a', a"] — [a, a'] | tangç'* sin (a' — cl") + etc

+ {[«'.."]-[«. «"U^cosCa'-a")

+ {[«', a-] - {a, a']] '^"co»(«' -«"')+....

. On obtiendrait de la même manière des formules semblables pour déterminer lés variations des inclinaisons et des nœuds des orbites de m'\ m^ ^ etc., relativement à Torbite de m. Quant au degré de préci-

44o THÉORIE ANALYTIQUE

sion de ces réductions, il est facile de se convaÎDcre qu'elles sont exactes, aux quantités près du troisième ordre, relativement aux inclinaisons mutuelles des orbites; en sorte qu'on pourra toujours les employer comme tout à fait rigoureuses^ tant qu'on ne voudra pas pousser au delà les approximations,

72. De ce que nous avons démontré dans le n® 69, il résulte que la stabilité du système solaire est assurée relativement aux inclinaisons des orbites planétaires, comme elle l'est par rapport aux excentricités. L'action réciproque des planètes les unes sur les autres, à laquelle sont dus les déplacements séculaires de leurs orbites, ne cause dans leurs inclinaisons mutuelles que des variations comprises entre d'^étroites limites qu'elles ne pourrqnt jamais dépasser; elles resteront par conséquent toujours très-petites, comme elles le sont aujourd'hui. La position des nœuds pourra au contraire éprouver dans la suite des temps des altérations considérables, et l'on ne devra pas regarder leurs mouvements comme uniformes. Enfin, quelles que soient les altérations que subissent les inclinaisons des orbes planétaires, elles seront toujours assujetties à la condition suivante : La somme de leurs carrés y muU tipliés par les masses des corps du système et par les racines carrées des grands aa^es de leurs orbites, de^ meure ra constamment la même.

Nous étendrons bientôt ces résultats, qui ne sout exacts qu'aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités, aux inclinaisons et aux masses perlurbatriceç, au cas où l'on a égard au carré de ces

masses et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

Fanadon séculaire de la longitude de V époque.

75. Il nous reste, pour compléter la théorie des variations séculaires, à considérer les variations du sixième élément des orbites planétaires, de celui qui, dans l'ellipse non troublée, dépend de la position de la planète à une époque donnée, ou, ce qui revient au même, de Tinstant de son passage par le périhélie.

Pour bien concevoir l'importance de cet élément, il faut remarquer que c'est de la variation séculaire de la longitude s de l'époque, que dépend celle de la longitude vraie de la planète dans son orbite, c'està-dire de la coordonnée la plus nécessaire pour la détermination exacte de sa position dans l'espace. En effet,* en nommant v cette longitude, on a, par les formules du n^ 24,

en désignant par P une suite de sinxis des multiples de l'anomalie moyenne nt -^ z — w multipliés par les puissances de l'excentricité e. Or, si l'on regarde comme variables les éléments elliptiques, et qu'on ne considère que la partie non périodique de la variation de P, il est évident que cette partie sera une fonction des éléments de la planète troublée et de la planète perturbatrice de Tordre m' ; en sorte que si Ton y regarde de nouveau ces éléments comme variables, en verUi de leui*s variations séculaires, les termes du second ordre contenus dans cette fonction

seront simplement proportionnels au temps i, et s'ajouteront au moyen mouvement nt dans la valeur de V) et les termes dépendant du carré du temps t, les seuls, comme nous le dirons, qu'il importe de considérer, seront du troisième ordre et pourront toujours être négligés. Nous avons vu d'ailleurs que lé moyen mouvement nt n'était soumis à aucune variation séculaire; la seule variation de cette espèce dépendante du carré du temps, dont puisse être affectée la longitude Vy est donc celle qui provient de la variation de la longitude s de l'époque, et c'est une raison, par conséquent, de l'examiner avec soin.

74. Reprenons la valeur de rfe donnée par la troisième des formules (i i), du n® 46,

1 andtsli — <

de

Si l'on différentie la valeur {m) de la fonction F, n**53, relativement aux constantes e et a, et qu'à la

place des différentielles partielles -5— ^ ";/""' ~7 — '

on substitue leurs valeurs données en fonction de B^^^ et B^*^, par le n*^ 52, savoir,

da

da a'^'-a^ ' da a'^ — à" '

on trouvera

llzr — (a'B('>— flB(*»))-H-7 -^ 1- e^'cosfw'— w)

da 2 ^ ' 4 « L a'^—a^ J ^

si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (a), en négligeant les puissances de e supérieures à la seconde et en faisant, pour abréger,

(^). = /w'.a»/i(aB^«) — a'BC)),

/ — r. m'a^a'n [6aa'B(»)+ (3a'— a') B(0 ] (!^)' = 24{a-^a^) '

, — ^v __ iy/g/i[(3fl^g^— i5flfl^^)B(«>)— (2<?^4-i2fl^fl^'— loa^^)B(')]

y — r\ /7i'û*«'/i(3ûû'B(») + û»B('))

quantités que l'on peut exprimer aussi en fonction de {a^a') et de (a, a')' pour les avoir sous la même

En

forme que les quantités analogues [a, a'], |^y a^

effet, il sufBt pour cela de remplacer B^*^^ et B^*^, que nous n'avons introduits que pour la commodité du calcul , par leurs valeurs données n® 51 ,

les quantités (a, a'), et (a, a')' représentant, commet on sait, les coefficients des deux prehiiers termes du

développement de {a^ — aaa'cos^ -+- a'^Y en série, de sorte que Ton a

(r?'— 2.aa' coS(p 4- (t'-y = («, «') -f- («, rt'/cos^ -!-....

On trouve ainsi :

/ y\ /w'«/2[2fl'(a, a') 4- 3«rt'(«, a')']

> y //l'«/2[l2fl»fl'(û,fl') — 3(3 «=»«'— «fl'3) («,«')']

. ^. m an[6a^a'^{a, a') ^3 a' a' {a, a'Y\

on aura

= (flr, fl^) -+■ (g, <3t^)ig' 4- (f>f')a ^^' C0S(«' — «)

On voit par cette expression que si dans la valeur de de on n'avait égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, comme nous l'avons fait pour la détermination .des variations séculaires des autres éléments de l'orbite, le second membre de l'équation précédente se réduirait à une constante, dans le cas même où l'on considère le carré des. forces perturbatrices. Il en résulterait par l'intégration "dans la valeur de e un terme proportionnel au temps qui s'ajouterait au moyen mouvement nt dans la valeur nt + g de la longitude moyenne : nous verrons bientôt que les termes de cette espèce demeurent toujours insensibles.; d'où l'on doit conclure que si la longitude £ de l'époque est soumise à une variation séculaire, elle ne peut dépendre que des termes de la valeur de dE du second ordre jpar rapport aux excentricités et aux inclinaisons; c'est

par cette raison que nous avons conservé ces ternies dans Téquation (6).

Si Ton suppose, comme dans les n**' 46 et 64,

6 = e sin w, 6' = e' sin w', c = e cos w, c' = e' cosw',

la formule {b) deviendra

Cette formule servira à déterminer la variation sér culaire de la longitude £ de l'époque, causée par Tactioi) de la planète perturbatrice m'; Faction des planètes m"^ m'", etc., ne fera qu'ajouter au second membre de l'équation précédente des termes semblables, qu'on obtiendra en y marquant successivement d'un accent de plus les lettres a\ b\ c\ p et 9'. Si dans l'expression résultante on change ce qui a rap* porta la planète iwen ce qui est relatif à m', et réciproquement, on aura une formule semblable pour déterminer la variation rfs', relative à //i'; et l'on aurait de la même manière les variations di\ di\ etc., qui se rapportent à m", }ri\ etc. Nous continuerons, pour plus de simplicité, a ne considérer que l'action mutuelle de deux planètes m et m', ce que nous dirons pouvant aisément s'étendre à un nombre quelconque de corps /n, m', w!\ etc.

Nous aiiroiis ainsi

Je'

Il est aisé de vérifier sur les équations (i) et (a) la relation que nous avons, vue exister généralement entre les variations séculaires des longitudes d'un système quelconque de planètes w, m\ m'\ etc. En efFet, si Ton multiplie la première par m \jay la seconde par m! \/a% qu'on les ajoute en observant que a si an = a' \[â' «' = i , et que les valeurs que nous supposons aux quantités (a, a'\ , (a\ a\ , etc., donnent

m \[a (g, a') 4- m'sfâ' (a\ a) = mm' A(^\

m sfâ {a y a')^ '- m' sfâ' (a\ a)^ = m' s/a' {a\ a)^ ^ m sfâ {a^ a' ja

= — ymm'aa'BO^'y m sfâ [a^ <^)a4- m' sja' [a' y a)^ 2.4

= - mm' r^ aa'^W — (a' -h a"^) Bol , m s/a [a, a' )^ -+- m' si a' («% a )^ = — i mm' aa'h^)^

on aura, en mettant la fonction F du n^55, à la place de la valeur qu'elle représente,

dt ^ dt 2.4-