mm' r - aa' B(») — ^«'4- «'») B^')! [bh' ■+■ ce

équation qui, en substituant pour B^^^ et B^*^ leurs va-

leurs, et les symboles [«, a'], |^, a\ à la place des quantités qu'ils représentent, devient

La fonction F est constante relativement aux variations séculaires n*^ 57; il en est de même de la fonction

[a, «'] {^'-f.c»-4- b'^-h c'»} — 2 \a, a' \ [bb'-Jhcc').

En effet, si on la différentie par rapport à 6, b\ c, c', et qu'on substitue pour rfô, db\ dc^ de' leurs valeurs données par les équations (P) du n** 64, dans lesquelles on ne considérera que l'action de deux planètes m et m', et qu'on observe que l'on a par les n«» 65 et 69

m\la[a^ a' ] = m' ^J"^ [a' , û], msja \a, a' \ =zm sfâ* \a\ a\ ^

d'où l'on tire par conséquent

on verra que cette différentielle se réduit à zéro. Ainsi donc le second membre de l'équation [c) est constant ; de sorte que si l'on ne considère dans de et rie' que les termes qui sont dépendants du temps ^, on pourra en faire abstraction, et l'on aura entre ces termes l'équation

m yjads -f- m' \la'di' = o. (3) Nous verrons, comme nous l'avons dit n*^ 75, qu'il est inutile d'avoir égard, dans les expressions des va-

riafions séculaires de s et de s', aux termes simplement proportionnels au temps, parce qu'ils se confondent avec les moyens mouvements nt et rit dans les expressions des longitudes moyennes de m et de m', et qu'ils demeurent d'ailleurs toujours insensibles; on aura donc immédiatement, au moyen de l'équation précédente, la variation séculaire de s' lorsque celle de g sera connue, ou si l'on a calculé séparément ces variations, cette équation servira à vérifier les valeurs trouvées. Ces valeurs seront de signes contraires, et en raison inverse des produits m yja et rri sjà ^ ce qui s'accorde avec le résultat auquel nous étions parvenus par une autre voie, n^ 56.

73. Occupons-nous maintenant de déterminer la valeur de e; pour cela, reprenons la formule (i)

Pour intégrer cette formule, il faut, dans le second membre, remplacer les quantités 6, c, h\ c% /;, p', ç, q\ par leurs valeurs en fonction du temps t. Or nous avons donné deux moyens de les obtenir, l'un qui peut servir à déterminer ces valeurs pendant plusieurs siècles avant on après l'époque que l'on a choisie pour origine du temps, l'autre qui embrasse un nombre d'années indéfini. En substituant donc les premières valeurs dans le second membre de l'équation (i), on aura, pour déterminer la variation de la longitude s de l'époque, une expression qui pourra

s'étendre à plusieurs siècles, ce qui suffira presque toujours aux besoins de l'Astronomie, et en employant les secondes, une expression qui fera connaître sa valeur exacte lorsque cela sera jugé nécessaire.

Si l'on désigne par 6,, c,, 6; , c , /?,, q^, p,,q\, les valeurs de 6, c, ô', c', /?, 7, /)', 9' relatives à l'époque d'où l'on compte le temps, les équations (P) et (c), n®* 64 et 69, donneront, après les avoir intégrées en y regardant les éléments elliptiques comme constants, et en négligeant les termes très-petits de l'ordre <^,

Qu'on substitue ces valeurs dans l'équation (i) et qu'on fasse, pour abréger,

I rfA / TV ( ^ db, dc\

^(SZ).[,M-,.)(!g~*)+(,:-,,)(!^-*) I. 29

45o THÉORIE ANALYTIQUE

ou aura

dB = kndt -h i^ldt\

d*où Ton tire, en intégrant,

C'est l'expression de la variation de la longitude s de répoque qui doit être ajoutée à celte longitude dans l'expression de la longitude moyenne nt h- £.

Le terme A nt ne fait qu'augmenter le moyen mouvement primitif dans le rapport de i à i -}- A, de sorte que le moyen mouvement, tel qu'il doit résulter des observations, sera (i -h A) tit^ et semblera répondre par

conséquent à une distance moyenne égale à ?•

Ainsi, connaissant cette distance qui est celle qui provient de la comparaison des temps périodiques, on pourra déterminer la distance primitive a qui entre comme élément dans le calcul des perturbations; mais la quantité A étant une fraction infiniment petite, puisqu'elle est de l'ordre des masses m et m\ il ne résultera de là qu'une correction insensible et de nulle considération dans les distances moyennes. On peut donc n'avoir aucun égard à l'effet du terme dont il s'agit.

Mais il n'en est pas de même. du terme B/^qui, croissant comme le carré du temps, produit dans l'expression de £, et par conséquent dans celle de la longitude moyenne de /w, une véritable inégalité séculaire. Il ne restera plus qu'à savoir si la valeur du coefficient B est assez grande pour que cette inégialité

puisse devenir sensible par lés observations. Comme ce coefficient est du second ordre par rapport aux masses m et m', il est à présumer qu'il sera toujours fort peu considérable. En effet, dans la théorie des planètes, le terme Bt^ est insensible et l'on peut le négliger; dans la théorie de Jupiter et de Saturne, par exemple, celles de toutes les planètes dont les perturbations sont les plus considérables, ce terme est pour Jupiter,

— o", oooooo325o t^j

d'où, en vertu de Téquation (3), on conclut pour Saturne,

-f- o%oooooi5ii4^^,

t désignant un nombre d'années juliennes. Ces inégalités ne s'élèveraient pas, par conséquent, à un soixantième de seconde sexagésimale dans un siècle; elles sont insensibles par rapport aux plus anciennes observations qui nous soient parvenues.

Mais ce même terme devient très- sensible dans la théorie de la Lune, et sert à expliquer la variation séculaire que les observations ont fait remarquer dans l'expression de sa longitude. En effet, ce terme pour la Lune, troublée par l'action du Soleil dans son mouvement autour de la Terre , est

De sorte que, dans un siècle, cette inégalité peut s'élever à plus de 10 secondes, ce qui s'accorde assez bien avec les observations qui la font monter à 9 secondes à peu près En multipliant 10'', 2066 par le carré du nombre de siècles écoulés depuis l'époque

d'où Ton compte le temps, on aura l'accélération du

moyen mouvement de la Lune, due à son équation

séculaire.

La cause de cette inégalité, dont la découverte est due à Laplace, dépend, comme on voit, de la variation de Texcenlricité de Torbe solaire qui, peu considérable par elle-même, produit cependant un effet très-sensible en se réfléchissant, pour ainsi dire, comme les rayons solaires au foyer d'un miroir, dans le mouvemeiit de notre satellite.

76. Déterminons maintenant, quoique cette donnée paraisse peu nécessaire dans l'état actuel de l'Astronomie, la valeur exacte de la variation séculaire de £. Il faudra pour cela substituer, comme nous l'avons dit, dans l'expression de de les valeurs des quantités hj c, b\ c', Pj q^ p\ q\ déterminées par les formules des n*** 65 et 69, et comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus d'angles croissant avec le temps /, la variation dt sera intégrable. Les termes constants qu'elle pourra contenir donneront dans z des termes proportionnels au temps, qui se confondront avec le moyen mouvement dans l'expression delà longitude moyenne, et les termes en sinus et cosinus produiront des termes semblables qui exprimeront les variations séculaires dont cette longitude peut être affectée.

Les formules du n'* 63 donnent, en ne considérant que l'action mutuelle de deux planètes m et /»',

^^+ r' = M'-h m; -h 2 MM, cos[(Ji,— A) ^ -f- /, — /], b'^ -4- c'»= M'^'-h m; ^-h 2 M' m; cos[(A,— h) t -h /,-;• 0» bb' -h ce' z=lMW-^ M,M; -4-(MîV1; -hM'MJ cos[(/i,— A) t-h/, — /].

On a, en second lieu^ en nommant 9 rinclinaison mutuelle des deux orbites, et en remarquant que celte inclinaison est invariable, n** 55,

tang'f = {p'- PY + {<f- qY = JH*, , ',.-V^<^/

N étant une constante.

Si Ton substitue ces valeurs dans la formule (1), en faisant, pour abréger, -

A'n^ja, a')^{a,a')^ (m»+M;) 4- (^),(MM'H-M,M; j

B'=2(^rf5,MM'— 2 (^7^1)3 M' m; + (/i, ^^)^(MM; + M, M'), on aura ^6 = A'/ï^/ 4-B'cos[(A, — A)«-|- / —/]t/^ (d)

Si, dans cette équation, on néglige le premier terme du secopd membre qui ne produit dans l'expression de £ que des termes proportionnels à nt, termes dont on peut faire abstraction comn^e noiis l'avons vu n^ 75, on aura, en intégrant,

C'est l'expression de la variation séculaire de la longitude de l'époque relative à un temps / quelconque.

Celte variation séculaire, comme celles des autres éléments de l'orbite elliptique, est périodique; mais sa période, qui dépend de l'argument h^ — A, est extrêmement longue. Nous verrons, par exemple, dans la

théorie des planètes, que, pour Jupiter et Saturne,

elle est de 704 1 4 années.

L'expression précédente de &s, montre encore comment la variation différentielle dî^ quoique composée de termes de l'ordre des masses m et m', peut cependant devenir sensible dans la suite des siècles, en acquérant par l'intégration un très-petit diviseur A'— h du même ordre. Nous montrerons toutefois, lorsque nous appliquerons les formules précédentes à la théorie des planètes, que, relativement à Jupiter et à Saturne, celles d'entre elles dont les masses sont le plus considérables, ce coefficient ne s'élèverait guère qu'à un millième de seconde, et que par conséquent les variations séculaires de la longitude de l'époque peuvent être regardées dans cette théorie comme absolument insensibles, ce qui est conforme à ce que nous avons dit dans le n^ 75.

Enfin la formule [d) peut servir à trouver une valeur de s plus exacte que celle que nous avons donnée dans le numéro cité, en réduisant en série ordonnée par rapport aux temps t les cosinus qu'elle renferme, " et en négligeant les termes constants ainsi que ceux qui sont simplement proportionnels à <, et qui se confondent avec le mouvement moyen dans l'expression de la longitude moyenne.

De la stabilité du système solaire^

77. Nous avons vu, dans le n** 65, que la stabilité du système solaire reposait sur deux conditions : i^ l'invariabihté des grands axes des orbites plané-

taires ; ^^ le peu d'étendue des limites dans lesquelles doivent être constamment renfermées les variations séculaires de leurs excentricités et de leurs inclinaisons.

Nous avons démontré la première proposition en ayant égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et en portant les approximations jusqu'aux carrés des masses perturbatrices.

Nous avons prouvé ensuite, en regardant les excentricités et les inclinaisons comme de très-petites quantités dont il est permis de négliger les carrés et les produits, que les orbites des planètes resteront dans tous les temps presque circulaires et p^u inclinées les unes aux autres, comme elles le sont aujourd'hui. Cette approximation suffit sans doute aux besoins de l'Astronomie ; mais le principe de la conservation des aires fournit une démonstration nouvelle de cette proposition, qui a l'avantage d'embrasser toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons, et qui peut même s'étendre aux termes du second ordre, par rapport aux forces perturbatrices. Comme un point aussi important dans la constitution du système du monde ne saurait être établi avec trop de précision, nous allons le développer ici, et prouver par ce moyen l'éternelle petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbes planétaires, en poussant les approximations aussi loin que nous l'avons fait poiu' démontrer l'invariabilité de leurs grands axes.

Reprenons, pour cet effet, les trois intégrales que nous ont fournies, n^ 9, en vertu au principe cité, les équations différentielles d'un système de corps w.

m', m'\ etc., circulant autour de M. Ces formules peuvent s'écrire ainsi :

C, C, C étant des constantes arbitraires.

Il est aisé de retrouver, au moyen de ces équations, les diverses relations qui existent entre les excentricités et les inclinaisons des orbites d'un système de corps, m, m\'m'\ etc. En effet, jdx — xdj ^^i le double de Taire que décrit pendant Tinstant dt la projection du rayon vecteur de m sur le plan des xjr. L'aire décrite parce rayon sur le plan de l'orbite supposée elliptique, pendant l'instant dty est — \Jii,a[i — e*);

pour rapporter cette surface au plan des xjr^ il faut la multiplier par le cosinus de l'inclinaison (f de l'orbite sur ce plan ; on aura ainsi

ydx — xdy , — /a«(i— -<?')

dt "^ ^ f ^ y i-t-tang'(p

On aurait de même, par rapport à m',

^ ^ = ^Ju!a! (i— e") cos»' = l/ — -^ r-T>

dt >r \ / r y i-t- tang»/

et ainsi de suite.

Il faut remarquer que ces valeurs déduites de la considération du mouvement elliptique subsisteront

encore dans le cas du mouvement troublé, puisque pendant chaque intervalle de temps infiniment petit dt^ les corps m, m', etc., sont supposés se mouvoir dans des orbes elliptiques ; seulement il faudra alors regarder les éléments a, a'j e, e', y, ç', etc., comme variables en vertu de leurs inégalités périodiques et séculaires. Nous ne nous occuperons ici que de ces dernières variations. Cela posé, si Ton substitue les valeurs précédentes dans la première des équations (A), qu'on néglige les masses m, jn% etc.*^ par rapport à la masse M du Soleil prise pour unité, ce qui donne jUL = I , |x' = I , et qu'on fasse d'abord abstraction des termes qui sont de Tordre du carré des forces perturbatrices, on aura

C étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant donné.

Cette équation exprime donc une relation qui doit toujours exister entre les excentricités et les inclinaisons des orbites planétaires, quelques changements que leurs valeurs éprouvent dans la suite des temps en vertu de leurs variations séculaires.

Si l'on néglige les quantités de l'ordre e* ete^ç^, cette équation devient

m ^-h m^ sfâ' H- . . . m v'^ [ e' H- tang'y]

— - /»' Vâ^[^*-f- tang><p'] — . . .= C. On peut faire passer dans le second naembre la partie

ni\Ja -f- m' \ja* -h etc., qui est constante puisque a, a\ etc., sont constants séparément; on aura donc, aux quantités près de Tordre e* et e^ ç?*,

m \Ja (é^ -h tang'f ) -h m' \[{P [e'^ -f- tang'tp' ) + ...== const. (a)

Nous avons vu, n® 54, que lorsqu'on n'a égard qu'aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons, les variations séculaires de ces éléments sont données par des équations différentielles indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire que les variations des excentricités sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan, et que les variations des inclinaisons sont les mêmes que si ces orbites étaient circulaires. L'équation précédente, en y supposant toiir à tour ç? = o, ç?' =o, etc., et e = o, ef = o, etc., donnera donc, dans ce cas,

ni sjae^ -\- m' sja' e'^ -f- . . . = constante,

m y/ a tang^ f -h m' \]a' tang* ç?' + . . . = constante,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans les n*'^ 54, 65 et 69.

Si, dans la seconde des équations (A), on substitue

de même, à la place de -z ? sa valeur v/<7 (i — e*)

multipliée par le cosinus de l'angle que forme le plan de l'orbite avec le plan des xz^ cosinus qui est égal à sinç? cosa, a étant la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le plan des ocy ; en négligeant les termes de l'ordre m/w', on trouvera

m sja (i — e^)sin(pcosa -H rn' ^a' [i— e'') siny' cosa' +-..,== const. (b)

La dernière des équations (A) donnerait de même, en observant que sin f sina est égal au cosinus de Tinclinaison de l'orbite de m sur le plan des^z,

in\la{i— e^)smtf%inoL -{-m' sja' {i — ^*)sin<p' sioa'-f-.. .= const. (r)

Si dans ces équations on néglige les quantités de Tordre du carré des excentricités et des inclinaisons, ce qui permet de prendre les tangentes des angles (p, f', etc., à la place de leurs sinus, en faisant

p = tangf sina, q = tangç cosa, p' = tangç' sina', q' = tangç' cosa', etc., on aura

m sjap + m' sfâ' p' h- m" \la" p" -h . . . = const. , m sjaq -f- m' s/a'q'-^ m" sfÔ!' q" -h . . = const.,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans lesn«»54et 69.

Si Ton ne considère que l'action mutuelle de deux planètes m et m', qu'on désigne par y l'inclinaison de leurs orbites l'une sur l'autre, et qu'on observe que /?, q^ cosç, et/?', q\ cosç?' étant les cosinus des angles que forment les plans de ces orbites avec les trois plans coordonnés, on a

C0S7 = C0S9 cosç'-f- pp' '\' qq'-

On trouvera, en ajoutant ensemble les carrés des trois équations (n), (è), (c)

-H nmm' >]a (i— f') sja' (i — c'")cos7 ~ consl., )

46o THÉORIE ANALYTIQUE

ou bien 9 en observant que 0087= 1—2 sin'- y, on aura

[m s/a (i — e^) + /»' v/«'(i — ^')]' — ^mm' ^a{i — e*) ^«'(i — e" ) sin* - 7 = const.

Si Ton néglige les quantités du quatrième ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, et qu'on fasse passer dans le second membre les termes tout constants, on trouve

4 mm' ^àa* ain' - 7

sfâe^-hm' ^a e" H p =- = C.

La constante C est égale au premier membre de cette équation à une époque déterminée; elle doit donc être indépendante des variations des éléments e, e', 7. Si l'on désigne donc par ùe, àe\ ây ces variations, et qu'on observe que a et a' sont constants, on aura

/- • / r-7 j * / 2 mm' Jaa' 7 ^7

relation qui doit toujours exister entre les variations séculaires des excentricités des deux orbites et de leur inclinaison mutuelle, et qui se vérifie en effet, lorsqu après avoir déterminé leurs valeurs, çn les substitue dans cette équation .

78. Voyons maintenant comment, à l'aide des équations (A), on peut démontrer que les excentricités des orbites et leurs mutuelles inclinaisons resteront toujours très-petites, en ayant égard au carré des masses

?72, m\ etc., et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.

Reprenons les équations (A) du numéro précédent, sans y rien négliger : si Ton substitue pour xdjr-^jrdûc^ afdy — y da/^ etc., leurs valeurs, et qu'on suppose, ce qui n'ôte rien à la généralité de la démonstration, .M-hm = i, M-h/îi'=i, etc., la première de ces équations devient

/n V«(i--e*) cos ç -h m'v^a'(i— e'*)cosç'+ . . .

, l rdjd — xdY'-^y'dx — xf dyX ^

^mm'{^- '-^ ^:j+... + C.

Si Ton fait abstraction des variations périodiques, et si Ton néglige les quantités du quatrième ordre, par rapport aux masses m et m', le premier terme du second membre de cette équation peut être regardé comme constant. En effet, le produit ydaf ne saurait contenir de termes non périodiques, lorsqu'on y substitue pour y et dx' leurs valeurs elliptiques ; car la valeur de y ne contenant que des termes périodiques dépendants de ni, tandis que la différentielle dx* ne contient que des termes périodiques dépendant de n'^, le produit^^jc' ne peut renfermer aucun terme où les moyens mouvements nt et v!t se détruisent. Si ce produit contient des termes non périodiques, ces termes sont donc du premier ordre, par rapport aux masses //i et m' ; et comme ils sont fonctions des éléments elliptiques de m et de ///, leur variation est du second ordre, et par conséquent la variation du produit min'jdx' est du quatrième; il en serait de même des autres produits xdj' , fdx, x'dy.

La même observation peut se répéter à l'égard des autres termes du second membre de Téquation précédente^ puisqu'ils sont tous absolument de même forme que le premier. Ce second membre doit donc être considéré comme une constante, indépendante des variations séculaires que subissent les éléments des orbites de m, m\ etc., du moins lorsqu'on néglige ' les quantités du quatrième ordre, par rapport aux masses tw, m', m", etc.

Il est aisé de voir encore que si, dans le premier membre de la même équation, on substitue à la place des éléments elliptiques la partie périodique de leur valeur, les termes non périodiques qui en résulteront seront de Tordre m', et pourront être regardés comme constants, aux quantités près de Tordre m*.

La première des équations ( i) devient ainsi

m ^a (i — e^) costf -h /w' ^a^ (i— c") coS(p'

+ m" v/a"(i— e''») cos.p"-f- ... = €.

Les deux autres intégrales (A) donneraient de même

m ^a (i — ^') sin(p cosa -h m' sfa' (i — e'^) sin (p' cos a'

m sla[i — é^) sin (p sin a ■+■ m' sja' (i — e'').sinf sina' -^ m" sja"{i--e"') sin (p" sin a" H- . . . = C".

Et ces équations, exactes aux quantités près du quatrième ordre, subsisteront, quelques changements que subissent dans la suite des temps les excentricités et les inclinaisons des orbites en vertu de leurs variations séculaires, même en ayant égard, dans la déter-

mination de ces variations, au carré des forces perturbatrices.

• Si l'on ajoute ensemble les trois équations précédentes après avoir élevé au carré les deux membres de chacune d'elles; que pour simplifier on ne considère que Taction réciproque de deux planètes m et w', et qu'on nomme 7 Tinclinaison mutuelle de leurs orbites, en observant que

cosy = cos(p cosy'-f- sinç sinç?' c6s(a'-- a), on aura

-h 2 mm' ^a (i — é^) ^a! (i — ^' ) COS7 = const. J

Cette équation coïncide avec l'équation {d) à laquelle nous sommes parvenus n** 77, en n'ayant égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices. On voit que cette équation est exacte en considérant même les termes dépendants du carré de ces forces, et l'on en peut conclure, comme dans le numéro cité, la relation suivante,

m sfacèe + m' sla' e! Be''\ -=A ^-pi = o,

m sfa -^ m* sf^

qui se vérifie en effet lorsqu'à la place de èe^ âe\ c?y, on substitue leurs valeurs dépendantes non-seulement de la première puissance, mais encore du carré des masses m et m\ et exactes aux quantités près du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Si Ton fait passer dans le second membre de l'équa-

tion (g) les termes constants, elle devient

n^ ae^ -\- m'^ a' e^^ — n mm' a} a'^ nn' sj i — é^ s/i — e'* 0057 = const. (k)

On peut écrire d'une autre manière qette équation, en observant que Ton a

vr--ê^=i

sin* 7

cosv = 1

d'où Ton tire

t ; I r é^slx — e'*cos7 e''co57 sin»7

VI — €^>I\ — <?"coS7 = I ' ■ y ' ^•

Substituons cette valeur dans l'équation (A), et faisons passer dans le second membre le terme constant imrn! a^ a:^ nri ^ nous aurons

^* cos*y sin**y

+ 2 mm' a^a'^ nn' ' -h 2 mm' a} a''^ nn' *— = C,