VARIATIONS PÉRIODIQUES DES ÉLÉMENTS DES ORBITES PLANÉTAIRES

80. Nous avons vu, n^ 46, qu'en vertu de leurs atti*actions mutuelles, le mouvement des planètes était soumis à deux espèces de perturbations distinctes* Les premières, dont l'accroissement est très-lent, ne se rendent sensibles à l'observateur qu'après un grand nombre de siècles; elles affectent immédiatement et d'une manière continue les dimensions et les positions des orbites; les secondes, plus rapides dans leur marche, sont simplement périodiques, et ne dépendent que du lieu qu'occupent dans l'espace les différents corps du système solaire. Nous venons de donner la théorie complète de celles de ces inégalités dont le calcul est le plus important et le plus difficile; il nous reste à nous occuper des inégalités de la seconde espèce, qu'on a nommées, pour les distinguer des précédentes, inégalités périodiques.

Nous supposerons, comme nous l'avons fait jusqu'ici, que la planète troublée se meut dans une ellipse dont les éléments sont variables, et en tenant compte des termes que nous avons rçjetés pour déterminer les variations séculaires des éléments de son orbite^ nous arriverons de la manière la plus-simple à la détermination de leurs variations totales. En in-

troduisant ensuite lés éléments ainsi corrigés dans les formules du mouvement elliptique, il nous sera facile de déterminer pour chaque instant le lieu de la planète par les méthodes ordinaires.

Nous ferons observer, toutefois, que, comme les inégalités périodiques demeurent toujours très-petites, et n'ont pour ainsi dire qu'un effet passager et alternatif, il est peu important, pour les besoins de l'Astronomie, de connaître en particulier* les altérations qui en résultent dans chacun des éléments de l'orbite; il suffit d'avoir l'effet total de ces variations sur le lieu de la planète, ce qui peut se faire par l'intégration directe des équations différentielles du mouvement troublé. On détermine immédiatement en effet, par ce moyen, les inégalités périodiques des trois variables qui fixent à chaque instant la positipn de la planète : on peut donc, en regardant l'orbite comme constante par rapport aux variations périodiques, traiter ces inégalités comme de simples corrections à laire aux valeurs de ces coordonnées calculées dans l'orbite elliptique corrigée des variations séculaires. Mais cette méthode a l'inconvénient d'introduire dans les formules des termes qui renferment le temps hors des signes sinus et cosinus; on est obligé d'employer ensuite des réductions particulières pour le faire disparaître, et l'on n'en déduit d'ailleurs que d'une manière indirecte les variations séculaires. Celle que nous avons adoptée, au contraire, n'est sujette à aucune difficulté de ce genre; elle présente dans une même analyse, et sous un nicnie point do vue, toutes les inégalités des mouvements des planètes, et rien

n'est plus aisé, lorsqu'on a déterminé la partie périodique de la variation des éléments, que d'en conclure les inégalités du rayori vecteur, de la longitude et de la latitude. On verra d'ailleurs que cette méthode est la meilleure qu'on puisse suivre lorsque, dans la détermination des inégalités périodiques, on veut avoir égard aux termes, dépendants du carré et dès puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, que quelques circonstances particulières peuvent rendre sensibles.

81. Les formules du n*^42 nous ont donné, en considérant seulement la partie non périodique du développement de R, les variations séculaires des éléments de Torbite de m ; les mêmes formules serviront à déterminer les variations périodiques de ces éléments^ en ayant égard, dans le développement de R, à la partie périodique que nous avions rejetée d'abord. Reprenons donc l'expression de R dun*^48; si à la, place de w, w', i;, v', on substitue leurs valeurs données n*^ 55, et qu'on réduise l'expression résultante, en observant qu'on a généralement