COS

C étant une constante arbitraire.

La valeur de cette constante est nne très-petite quantité par rapport aux carrés et aux produits des masses m et m', puisque ces carrés et ces produits sont multipliés dans le premier membre de cette équation par e*, e'^, sin^y, et que nous supposons qu'à une époque déterminée les excentricités et l'inclinaison mutuelle des orbites sont très-petites. Il suit de là que

chacun des termes du premier membre restera trèspetit par rapport aux carrés et au produit de m et m'^ tant que ces termes seront de même signe, puisque chacun d'eux sera alors nécessairement plus petit que la constante G du second membre. Or, si les planètes m et m' sont supposées tourner dans le même sens autour du Soleil, comme cela a lieu dans la nature, les moyens mouvements nt et n't seront de même signes les six termes du premier membre de Téquation (H ) seront donc positifs tant que l'angle y sera plus petit que 90 degrés ; mais si l'on suppose y =3: go^, on a siny = 1 , cosy = o. Le dernier terme de l'équation (H) n'est donc plus très-petit par rapport à mm\ ce qui est impossible, puisque la constante G est trèspetite par rapport au produit des masses m et m! et que les autres termes du premier membre sont positifs. L'angle y ne pouvant jamais atteindre 90 degrés, il s'ensuit que l'inclinaison y et les excentricités e et e' des deux orbites demeureront toujours peu considérables; car cosy ne pouvant pas devenir négatif, tous les termes du premier membre de l'équation (TI) seront positifs, et chacun d'eux par conséquent restera toujours très-petit j>ar rapport aux carrés et aux produits des masses m et m\ ou, ce qui revient au même, les coefficients €^, e'^, sin^y de ces termes seront touj<jurs de très-petites quantités, comme ils le sont aujourd'hui.

Les mêmes raisonnements s'appliqueront évidemment à l'équation (H)^ quel que soit le nombre des planètes w, m', m"^ etc., qiie l'on considère, puisque chacune d'elles ne fait qu'ajouter au premier L 3o

membre des termes semblables à ceux qui le composent.

Concluons de là que la stabilité du système planétaire est assurée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, comme elle Vest par rapport aux grands axes, quelque loin que Von pousse les approximations relatis^ement aux excentricités et aux inclinaisons y et en ayant égard aux termes du second ordre par rapport aux masses perturbatrices.

79. Nous avons vu, dans le n^ 25 du Y^ livre, que da^ns le mouvement d*un système de corps, il existe un plan qui reste toujours parallèle à lui-même et que, par cette raison, nous avons nommé plan inmriable. La propriété remarquable qui le caractérise, c'est que la somme des masses des différents corps du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs dans un temps donné, est un maximum par rapport à ce plan, et qu'elle est nulle par rapport à tout autre plan qui lui est perpendiculaire.

La considération de ce plan pourrait être surtout utile dans la théorie du système du monde, parce que Técliptique, les orbes planétaires et la position des étoiles elles-mêmes, variant à la longue d'une manière sensible, nous n'avons dans le ciel aucuns points fixes auxquels nous puissions rapporter celle des autres parties du système.

La position du plan invariable se détermine aisément au moyen des trois équations (A) n*^ 77. En effet, si l'on nomme <b son inclinaison sur le plan des

xj, et n la longitude de son nœud ascendant, ce qui

donne (n^ 25, livre P^)

cos/ = cosa>, cos/'=:sin$cosn, cosZ"=sin$sinri,

on aura, pour déterminer ces deux angles,, les équations

tang$sinn = ^, tangOcosO = ~,

et par conséquent, en substituant pour C, C, C'Meurs valeurs,

t3Dj;t3inn-'"^''^^Z!ll!î^y^^°°^"^^^V^^'^^""^^')^^ '

m \ja (i— <?') COS7 4- m' sja' (i— e"") cos<p'-f-. . . ' ^

Nous avons démontré que les seconds membres des équations (A) sont constants, quelles que soient les variations séculaires qu'éprouvent les éléments elliptiques gui entrent dans le premier membre, et lors même c^'on a égard aux termes du second ordre dans la détermination de ces variations; d'où il suit, par conséquent, que la position du plan maximum des aires demeure encore invariable lorsqu'on a égard aux perturbations causées par les mouvements elliptiques des planètes par leur action mutuelle, et qu'on porte les approximations jusqu'aux carrés des masses.

On voit par les équations (R) que, pour fixer exactement la position du plan invariable, il faudrait connaître les masses de tous les corps du système solaire, et les éléments de leurs orbites : c'est ce qu'on est loin encore d'avoir avec précision ; mais comme les planètes dont nous connaissons les masses sont celles qui

doivent le plus influer sur la position du plan invariable, et que les masses des comètes paraissent en général assez petites pour que l'on puisse négliger leur action, il sera facile au moyen des équations (K), et avec les* données que nous avons sur les éléments du système du monde, de déterminer d'une manière approchée la position de ce plan.. En prenant pour plan fixe celui de l'écliptique au commencement de l'année i75o, et la ligne des équinoxes pour la droite à partir de laquelle on compte les longitudes, on a trouvé ainsi, pour l'époque de 1760,

n = ioa«57'3o".

En substituant ensuite dans les équations (K) pour e, (fy a, e', 9', a', etc., les valeurs que ces quantités auront en iqSo, on a trouvé pour cette époque,

€>= i«35'3i% n= io2'>57'i5^

Ces valeurs diffèrent très-peu des précédentes, et ce résultat peut servir de vérification aux formules (K) et aux données employées pour les convertir en nombres. La théorie du plan invariable ne laisse donc rien à désirer sous le rapport de l'exactitude, et l'on pourra dans tous les temps retrouver sa position par rapport à un plan mené arbitrairement par le centre du Soleil, du moment que l'on connaîtra les masses des différents corps du système solaire, les paramètres de leurs orbites , leurs inclinaisons et leurs nœuds relatifs au même plan, quantités que Ton peut toujours regarder comme. des données fournies par l'observation. Mais

pour que la- considération de ce plan puisse être véritablement utile aux astronomes, et servir à reconnaître les changements survenus dans la position des orbes et des équaleurs planétaires, ou dans celle des étoiles, il faudrait avoir le moyen de déterminer réciproquement à une époque quelconque la position du plan de l'écliptique, d'où nous observoiis tous les mouvements célestes, par rapport à ce rtiéme plan invariable. Or les formules précédentes font simplement connaître Tinclinaison mutuelle des deux plans, et pour déterminer complètement la position de Torbite solaire, il faudrait connaître encore sur le plan invaf riable une ligne fixe à laquelle on puisse rapporter la direction de leur mutuelle intersection. M. Poisson a proposé de choisir pour cette ligne la projection sur le plan invariable de la droite que décrit, en vertu des lois générales de la riiécanique (n** 22, livre I), le centre de gravité du système solaire, en supposant qu'il ne soit soumis qu'à l'action mutuelle des corps qui le composent. Mais la direction de cette droite est trop imparfaitement connue, et trop difficile à déterminer, pour que cette idée, très-ingénieuse d'ailleurs, puisse passer de longtemps des spéculations de la théorie dans le domaine de la pratique. Heureusement les mouvements des corps célestes sont observés aujourd'hui avec assez de régularité pour que la considération du plan invariable soit inutile à leur exacte détermination , et tout en regardant sa découverte comme un théorème d'anaivse extrêmement intéressant, les astronomes, que je sacUç^tî'en ont fait jusqu ici aucun usage.

i^o THÉORIE ANALYTIQUE