m"\la"e"^ etc.; qu'on les ajoute, et qu'on remarque que
sin («—«') = — sin(«' — »), sîn («-—&>'') = — sin(w'^ — «), etc.,
et qu'ea vertu des valeurs de
424 TUÉOBIE ANALYTIQUE
données dans le n^ 63, on a généralement
rn! \la' = o.
m si a — m\ja —
in"^'a''=o,
etc.
cette somme se réduira à Téquation suivante :
m \lâede -h m! sja'efde^ 4- m" y]â^é'dé'-
Si Ton intègre cette équation, en observant que les grands axes a, a\ etc., sont constants, puisqu'on n'a égard qu'aux variations séculaires, on aura
m yjae^ -^ m' \lâ' e'* -h m" sfcC e*'^ -h . . . = const . (e) Les corps m, m\ etc. , étant supposés tourner dans le même sens, les radicaux s^a^ ^a', y^cC' devront être pris positivement, et chacun des termes du premier membre de celte équation sera par conséquent positif. Nous sommes déjà parvenus à cette équation, n^ 54; mais nous avons voulu montrer comment elle résulte des équations différentielles (o)
Supposons maintenant que Téquation qui détermine h ait des racines imaginaires ; quelques-uns des 5iinus ou cosinus qui entrent dans les expressions de h et 17, se changeront ^ exponentielles, de sorte que la valeur de ft, par exemple, contiendra un nombre fini de termes de la forme Gc^', c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et C une quantité réelle puisque h ou sa valeur e sin ca est une quantité réelle. Soient Dc^S C'c^S D'c^% etc., les termes correspondants de c, h\ c\ etc. D, C, D', etc., étant
aussi des quantités réelles; la valeur de e* contiendra le terme (C* 4- D^) c^^^^ la valeur de e'^ contiendra le terme (C'^4- D'^) e^^', et ainsi de suite. Le premier membre de Téquation [e) renfermera par conséquent le terme
Si c^' est la plus grande des exponentielles que renferment les expressions de i, c, b\ c\ etc., c^^' sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre dé l'équation (e ) ; le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de cette équation ; en sorte que pour que son premier membre se réduise à une constante, il faudra que le coefficient de c^^' soit nul de lui-mêine, ce qui donne
équation qui ne peut être satisfaite, à moins qu'on n'ait séparément G = o, D == o, C := o, D' = o, etc., si Ton suppose que les radicaux sja^ sja!^ sja'\ etc., sont de même signe, c'est-à-dire que les corps m, m\ m"^ etc., circulent dans le même sens; d'où il suit que les valeurs de è, c, i', c', etc., ne renferment pas d'exponentielles, et que par conséquent l'équation en h ne contient pas de racines imaginaires.
Si cette équation avait des racines égales, il en résulterait des arcs de cercle dans les expressions de A, c, b\ c\ etc. L'expression daô, par exemple, ren-
426 TflÉORlR ANALYTIQUE
fermerait un nombre fini de termes de la forme Cf. Soient D^**, Cf, jyf^ etc., les termes correspondants des valeurs de c, bj c'y etc., C, D, C, D', etc., étant des quantités réelles, le premier membre de l'équation (e) renfermera le terme
et si /'* est supposé la plus haute puissance de t que renferment les valeurs de fc, c, b\ c\ etc., t'^^ sera la plus haute puissance de t qui entrera dans cette équation; il faudra donc, pour que son premier membre se réduise à une constante, qu'on ait
/w\/^(C'-f.D^)-h/w'\/«^(CM- D'')-4-m'\/7'(C"»-f-D"')-f-. . .=o;
ce qui est impossible lorsque les corps m, W, ni\ etc., circulent dans le même sens, à moins qu'on n'ait séparément C =: o, D = o, C = o, D' = o, etc. Les valeurs de 6, c, h\ c\ etc., ne peuvent donc contenir ni exponentielles ni arcs de cercle, et l'équation en A a par conséquent toutes ses racines réelles et inégales.
Le cas particulier que nous avons examiné est celui de. la nature, où toutes les planètes circulent dans le même sens autour du Soleil. 11 suit donc, de ce que nous venons de démontrer, que les excentricités des orbes planétaires n'éprouveront pas par la suite des siècles d'accroissements considérables, et qu'elles resteront dans tous les temps très-petites, comme elles le sont aujourd'hui.
C'est d'ailleurs ce qu'on peut conclure immédiatement de l'équation
m sjaé" + m' yâv^ + ni's[àé"' + . . . = C.
En eSet, tous les termes du premier membre de cette équation étant positifs, lorsqu'on suppose que les corps m, m', vfi\ etc., tournent dans le même sens, chacun de ces termes est plus petit que la constante du second membre. Si l'on suppose donc à une époque donnée les excentricités e, e', e!\ etc., très-petites, la constante C sera une fort petite quantité; chacun des termes de l'équation précédente restera donc aussi fort petit, et ne sera pas susceptible par conséquent de croître indéfiniment. Mais les considérations précédjentes montrent comment l'éternelle petitesse des excentricités des orbites des planètes résulte de la forme même de leurs valeurs, et nous avons cru devoir les développer ici, pour ne rien laisser à désirer sur une question aussi importante.
66. Considérons maintenant les équations d'où dé^ pend la position des périhélies. Si l'on remplace dans
l'équation tango =?-» ô et c par leurs valeurs, on
aura
M sin (ht-Ji-l) -fr M, sin (//, r-f-/, ) -4- M, sin (//,/ -f-7 Jh- . . .
UlDfTO) = ^ ■ ■ ■ ^ ■ ■ . ■ . ...,., •
^ Mcos(A^-f-/)4-M,cos(/i,i-h/,)-f-M2COs(/i2r-h/,)4-. . •
Si de l'angle w on retranche l'angle ht -\- /, en obser-. vant que
tang(« -ht-l)^ tanga,-tang(A.+ /) ^^ ' I -t- tangwtang(Ar-h/)
en vertu de l'expression précédente, on aura
\ ( ^It^ts— ^' sm[(A.— h) ^-h/.— /] H-M, sin[ (^2— h) i-^ /,— /] + .,. m^(^ Ht /; M-|-M'cos[(A,~A)r+/,— /jH-M,cos[(Â2— A)/4-/,-/]+../
Si le coefficient M est supposé plus grand que la
somme de tous les autres coefficients M « , M29 M^ , etc. , pris positivement, le dénominateur du second membre ne sera jamais nul; tang(o — ht — l) ne pourra donc pas devenir infini, l'angle (ù — ht — / n'atteindra jamais le quart de la circonférence, et cet angle seracompris par conséquent dans les limites -4- 90® et — go**, entre lesquelles il ne pourra faire que des oscillations plus ou moins grandes, de sorte que ht + / exprimera le vrai mouvement moyen du périhélie.
Mais de ce cas particulier il est impossible de rien conclure en général sur la nature de l'angle o ; on doit donc regarder les mouvements des périhélies comme n'étant pas uniformes, et comme pouvant éprouver dans la suite des siècles des variations dont on ne saurait assigner les limites; on a seulement la certitude qu'en vertu de la première des équations (r) n^ 54, ces variations seront toujours très -lentes, comme elles le sont aujourd'hui.
67. Concluons de ce qui précède que la stabilité du système du monde est assurée relativement aux excentricités comme elle l'est par rapport aux grands axes. Les orbites des planètes, en vertu de leurs actions mutuelles, et en ne considérant que les variations séculaires, ne font qu'osciller autour d'un état moyen d'ellipticité dont elles s'écartent peu, de sorte que ces orbites dans les siècles à venir conserveront toujours à peu près la forme circulaire. I^es grands axes des orbites demeureront constamment de la même grandeur, les moyens mouvements qui en dépendent seront toujours uniformes, et la position de ces grands
axes pourra seule éprouver dans la suite des varialions considérables ; enfin les excentricités, quelques altérations qu'elles subissent, seront sans cesse assujetties à la condition suivante : la somme de leurs carrés, multipliés par les masses des corps du système, et par les racines carrées des grands axes de leurs orbites, restera constamment la même. •
Il faut bien remarquer que ces résultats, du moins quant à ce qui regarde les excentricités et les périhélies, ne sont exacts qu'aux quantité^ près du second ordre par rapport aux excentricités, aux inclinaisons et aux forces perturbatrices. Nous montrerons bientôt comment on peut les étendre aux secondes dimensions de ces forces et à des excentricités et des inclinaisons quelconques.
Variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds.
68. Déterminons maintenant les variations séculaires des nœuds et des inclinaisons. Leur théorie a la plus grande analogie avec celle des variations sécu-: laires des excentricités et des périhélies.
En désignant par ç Tangle que forme le plan de Torbite primitive de m avec un plan fixe que nous supposons très-peu incliné au plan de cette orbite, et par u l'angle que fait leur.commune intersection avec une droite prise à volonté dans le plan fixe, en donnant à f' et a! des significations analogues relatives à l'orbite de w', et en supposant, afin de simplifier les
43o THÉORIE ANALYTIQUE
formules,
p = tangy sina, q = tangç cosa, p' = tang 9' sin a', 9' = tang 9' cos a',
nous avons trouvé dans le n® 46, pour déterminer les variations différentielles des quantités p et q^ les équations suivantes :
Si Ton difierentie par rapport aux variables /? et ç la valeur de F du n° 55, on aura
dp — 4(€i"— fl»)» ^P p f*
dF 3m'aa'{a,aJ. .
dq ~ 4 («'«—«»)» V9 ^ r
En faisant donc, pour abréger, comme dans le n^ 63^
on aura, en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons,
dt
do ' ('^^
11 est aisé de conclure de là les variations difiFéren*tielles de 9 el de a. En effet, les valeurs que nous
avons supposées aux quantités p etq donnent
tangç? = s/p^ -h 9% tanga = ^.
En difïérentiant, et en observant que nous négligeons
les carrés des inclinaisons, ce qui donne cosç = i , on
trouve
I • ^ . j ^ cosa. dp — sina^47 df = sinaap -{- cosaoijf, da = i.
Si l'on substitue pour rfp et dq leurs valeurs données par les équations (a), après y avoir remplacé />, q^ p'j q' par les quantités de ces lettres représentent, on aura
J = [a, a'] tângç' sin(a - a'),
valeurs qu'on aurait pu d'ailleurs déduire directement des formules (5) et (6) du n® 42, comme il est aisé de le vérifier.
Nous n'avons considéré jusqu'ici que l'action d'une seule planète perturbatrice m' ; l'action des planètes w", m'", etc., introduirait dans les seconds membres des équations précédentes des termes semblables à ceux qu'ils renferment. Si dans ces équations on change ce qui a rapport à m dans ce qui est relatif à m', et réciproquement, on aura des expressions analogues pour ^ ' "^ ' ^*^ ^'on trouverait de la même manière les valeurs des différentielles -—- ? -^^ -r-? etc.,
dt dt de '
relatives à m'% nfy etc.; d'où Ion peut conclure qu'on
aura généralement, pour déterminer les variations séculaires des inclinaisons et des longitudes des périhélies des orbites des planètes m, m'^ m", etc., le système d'équations différentielles suivant :
— ? := ^ay a'] tang(p' sin(a — a') -+- [a, a"] tangep" sin(a — a") -h. . ,
^±=-{[«,«']+[«,«"]+...|H-[«,«']|^COs{«-a')
* -H[a,«"]îiîî8î!cOS(a-«")-H..., ^ tangf ^ '
-^ = [a', a] tang(]. sin(«'— a) 4- [«', a"] tang<p"sin(a'— a" )+ . . .,
^ = |K«]4-K,«"]H-...}+K,«]^cos(a'-a)
-^t«',«"]S^'cos(a'-«")+..., ^= [a", a]tangçsin(a" — a) -<- [a", a'] tangç' <iin(a" — a') + . • ^=-{K,«] + K,«'J + ...|-»-K,«]|^cos(a"-«)
etc.
Ces équations sont de forme absolument semblable à celles qui nous ont servi à déterminer les variations séculaires des excentricités et des périhélies ; la seule différence qui existe entre elles, c'est que les symboles
1^, a'\ , \a^ a"\ , etc., sont ici remplacés parles symboles [a,- a'], [^, a"]^ etc.; les quantités e, e", e", etc., partangy, tang(p', tangç", etc., et les angles w, w', etc., par a, a', etc. Nous pouvons donc appliquer aux équations précédentes les mêmes considérations que nous
avons développées dans les n^' 65 et suivants, ce qui abrégera beaucoup ce que nous avons à dire sur cet objet.
69. Nous voyons d'abord que si Ton intègre les équations (i) en y regardant les angles y, ç', etc., a, a', etc. , comme constants, on aura pour les variations séculaires des inclinaisons et des nœuds des expressions qui ne sont rigoureuses que lorsque le temps t est infiniment petit, mais qui pourront cependant servir pour les planètes pendant un long intervalle. Si Ton veut avoir des valeurs plus exactes de ces variations, on réduira en séries ordonnées par rapport au temps I les expressions de y, a, ©', a', etc., et en différentiant
I les valeurs précédentes de ~^? ^? ^? etc., on pourra
continuer ces séries aussi loin que Ton voudra.
Déterminons les expiassions rigoureuses des inclinaisons et des nœuds. Il faut pour cela intégrer complètement les équations (ô), ce qui exige qu'on leur donne d'abord une autre forme. Faisons, comme précédemment,
p =:tang9sina, q = tang(pcosa, ^'= tangy'sina', 9'= tangç'cosa', etc., etc.
Différentions ces expressions, et substituons pour rfy, é/a, c/ç', rfa', etc., leurs valeurs, nous aurons
^= \la,a^\^\a,a"\^.\p^\a,a'\p^-\a,a"\p"^...
lb3>
^= i [«", «1 + [«", a'] + ... Ip"- [a", a]p- [a", a']p'-... ,|
etc.
Ces expressions résultent d'ailleurs immédiatement de celles que nous avons trouvées directement pour
On obtient aisément plusieurs intégrales du système d'équations précédentes. En efifet, si Ton multiplie respectivement ces équations par m^ap, myjaqy m' \la^p\ m' %ja^q'^ etc., qu'on les ajoute ensuite et qu'on intègre leur somme, en faisant attention qu'en vertu des valeurs des quantités [û, a'], [a', a], etc., on a
[a, a'^msja — [a% n]^' \la' = o, [aja!'\m\la — [rt*', a]m"v/a^= o,.
on aura,
m \Jâ(p'^q') -4- iw' ^ (p^^^g'^)^m" y^' (/'>^-ç"»)4- . . . = const. (;>} Si l'on multiplie ces mêmes équations,. la première par m\/a, la troisième par m' yja\ la cinquième par m" sfâi!\ et ainsi de suite, et qu'on les ajoute^ on aura^ en vertu des mêmes relations ^
m v/â^ + m^ylâ''^ + nfslâ"^^. . . = o.
d*où l'on tire, en intégrant,
my/ap -{- in! sja' p' -\- m" \Ja" p'' 4- . . . = const.
On trouverait d'une manière analogue,
m\laq-\- m' s^a'q' h- m">[ïfq"'^- . . . = const.
Nous étions déjà parvenus dans le chapitre VII à ces diverses équations qui expriment des relations qui doivent, toujours exister entre les quantités p, 9, p\ q\ etc., quelques changements qu elles éprouvent, et qui pourront servir par conséquent à vérifier leurs valeurs.
Le système d'équations différentielles linéaires (c) étant d'ailleurs parfaitement semblable à celui des équations (P) du n*^ 64, on pourra appliquer à leur intégration la même analyse. On trouvera ainsi
/; = Nsin(A/H- /)^-N, sin(^,r-+- /,)-+- Nj 5111(^2^ 4- /a) +• • • 4] =Ncos(^f 4-/) + N,cos(Â,r-f-/,)H-N2Cos(Âar + /2) 4-. . . /=N'sin(^/-h/)-+-N',sin(^,r-h/.)4-N',sin(^,r-f-/0-t----» ) ^^^
€tc.,
h, A|, ^2, etc., étant les racines d'une équation d'un degré égal au nombre des corps agissants du système, et les arbitraires N, N', N", etc., /, /,, /g? etc.-, des constantes qui dépendent de la position des orbites à une époque donnée.
Si les racines A, A,, h^j etc., sont toutes réelles et inégales, les valeurs de /?, ç, p% q\ etc., .ne sauraient contenir ni exponentielles ni arcs de cercle. Or c'est une conséquence que l'on peut tirer de l'équation (/?),
comme nous Tavons fait voir dans le n° 65, pourvu que les corps m, m', m", etc., soient supposés circuler dans le même sens; d'où l'on doit conclure que les inclinaisons des orbites planétaires sur un plan fixe, si elles ont été très-petites à une certaine époque, demeureront toujours peu considérables, et ne feront qu'osciller entre d'étroites limites qu'elles ne pourront jamais franchir. La position des noeuds, au contraire, pourra éprouver dans la suite des siècles des variations considérables, et leurs mouvements devront être regardés comme n'étant gas uniformes.
La stabilité du système planétaire est donc aussi assurée relativement aux inclinaisons des orbites qu'elle l'est par rapport aux excentricités.
70. Les expressions de p et ç, données par les formules (û?), offrent un moyen facile de construire géométriquement les valeurs de ces quantités par le moyen des épicycles.
En effet, que Ton imagine un cercle dont le rayon soit N, et qu'à partir d'un diamètre fixe on prenne sur ce cercle un arc qui comprenne l'angle ht -+- /, qu'à l'extrémité de cet angle on place le centre d'un nouveau cercle dont le rayon soit N| , et qu'on prenne, à partir d'un diamètre mené parallèlement à celui du premier cercle, un arc qui réponde à l'angle ^, ^ -f- /, , qu'on place à Textréniité de cet arc le centre d'iin nouveau cercle dont le rayon soit Na, et qu'on prenne de même sur ce cercle, à partir d'un diamètre parallèle aux précédents, un arc qui sous*tende l'angle h^ t -+- 4, et ainsi de suite; si de l'extrémité du dernier arc, on
abaisse une ordonnée perpendiculaire au diamètre du premier cercle, cette ordonnée sera la valeur de p^ et J abscisse correspondante, comptée à partir du centre du même cercle, sera celle de (j.
En effet, il est visible, d'après cette construction, que la première de ces deux coordonnées sera exprimée par
Nsin(A/4-/)-hN|Sin(/i,«4-/«)-+-NîjSin(A2^-l-/2)-4-...,
et la seconde par
N cos(A/-4-Z)-t-N| c6s(A, ^-{-Z, )-î-N2 cos(//j ^4-/3) 4- ... .
On voit de plus que si du centre du premier cercle on mène un rayon vecteur à l'extrémité de l'arc pris sur la circonférence du dernier cercle, ce rayon sera l'expression de tangç, etTangle qu'il forme avec l'axe des abscisses sera égal à l'angle a, puisqu'en effet on aura ainsi
tang9 = v^P"h^% tanga = |.
En appliquant la même construction aux expressions de b etde c du n*^ 64, on déterminerait géométriquement les valeurs de l'excentricité e de l'orbite etde la longitude « de son périhélie. La première serait égale au rayon vecteur mené du centre du premier.cercle à l'extrémité dq. l'arc pris sur le dernier épicycle, et la seconde à l'angle que forme ce rayon avec Taxe des abscisses.
yi. Jusqu'à présent nous avons supposé fixe le plan auquel nous avons rapporté la position des orbites
planétaires, mais les astrononies ont coutume de la rapporter au plan mobile de Técliptique ou de l'orbite que décrit la Terre autour du Soleil dans son mouvement annuel ; c'est en eftet du plan de cette orbite que nous observons tous les mouvements célestes. Il est donc nécessaire, pour rendre les formules précédentes immédiatement applicables aux usages astronomiques, de montrer comment elles» peuvent être modifiées de manière à déterminer directement les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des corps /7J, wl ^ m'\ etc., par rapport à l'orbite mobile de Tuq d'entre eux pris à volonté, relativement à l'orbite de /w, par exemple. Soient donc x'j jr', z\ les trois coordonnées de m' rapportées à un plan fixe quelconque; soit z l'ordonnée d'un point situé sur Torbite de m et répondant aux mêmes abscisses x' et y^ nous aurons
Si 1 on suppose très-petite l'inclinaison mutuelle des deux orbites ainsi que leur inclinaison sur le plan fixe, la différence z' — z == — - {p'— p)x'-\- (7'-— q)y des deux ordonnées' ?' et z exprimera à très-peu près la hauteur de m' au-dessus de l'orbite de /«. Or, si l'on désigne par z cette hauteur, et par y' et a l'inclinaison et la longitude du nœud de l'orbite de irt sur l'orbite de m, on a auissi, à très-peu près,
z= — tangy' sina' x' -h tang(p| cosa' jr\
d'où l'on conclura
tang?»; sina = p' - p, tangip; cosa = q' — q^
et par conséquent
On déterminera aisément, au moyen de ces deux équations, le lieu du nœud commun et Tinclinaison mutuelle des deux orbites.
Si Ton suppose que le plan fixe auquel se rapportent les quantités />, p\ (jf, q' soit celui de Torbite de m à une époque donnée, on aura pour cette époque p= Oy q = 0. Mais les différentielles dp et dq ne seront pas nulles, et en différentiant les valeursjprécédentes on aura
d<f, = ( dp' — dp ) sin a'-+- ( dq'-— dq ) cos a',
, [dp^ — dp) CO& a' — [dq' — dq) sin a'
tangf
En substituant pour dp, dq, dp', rfy', leurs valeurs 11° 69, on trouvera
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