COS
{gt -4- (ô)l.cosi{n't— nt-h e' — s)
= ^-Ts ['('^'^ - nt-hs'-s) + g« + co],
on trouvera, en ne portant l'approximation que jus^ qu'aux carrés des excentricités et des inclinaisons, et en rejetant les termes dépendant des inclinaisons doi^t nous nous occuperons plus tard,
^ M(^^ ecos[i{n' i — w/ -+- g' — g) + «^ -J- g •— w] '"^fT. '^ V^
H M(»Vco5[i(/i'r — /2^H-g' — g)-+-/îf +g — w'I Cy^^/ /
2 •■ ^ ''yf. ^
H NC»)e»cos[/(/ï'r — 72^4- g'~ g) + 2/?r-h a« — 2w]
-f NC) ^e' cos[ i[n' t-r-nt-^- g'— g) -+- 2 «/ + 2 g — w — w']
H Nf')e'*cos[/(7î'^ — «r-H g'— g) -+- int-^ 2g — 2«']
H jNO) (e'+e'^)cos[/(//lf — /2/-hg'— g)] ,;
H N(<) t'^' cos[/(fi'f — «^ -h e' — e) + w — w'J,
- i étant susceptible de toutes les valeurs entières positives et négatives, en y comprenant zéro, et en ayant soin seulement de rejeter, dans ce dernier cas, les termes tout constants.
Nous supposons, pour abréger, dans cette exprès-^ sien,
Le nombre / doit être supposé plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions, le cas de / = o ne donnant dans R que des termes non périodiques.
Il est commode, pour les applications numériques, de n'avoir dans les formules que les diflférences relatives à Tune ou à l'autre des deux quantités a et a'. On trouve alors, par le n° 52, en transformant les différences relatives à a' en différences relatives à a^
Si l'on substitue dans les formules des n°' 42 et 45, k la place de R sa valeur, on aura, par la simple différentiation de chacun de ses termes, les termes correspondants des variations différentielles des éléments de l'orbite de /w, et l'on en conclura ensuite par l'intégration leurs valeurs finies. On trouve, de cette manière, en bornant l(»s approximations aux premières puissances des excentricités et des inclinaisons :•
Pour la variation du demi-grand axe,
'3a = — m'a' -7 A(') coS£(/i'/-- ni ^ s'— s)
— m'a'c , ,'^ ^--- M<«) cosfi («'^ — /z^ + g'— «) + «^ -4- £ — wl
Pour la variation du mouvement moyen ,
^^= --m' a , ,^ • A('^sini(«'A-«^-+- s'— e) 2 I { /ï' — /ï )'
+ --m! ae^ ., \ "~ V^ — =-M(Osin[i(/i'r — /î^ + e'— e)+^/ir + « — wl
-H -m'ae\ ., V"" V^ ^ MO sinf/C/i'r — m -f-e'— e) 4- w^-f s — w'I.
On peut remarquer ici que la double intégration, d'où résulte la valeur de Ç, donne pour diviseur à chaque terme du développement de R, le carré du coefficient qui multiplie le temps t sous les signes sinus ou cosinus^ ce qui rend ce terme très-grand, lorsque ce coefficient est fort petit. Cette observation importante est, comme nous l'avons dit n® 59, celle qui conduisit Laplace à la découverte de la cause des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.
On trouve de même, pour la variation de l'excentricité,
oe=-^m' a -rr—, x M^*) cosT iin' t — /if -H s' — g ) + wf -f- s — w ]
-^-ffu' ae -, — T- A(*)co8/(«'/ — nt -^ s'^ — s) 4 /ï' — n ^
4- m'ac -,-,- ^. N(") cosr / in' t — nt -h e'— s) H- 2 /?/ 4- 2 s — 2 w]
——, r NC) cos[/ («' ^— /i^-fe'— g)-f 2 nt-i- 2 g— w— w' 1
m^ae -m :N(*) cos[/(/i'r — nt -{- e' — «) + w ^-w'I;
Pour la variation de Tépoque,
Ss=z — m' a
n /rfA(')\ . ., , , ,
TT—, r « I -- — I smi(/2'f — /2^-f-e' — g)
I (/i' — n) \ da ) ^ '
-h-jm'ae ., ■ % M^") sinf/ (/i'^ — /ir-r|- e'— g) -f- w^-f- g — w)
— m a}e-rr-, î ; — sinfff/i'r — /i^ -H e -^ «) -h w^ -H « — wl
i(«' — n)'\- n da ^ ^
— /w'rtV ^-j—, r '. — sin[/(/i'f — «^-h g'— s) + /!/ + g — «'];
I («' — n) ^n da ^
Pour la variation de la longitude du périhélie,
eS<ù=;=-^m'a -—, î W^^HinU in' t — nt -^ g' — g)-f- /?r+s— w]
N(«> sin [/ (/ï' t — nt-^ g' — g) -H 2 /i^ -t- 2 g — 2 w]
£(«'— /t) -+- -m' ad -m ^^ NO) sîn[/(/2'r--/?/-f-g'— g)H-2/i/-i-2g— w—w]
-h-m'ae' ti-^ -N(*) sinfi (/i'^ — /ir 4- e'— s) 4- w — <»']■
Enfin, la troisième formule du vP 43 donnera, pour la variation du demi-paramètre A:,
^it == — — -ri— Ai' ) cos / ( «' f — /?/ + e' — g )
c-n~i ^ M(«')cosri(/2'f — /?f-he'— g)-+-/^^-+-6--û>]
c' , , ""> Mi')cos[/(«'r— ///4-g'— g)4-/»r4-€— w'].
2 /(/?'— /Ij-h/Z •■ ^ / ■
Il nous reste à déferininer les variaticnis des deux quantités p et r/, d'où dépend la position de l'orbite mobile. Si l'on regarde les trois variables t\ v et z comme des fonctions connues de ces deux éléments, on aura généralement
dp
dK\ ■ dz^ /^\
dK __^/£R\ ±l
dq dq\dr] dq \ dv
Prenons pour plan des x, j^ le plan de l'orbite de m à une époque déterminée, l'inclinaison de son orbite mobile sur ce plan fixe, ainsi que les quantités qui en dépendent, seront de l'ordre des forces perturbatrices, et comme les expressions de r et de i^ ne contiennent que le carré de cette inclinaison, les deux premiers termes des valeurs précédentes seront des quantités du second ordre dont on pourra faire abstraction, puisque nous négligeons les quantités de cet ordre. Nous avons trouvé d'ailleurs, n° 55, z=z — px + qj^ on aura donc simplement ainsi
dK (dK\ dK /dK\
dp" ^\dz)' dq'^'^\dz)'
L'ordonnée z est une quantité du même ordre que l'inclinaison de l'orbite mobile sur l'orbite fixe, c'està-dire de l'ordre des forces perturbatrices. On pourra
donc supposer z = o dans la différence — > puisqu'on
néglige le carré de ces forces. L'expression de R du n° 48 donne, de cette manière,
-T~= ttH 2.B^'^COSf(/i'lf — A2^4-£' — g),
la valeur de7s'étendant à tous les nombres positifs et négatifs, depuis i= i jusqu'à l'infini.
Nommons y la*tangènte de Tinclinaison de l'orbite de n/ sur le plan fixe^ FI la longitude de son nœud ascendant, et désignons, comme dans le n**55, par r' la projection du rayon vecteur de mf sur ce même plan, et par i>| la longitude de r' comptée à partir d'une ligne fixe, on aura
z'=5 / 7sin(p' — n).
Subtituons, pour t\ et v] leurs valeurs numéro cité, et négligeons les produits des excentricités par les inclinaisons, nous aurons
z' = a'ysin(n'<H-«'— II); et la valeur de — deviendra, par conséquent,
H a' 2 . BC-') 7 sin[ I («'r — nt + e'—e) -t- «^ -h e — H ] ,
la valeur de / devant s'étendre ici, comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres positifs et iiégatifs, la seule valeur 1 = 0 exceptée.
Si dans les formules (9) et (10) du n^44 on substitue pour T" ^t j- leurs valeurs ainsi déterminées, et
que l'on néglige le produit des excentricités par les inclinaisons,ce qui permet de supposer jc=a cos(/i/-h€), y = a siïï{nt 4- s) dans ces valeurs, çn aura, pour la
variation de /^,
^ art' L/i -/i ^ n'-^n J
+ !^ fl'û'/iX.BO-Oy ! -— i . sin[/(/2'< — «r + «' — e) - ri]
-.-;-^ ^T sm[i(/i'^— -^/H-i' — s) H- a«/-f-2e— n)i;
et pour la variation de ç,
m'a^n V ^ '- i , , s i / . , vT
= 77 7 —, cos(/i'/-h/ir4-e -hs-n)-f- ~7— cos(«'/— 7ï/-|-€'-s-n)
+ -r-; ^ cosff (/ï-7 — - /i^ -h s' — e) + int -{- 2e— ni >•
82. Nous n'avons pas ajouté de constantes aux valeurs de da^ c?e, c?w, c?e, c?/7, c?^^ parce que leur considération était inutile à l'objet que nous nous proposons, et que l'on peut d'ailleurs les supposer comprises clans les valenrs des éléments a^ e^ q, ê, p^ q du mouvement elliptique, qui deviendront ainsi a-ha^^ ^-H^,? w 4- &),, 6 -H s,, P"^ P,9 7 + 7#î ^" représentant par n^j e^j cOp 6,, p^, gr^ de très-petites quantités de l'ordre (les forces perturbatrices. Les éléments de l'orbite troublée seront donc
Comme a^, e,, etc., ainsi que c?rt, cî^^, etc., sont de l'ordre m', on pourra substituer, dans ces dernières quantités, a 4- a^^ e 4- e , etc., à la place de a, p, etc.; elles deviendront, par conséquent, des fonctions du
temps et des six constantes «H-a, ^ + ^,? etc. Les formules du mouvement troublé ne contiendront donc en définitive, comme celles du mouvement elliptique, que«six constantes arbitraires, et par là disparaîtra ce que pouvait avoir . d'étrange l'introduction des six nouvelles constantes à^^ e^ ,«,, s^, />^, q^ dans une question qui, par sa nature, n'en comportait que six. Quant à la détermination de ces arbitraires, elle se fera très-simplement de la manière suivante : Supposons que l'on veuille connaître les perturbations que subit la planète m pendant un intervalle de temps donné, on déterminera les constantes a, e, etc., d'après sa position, sa vitesse et sa direction à l'instant que l'on a choisi pour époque, et les constantes a^^ e,^ etc., par les équations
a, H-(fa=o, e^-h ^e = Oy etc.,
dans lesquelles on subtituera, pour &a^ &e^ etc., leurs valeurs relatives au même instant.
L'effet des forces perturbatinces, pendant la période que l'on considère, sur chacun des éléments elliptiques, sera alors exprimé tout entier par les quantités a, -f- âa^ e -4-e?e, etc., qui ne contiendront plus rien d'arbitraire. Ce procédé est le même, comme nous le verrons, que celui que l'on suit dans la théorie des comètes, où l'on est forcé de calculer par des quadratures les variations que subit chaque élément de Torbite pendant l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux retours successifs de l'astre à son périhélie.
En réunissant les valeurs de âa, c?u, âe, c?c, c?w,
(?/?, &<j déterminées par les formules précédentes, à celles qui dérivent des équations' différentielles (ii), n® 46, et que nous avons considérées avec étendue dans le chapitre précédent, on aura les deux parties dont se composent les variations des éléments de l'orbite elliptique, résultant de Taction des forces perturbatrices; Tune de ces parties dépendant, n** 47, delà configuration mutuelle des corps w, wi',.etc. , et l'autre indépendante de cette configuration.
f^ariations périodiques du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude':
S3. La position d'une planète dans l'espace est fixée lorsque l'on connaît son rayon vecteur projeté sur un plan fixe, sa longitude vraie, ou l'angle que fait la projection de ce rayon avec une ligne fixe, et sa latitude, ou l'angle que forme le rayon vecteur de Torbite vraie avec celui de l'orbite projetée. C'est donc à la détermination de ces trois éléments que doivent finalement aboutir toutes les recherches qui ont pour objet les mouvements de translation des corps cé^^^^e^ -^ lestes. Nous avons donné, dans le n*^ 24^^e5"'êxpiessions du rayon vecteur, de la longitude vraie et de la latitude dans l'orbite elliptique, en séries procédant suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons; il nous suffira donc de substituer à la place des éléments elliptiques, dans ces formules, ces éléments corrigés au moyen de leurs variations périodiques et séculaires que nous venons de déterminer, pour avoir la vraie valeur du rayon vecteur, de la lon- L 3t
gitiide et de la latitude dans Torbite troublée. Or on voit, par les formules du n^ 25, que la valeur du rayon vecteur et de la longitude dans Tcn'bite projetée, ne diffère de celle du rayon vecteur et de la longitude dans Torbite vraie, qu'aux quantités près du second ordre relativement aux inclinaisons, quantités très-petites, qui ne produisent que des variations insensibles lorsqu'on prend, comme nous le ferons, pour plan fixe, celui de l'orbite de la planète à une époque donnée. Il en est de même des termes de l'expression de la latitude qui sont de l'ordre du produit des excentricités par les inclinaisons. Il résulte de ces observations que, dans la recherche des variations du rayon vecteur et de la longitude, on pourra faire abstraction des inclinaisons des orbites, et dans celle des variations de la latitude faire abstraction de leurs excentricités, ou, ce qui revient au même, regarder, dans le premier cas, les orbites comme étant toutes dans le même plan,^ et dans le second les regarder comme circulaires, ce qui facilitera le calcul de leurs perturbations.
Reprenons les valeurs du rayon vecteur et de la longitude développées dans le n^ 25 ; on a généralement par ces formules
r= fonc. («, Ç, e, £, «), V = fonc. (Ç, e, s, w).
Si, à la place de a^ Ç^ e, 6, w, on substitue dans ces équations leurs valeurs corrigées a-4-(?rt, Ç-I-(?Ç, e -I- âe^ î-h as, w -h c?w, en désignant par la caractéristique â les variations périodiques dépendantes de
la première puissance des masses^ on aura, en ne considérant que les termes de cet ordre : Pour la variation du rayon vecteur,
^ fir ^ dr ^^ dr ^ dr ^ dr ^
Pour la variation de la longitude,
,. dv f.^ di> m. dif ^ dv ^
Une s'agira plus maintenant que de substituer dans ces deux expressions, à la place des variations ef a, c?Ç, <ïe, âe et (îw, leurs valeurs développées précédemment, pour avoir celles du rayon vecteur et de la longitude vraie, exactes aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Mais, au lieu d'effectuer ces substitutions dans l'expression de ^v^ il sera plus commode de faire dépendre la détermination des inégalités de la longitude de celles du rayon vecteur, au moyen de l'équation (A) n® 20, que nous avons déjà employée dans un cas analogue n*^ 24. En effet, cette équation donne, ^ pour le cas de l'ellipse invariable.
Cette équation, étant une différentielle du premier ordre, a encore lieu dans Tellipse troublée, et ne doit pas changer de forme lorsque les éléments de l'orbite varient; on aura donc, en la différentiant par
484 THÉORIE ANAITTIQUE
rapport à la caractéristique c?,
tUi>=^dtK/ — — dtU 2rf/V^(i — tf')-T ;
d'où Ton tire, en intégrant et négligeant le carré des forces perturbatrices,
On peut donner à cette équation une forme plus simple encore. En effet, k étant le demi-paramètre de l'orbite, on a k == \/a{ï — e^), d'où en différentiant
on tire
SA 1 j. e ^
— z=L—da ; âe.
On aura donc ainsi
formule très-commode qui donnera immédiatement les perturbations de la planète en longitude lorsque celles du rayon vecteur seront connues.
84. Occupons-nou^ donc uniquement^ de déterminer la valeur de $ r. Nous avons trouvé n® 24, en négligeant les cubes et les puissances supérieures des excentricités, •
r=a I i4--ff' — ecos{ni-h s — &>) e' cos 2 ( ;?/ 4- e — «) \*
En difîérentiant par rapport à la caractéristique â cette valeur, on aura
5r=[^«— a^«cos(/i/-He— «)— flre5wsin(/i^4-e— 6>)][n-2<?cos(/z/4-s — »)] J
Si dans cette expression on substitue, pour âa^ âe^ eà(ô^ âÇ et c?ê leurs valeurs, et qu'on n'aitégard qu'aux termes du premier ordre par rapportaux excentricités, on trouvera
h- m'anV 2 ^,., i ,,, ,1 , , , v
— = -, AO-f.-— ^^ M(«^ cos/(«'i— /Î/+8'— e)
,m'ane\-f^—k(^^)-\--r~A-\ ^1^*M- ., ' "" f MC)+ — ,— i ]
[n — n i{ji' — n)+n i[n—n)-\-n i(n'n)-\-:in'
i ^,, , II I w^ 3 n ,,., I rfA^'H
-— NO)— — -, A(')+-— ^ A(0— - a -,-
/(/î'—w) 4 « — ^ 2i(« — /îp i(n' — n) {la J
Xcos[i{n' t — 72^4- e'— e) -f- w/ + 8 — «]
«„/a;,e' [rr-r^^^^^T — MO)+i— ^-i- n(') — I / ■ n(o1
L/{/2' — /î)-+r/i 2i(/i' — n)^in 2l(/i — Tl) J
X co»[/(/i'^ — w/ + e'— g) H- «^ 4- e — w'].
Si Ton remplace dans cette expression M^"^, M^*\ jj(o)^ N^*^ N^'^ N^^^ par leurs valeurs, on trouvera, après
les réductions convenables,
— = — 2.C(''Cos«(/i7— -«^-h s'— g)
-|-/w'^2.D(*)cos[/(/î'^— /i^-4- g'— ê)-I-/i^H-£ — w] ' ^^'' +• 7«' e' I . EO cos[/ («' / — «^ 4- g'— g ) -f- /If + g — »')
En faisant, pour abréger,
f(«'-;2)4.« ,é/A('-'> I rf'A('-«)1
/ (n' — n)-f-/i rfa 2 da^ J
Le signe intégral 1 devant s'étendre dans l'expression de âr à toutes les valeurs positives etnégativesde /, la seule valeur / ^= o étant exceptée, parce que nous examinerons ce cas séparément.
Après avoir ainsi déterminé la valeur de âi\ on aura celle de âi^ au moyen de la formule (a'). En faisant, pour abréger ,
F(0=—JL " ^yn ■ L"-" da J ,
i(n'— n) + n{ n! — n n}—i^{n'—nf
on trouvera pour ds^ la formule suivante :
4- //i'e2.G(0 sin[/ («'^ — «r + s' — e) + /ir -f- ç — »] ^^^ -f- /w'e'2,H(0sin[/(/ï'^ — /zf H- ç' — g) 4- ,ir + e — «'].
Le signe 5 devant s'étendre comme précédemment à toutes les valeurs positives et négatives de /, la valeur z = o exceptée.
Il est bon de remarquer, que les expressions de —
et de âsf deviennent convergentes, dans le cas même où la série représentée par I.A^'^ cosi{n't -^nt-he^—e) Test peu, par les diviseurs qu'elles acquièrent. Cette
remarque est surtout importante pour la déterminatioï\ des perturbations des planètes dont les rapports des distances au Soleil diffèrent peu de Tunité.
8S. Déterminons maintenant en particulier les termes des valeurs de &r et de ây qui naissent de la supposition de i = o. Reprenons l'équation (a) et ne considérons d'abord que la partie non périodique de son second membre. Si l'on iait / = o dans la valeur de la fonction R, n^81, en ayant soin de rejeter, comme nous l'avons dit, la partie constante de cette valeur, on verra aisément que la seule partie semblable qui en résulte dans &r est celle-ci : —a' l— — V
La constante jointe à la valeur de l'intégrale &a introduira un nouveau terme constant dans cette même expression; en déterminant cette arbitraire d'après les principes du n° 82, et supposant, afin de fixer les idées, que pour l'époque où commence le temps, c'est-àdire pour l'origine de la période pour laquelle on veut calculer les perturbations causées par m' sur le mouvement de w, on choisisse l'instant d'une conjonction de ces deux planètes, ce qui donne alors
n't — nt -h b' — e == o, on trouvera
le signe intégrale 1 s'étendant à toutes les valeurs positwes de / depuis i = i jusqu'à i = 00 .
On aura donc, en vertu des deux termes précé-
dents,
2 \ da ] n' — n •
Si Ton substitue cette valeur et celle de àa dans l'équation (a), on en tire
En joignant à ces valeurs les parties non périodiques de r et de p, relatives au mouvement elliptique, on aura, pour la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude dans l'orbite troublée,
r-^^rz=ia — im' a^ — 2.A(')H;- - m' a^ -— — ), 1
n' — n 2 \ da / I .
v+ §pz= nt-\-6-hm'a —, 2.A(') —.a {— — j nt.\
Telles sont les expressions de la distance et de la longitude moyennes qui résultent directement de nos formules; mais on peut leur donner une forme plus simple qu'il est bon de connaître. En effet, d'après les suppositions précédentes, les constantes ciy w, e, s, w sont celles qui.répondent à l'époque où Ton compte ^ = o, et qui seraient les éléments de l'orbe elliptique décrit par la planète rn, si à cet instant les forces perturbatrices cessaient leur action ; supposons que l'on désigne par nt le moyen mouvement de f7^, tel qu'il résulte de l'observation, d'après la seconde des équations (o), on aura
n=zn\\-^ m
Soit a,, la valeur du demi-grancf axe correspondant au moyen mouvement n,, et qui se déduit de Féquation
si Ton substitue dans cette équation 71 4- w^ — /* et a H- a, — fl à la place de n^ et de a^, en négligeant les carrés des quantités très-petites w, — n et a^ — a^ on en conclura
d'où, en substituant pour n^ sa valeur, on tire
Les deux équations (o) deviendront donc, en observant qu'on peut remplacer a par a^ dans les termes multipliés par wi'.
Ces valeurs de la dislance et de la longitude moyennes dans l'orbite troublée ne sont qu'une transformation de celles que donnent les équations (o); mais l'introduction des constantes a^ et «^, à la place des constantes a et w, fait que la partie $v de la longitude vraie ne contient plus aucun terme proportionnel au , temps, en sorte que le moyen mouvement de la planète troublée est contenu tout entier dans la partie v de cette longitude et peut se conclure mmédiatement des observations sans leur foire subir aucune correction ;
ce qui est un avaptage^pour la construction des Tables astronomiques.
Pour déterminer les termes de la valeur de&r qui dépendent de la première puissance des excentricités, et qui résultent de l'hypothèse / = o, il suffira de calculer les valeurs correspondantes de <?a, &ey etc., avant de les substituer dans l'équation (a) ; en se conformant à ce que nous avons dit n^ 81 , on trouvera ainsi
§r m' r^ /dA(^)\ , ï ,/^^A(")\l , , \
''^''Jo.u, 5 /t/A(«)\ I /rf»A(')\l , ,A^'^
^.e|3AO)-3a^-^)--.^(^-^)Jcos(..+.-.');)
et l'équation (a') donnera, pour la partie correspondante de &v,
, m' r„ /rfAW\ , I ,/rf"A(«)\-| . , ,
H.«^^3A0).«(^-^)--..(^-^jJ«„(« + .„').
En réunissant les différentes parties des valeurs de âr et de âif que nous venons de déterminer, et faisant, pour abréger,
on aura enfin, pour la variation du rayon vecteur,
— m^ rf cos {nt -\- e — w) — m' e'f co^[nt -^ i — «') \ (A) -4- m'e S.DC ) cos[/(«'f — nt-^ e' — s) + wt +8 — w] -hm'e'S.EC) cos[?(«'f — /î^-f-»'— s) + /2fH-« — »'],
et pour la variation de la longitude,
$v = — 2.F(') sin/(«'f— /z^-Hê' — g)
+ 2w'^sin(/2r-hs — w)4- a^'^'/"sin(«r-t-8 — w') ) (b) 4- iw'el.GO sin [1 («'r — /z^ H- «'—«)-+- /îf -h s — w + /n'e'2.H(*^sin[/(/î'^— «^ -h s'— e) -h w^-hs— w'
Les formules (A) et (B) serviront à déterminer les inégalités périodiques d'une planète quelconque m troublée par l'action d'une autre planète m';* chaque planète perturbatrice introduira dans ces deux formules des termes semblables aux précédents, et la somme de tous ces termes exprimera l'effet total dèt perturbations.
Si l'on veut que ùv e\. $r expriment les effets produits par la force perturbatrice pendant un temps donné sur la longitude et le rayon vecteur de la planè.te troublée, on déterminera les constantes arbitraires qui doivent servir à compléter les valeurs de (?e, (?«, (?s, et que nous désignerons par e^, w^, s^, de manière à ce qu'on ait
e^ + de = o, w^ + (?C0 î:=: o, Ê^ -h (?Ê = o,
en même temps que if = o. C'est ce fjue nous avons
déjà pratiqué à Tégard de la constante jointe à l'intégrale âa.
Ou substituera ensuite ces quantités à la place de âe^ &(ùy &e dans l'équation (a), et les valeurs qui en résulteront serviront à compléter celles de âret de âif^ qui ne contiendront plus rien d'arbitraire et qui exprimeront alors les augmentations totales de la longitude et de la distance au Soleil résultant de Tactiou des forces perturbatrices.
En ajoutant ensuite les valeurs de âr et de cJp à celles du rayon vecteur (r) et de la longitude (p), calculées dans l'orbite elliptique, corrigée au moyen des variations séculaires de ses éléments, on aura les valeurs totales du rayon vecteur de la planète et de son mouvement en longitude. On trouvera ainsi
86. Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en latitude. Nommons j la tangente de la latitude de m au-dessus du plan fixe des xj-y nous aurons z = r^s^ en désignant par r la projection du rayon vecteur de m sur le même plan ; on tirera de là
et l'équation z =: qjr — px donne, pour déterminer âZy
âz = jrâq — xùp -f- qùy — pdx.
Supposons, comme nofts l'avons fait jusqu'ici, que l'on prenne pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée; l'ordonnée z et les quantités/?
et q seront de Tordre des forces perlurbatrices ; ennégligeant donc le carré de ces forces, les deux équations précédentes donneront
as = —t c?z = j-âq — ûcâp.
Les coordonnées ^ et j" se rapportent au mouvement elliptique ; on peut donc substituer à leur place leurs valeurs x= r cosi^ et j = r sin if; et si Ton néglige, comme nous le ferons, le produit des excentricités par les inclinaisons, il suffira de faire oc = a cos {nt -hé) et / = a sin [nt 4- s) ; on aura ainsi
— :=i èq sin(/i^ -+- s) — c?p cos(/i^ H- s).
Si pour èp et ^q on substitue leurs valeurs données n®81, on trouvera
= 7; -, r-; — 7Sin /2'fH-g'— n)
-^«'«' 2.1 -4— V— ., / N . ^ 7B('-')sin[/(/i'r— /îr+6'-6)^-/^r-^e-^],
y désignant la tangente de l'inclinaison de l'orbite de m* sur Torbite primitive de //z, Il la longitude de son nœud ascendant comptée sur ce plan, et i désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif, la seule valeur 1 = 0 étant exceptée.
Si Ton réduit cette expression, et que Ton observe qu en négligeant les produits des excentricités parles inclinaisons, on a &z=z a&s^ on en conclura
m'n'a'a' BC'-' ■ ■ r-, , , x . », „i
' Supposons qu'au lieu de prendre pour pian fixe celui de Torbite primitive de m, on rapporte son mouvement à un plan très-peu incliné au plan de cette orbite. Soient (p et cp' les inclinaisons des orbites de m et de m' sur le plan fixe, a et a' les longitudes de leurs nœuds ascendants sur le même plan, les tangentes des latitudes de ces deux planètes, correspondantes à une même longitude i', seront tangç sin(i' — a) et tangy' sin (i* — a') ; la latitude de m' au-dessus de Torbite de m, correspondante à la longitude v^, sera ysin(p — • II). D'ailleurs les inclinaisons des trois plans que nous considérons, étant trèspetites, les tangentes des latitudes peuvent être prises pour ces latitudes elles-mêmes; on aura donc à trèspeu près
tangy'sin((^ — a') — tangy sin(i^-- a)=7sin(i^ — II).
Si Ton développe cette équation et qu'on compare séparément les termes multipliés par sinv et cosi>, on aura
y sin n = tangç)' sina' — tangç sin a,
ycosn = tangip'cosa'— tang<pcosa;
et si l'on fait, comme précéde*mment,
tang qp sin a = /:>, tang ç' sin a' = p\ tangycosa =: 9, tangç)' cosa' = 9',
on aura
ysinll=p'—p et y cosll = (y' — gr. Si Ton désigne donc par s = {s)-{- as la latitude
de m au-dessus du plan fixe, on aura à très-peu près
s =z q s\n{nt -+- s) — /?cos(/ilr-h s)
Les deux premiers termes de cette expression, c'està-dire la partie indépendante de m\ représenteut la latitude de m au-dessus du plan fixe dans le cas où m ne quitterait pas le plan de son orbite primitive ; en remplaçant ces deux termes par la valeur exacte de cette latitude, la formule en aura plus de précision.
Chacune des planètes perturbatrices m", m*", etc. y introduirait dans les expressions précédentes des termes semblables.
87. IjCS trois formules (A), (B), (C) que nous venons de trouver, renferment toute la théorie des perturbations du mouvement des planètes, en portant la précision jusqu'aux quantités de Tordre des excentricités et des inclinaisons, ce qui suffit dans les cas ordinaires.
Si Ton voulait pousser plus loin lesapproximationsy il faudrait conserver dans R les termes dépendant des cubes et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons que nous avons négligés.
Il faut remarquer, en effet, que par rabaissement que subit la fonction perturbatrice dans les trois for-
mules (2), (4) et (5), ri^ 42, on est obligé de porter le développement de cette fonction à un ordre d'approximation supérieur d'une unité à celui que Ton veut obtenir dans les formules finales. Ainsi , par exemple, il faudrait dans le développement de R cal* culer les termes dépendants des cubes et des produits de trois dimensions relativement aux excentricités et aux inclinaisons, pour obtenir dans les expressions du rayon vecteur^ de la longitude et de la latitude les termes simplement proportionnels aux carrés et aux produits de ces quantités. Cet inconvénient, joint à ce que les opérations se compliquent de plus en plus, à mesure que Ton considère dans R un plus grand nombre de termes, rendrait bientôt les réductions précédentes impraticables et la méthode tout à fait impossible, si Ton était forcé de suivre cette recherche dans toute sa rigueur. Heureusement dn peut observer que tous les termes xjui dépendent xlu carré et des puissances supérieures<les excentricités et des inclinaisons, sont très-petits dans la valeur de R, en sorte que si quelques-uns d'entre eux doivent devenir sepsibles par l'intégration dans la valeur du rayon vecteur, de la longitude et de ,1a latitude, il est aisé d'en connaître d'avance la cause, et l'on facilitera le calcul des inégalités des ordres supérieurs en le* bornant à celui de ces termes. Nous développerons ces considérations dans le chapitre suivant.
