CHAPITRE X
^SÉGaLIXÉS périodiques DU RAYON VECTEUR, DE LA tONGJTUDE ET DE LA LATITUDE DÉPENDANTES DES PUISSANCES SUPÉRIEURES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS.
88. Quoique la.méthode que nous avons suivie jusqu'ici dans la théorie des perturbations planétaires, et qui consiste à regarder Torbite troublée comme une elKpse dont les éléments varient à chaque instant, soit extrêmement ingénieuse, et semble 'résulter naturellement des phénomènes observés, on ne peut disconvenir cependant que, lorsqu'on se propose simplement de déterminer les inégalités périodiques qui résultent dans le mouvement, des planètes de leurs actions mutuelles, il ne soit plus expéditif de les déduire directement des équations différentielles du mouvement troublé. Les variations des trois coordonnées, d'où dépend à chaque instant la position de la planète, sont alors données immédiatement sous leur forme la plus simple, sans qu'on soit obligé de recourir aux réductions pénibles qu'exigent les autres méthodes, et il ne reste plus qu'à appliquer ces corrections au rayon vecteur, à la longitude et à la latitude calculés dans l'orbite elliptique. Comme ce procédé est très en usage parmi les géomètres, et qu'il L 32
peut être utile dans beaucoup d'occasions, nous allons en développer ici les formules.
Désignons par r, i^, s les trois coordonnées qui déterminent dans Torbite elliptique la position de la planète m, c'est-à-dire son rayon vecteur, sa longitude et sa latitude, et par r -h &r^ i^ H- d^i% s + as oe que deviennent ces trois quantités en vertu des perturbations qu'éprouve cet astre dans son mouvement autour du Soleil. Nous avons trouvé, par une première approximation, les valeurs du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, en faisant abstraction des forces perturbatrices ; dans une seconde approximation, nous aurons simplement égard aux termes du premier ordre, par rapport à ces forces, et nous négligerons tous les autres. (Jr, &Vj as seront alors de très-petites quantités du même ordre, et ce sont ces quantités qu'il s'agit de déterminer.
89. Reprenons pour cela les trois équationS différentielles (A), n** 37,
dt'
d^y dt^
dVi
d^z dO
= dz'
Si l'on multiplie ces équations, la première par arfor, la seconde par idjr, la troisième par atfe, qu'on les ajoute ensuite, et qu'on intègre leursomme, on trouve
dx"
a étant une coostante arbitraire qui représente le demi-grand axe de ToAite ^ans le mouvement elliptique, et rf'R désignant, comme précédemment, la diffirentieHe de la fonction. R prise par rapport aux seules 'coordonnées dé m, ou au tenips introduit par la substitution de leurs valeurs, en sorte que l'on a
d'R = -p- dûc: -^ -y- dr + -r dz.
dx ' dy '^ dz
Si Ton ajouté les mêmes équations après* avoir mult ylié la jlremièfe par .r , la seconde par jr, la troisième par 2, on aura
dt^ *"r
=KS)-.w
en observant qu'aux quantités pilès du second ordre, paf rapport aux inclinaisons, on a (n^ 86)
ar=rcosi^, ^=rsint', z=zrs^
et qu'^i prenéint pour plan fixe des xjr celui de l'orbite prinitive de m, on peut négliger ces quantités qui sont de l'ordre du carré des forces perturbatrices, ce qui donne, dans ce cas,
dK ^ £R /£R\
dx *^ dy dz \ ^^'^ /
Si Ton ajoute entre elles les équations (i) et (a), en observant que Ton a
xd'^x-\'j'd^j + jzrf^ JB -+- dx'^ ■^dj'^'^r dz^ = d{xdx -^ fdj -f- zdz):=:^\d^r^^ on trouve
.e = .KR + r(f).(3)
â ~dr* r
5oo THÉORIE ANALYTIQUE
Si Ton désigne par ûfpJt'angle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r + rfr, on aura.
et, par conséquent, *^
arrf» X -hyd^x -^zd^z^ d(xdx +X^X + ^^) — («^^ ûÇr'-f- dz^)
L'équation ( 2 ) peut donc prendre cette forme,
dF' ^7'^^'\dr)'
d*où Ton tire
dt^ rdr r' r\drj' ^^ ^
Si Ton suppose nuls les seconds membres des équations (3) et (4), on aura les valeurs du rayon vecteur et de la longitude qui se rapoortent au mouvement elliptique; en y substituant donc r-h&retv-h^sf/à la place de r et ^,et en effaçant la partie, relative à ce mouvement qui serait nulle d'elle-même, d'après l'hypothèse, la partie restante slervira à déterminer les valeurs de c^r et de &v. Nous ne nous occuperons ici, comme nous l'avons dit, qife des inégalités du premier ordre, par rapport aux masses perturbatrices ; en effectuant donc la substitution précédente et négligeant les puissances de (Jr et de âv supérieures à la première, ce qui revient à différentier, par rapport à la caractéristique (J, les équations (3) et (4), on aura d'abord
d^rSr ^ ur8r
df
^^-^^-.KR^r(5)=o.(5)
DU SYSTÈME DU MONDE. Soi
Cette forftiule servira à déterminer la variation du rayon vecteur.
L'équation (4) donnera ensuite
dû . dt'
ZarBr /rfRX
formule au moyen de laquelle on déterminera la variatioa de l'angle p, lorsque celle du rayon vecteur sera coonue. On peut faire prendre à cette dernière équation une forme plus simple : en effet, si
rSr
l'on élimine, à l'aide de la première, la quantité -^—r
et qu'on remarque que, par 4es formules du mouvement elMptique, on a r^dv = \/iia{ï — e^)dt et /x=ï:a*7i% on trouve
d'où, en intégrant, on tire
^rdSr -^drSr ytn
às^= ^i^ f^L__ : \-/ J. (6)
Nous avons nommé ds^ l'angle compris entre deux positions consécutives du rayon vecteur r, cet angle doit se compter, par conséquent, dans le plan même de l'orbite troublée ; mais il est aisé de voir qu'il ne diffère de sa projection, sur le plan fixe des Xj y^ qu'aux quantités près du second ordre, par rapport aux inclinaisons ; nous pouvons donc, puisque nous négligeons ces quantités, le prendre pour cette pro-
Son THÉMtlE ANAbYTÏQUE
jection même. L'angle v représefntera alors la longitude de la planète m comptée sur le plan fixe, et l'équation (6) donnera aisément ses pertuAations lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.
Il nous reste à considérer les inégalités du qjpuvement en latitude. Supposons que l'on prenne pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m, et qu'on nomme &s la latitude au-dessus de ce plan résultante des perturbations, on aura z = r&s^ et e» substituant cette valeur dans la troisième des équations (A), elle donnera
Cette équation servira à déterminer c3^^. Si Ton veut rapporter ensuite la position.de la planète à un plan très-peu incliné à cfelui de/son orbite primitive, en joignant à la valeur de as celle de la latotude de la planète dans le cas où elle ne quitterait pas le plan dé sa première orbite, on aura, à très-peu près, l'expression de sa latitude au-dessus de ce nouveau plan.
90. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer les formules (5) et (7). Occupons-nous d'al^rd de la première. On verra plus bas qu'en ordonnant Féquation (5) par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, on peut toujours faire dépendre la détermination de la valeur de râ r de l'intégration d'équations de cette forme,
H- n^râr--- P =; o.
DU SYSTÈME DU MONDE. 5o3
P représentant une fonction rationnelle et entière de
sinus et de cosinus d'angles proportionnels au temps t,
■ Si Ton intègre cette équatioil linéaire par les méthodes
or(^paires, on aura (Lacroix, Éléihents de calcul dij^
féréniiel, u<' 2^) *
*. • / ^^^^^ r^j cosne ^^ , .
c et& étant deux constantes arbitraires.
•Il suit de là que chacun des termes de P étant supposé de la forme H {mt-^ ê), il en résultera, dans la valeur de rc?r, le terme suivant :
H sin , ^ ^v V'
m* — /i' cos ^ '
Si m = Uj le terme H sin(/?i^ -4- ê) produira, dans rdr : 1° le terme 7-7 {nt -h S), qui se trouve compris dans ceux qu'ajoutent à la valeur de r&r les constantes introduites par l'intégration, et qui, par conséquent, peut être négligé; 1^ un terme de la
forme zp — [nt -f- ê), le signe supérieur se rapportant au cas où le terme de réimpression de P est uncosinus, et le signe inférieur au cas où ce terme est un sinus. On voit ainsi comment s'introduit dans la valeur de r^r le temps tj hors des signes sinus et cosinus, quoiqu'il ne se trouve pas sous cette forme dans l'équation différentielle qui la détermine. La considération de ces termes, proportionnels au temps ^, a d'abord etnbarrassé les géomètres; mais ils ont bientôt reconnu qu'ils n'existaient pas réellement dans la
5o4 THÉORIE ANALYTIQUE
valeur rigoureuse de rc?r, et qu'ils n'étaient que le développement en séries d'une certaine classe de sinus et de cosinus qui y sont contenus, l^es termes de cette espèce, quelle que soit la lenteur avec laquelle ils croissent, rendraient à la longue fautive l'e^^esr sion des variables qui déterminent la position des planètes; aussi a-t-on cherché à les faire disparaître, et l'on a imaginé, pour y parvenir, plusieurs moyens ingénieux qui conduisent par une voie nouvelle à. la détermination des variations séculaires des éléments de l'orbite elliptique. Comme nous avons donné, dans le chapitre VIII, la théorie complète de ces iné-^ galités, nous n'y reviendrons pas ici(*), et nous ferons abstraction, dans l'expression de rc?r, de l'espèce de termes dont nous venons de parler; ce qui revient à supposer que, conformément aux usages astronomiques, les éléments de l'orbite elliptique qu'elle renferme sont déjà corrigés de leurs variations sécur laires.
L'équation (7) étant absolument de même forme que l'équation (5), ce que nous venons de dire relativement au rayon vecteur s'applique identiquement à la valeur de la latitude.
91 . Cela posé, déterminons les variations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude de m, en portant l'approxinaation comnae nous l'avons fait n*** 84; et 86, jusqu'aux ternies de Tordre du carré des excentricités et des inchnaisons. Reprenons d'abord
(* ) IToix \e supplément au livre II.
DU SYSTÈME DU MONDE, l'équation (5),
,/rf.K-r(^)=„.
de' f»
D'après les formules du mouvement elliptique, on a
L'équation précédente, au moyen de ces valeurs, devient
En ne poussant l'approximation que jusqu'aux termes du premier ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, on a, n*" 81, '
R = S-.2.A('Jcasî(y2'/ ^ n^ + £'- ê)
-h — 2.M(^>eCOs[t(w'^— /t^+6'— 6)-+-/I^+6— «]
+ - 2.M^*>e' côs[z(/i'<-7i<-t- £'-£)+ 71^ -*-£^w']^
/ étant susceptible de toutes les valeurs positives et négatives y compris zéro. Pour avoir la valeur de fd'Ry il faut différentier l'expression précédente, par rapport à nt^ en y regardant ii^t comme constant, et intégrer ensuite Texpression résultante. On a d'ailleurs, en substituant dans R au lieu de r sa valeur
5o6 THÉOprÈ ANALYTIQUE
D'après cela, on trouvera aisément
X cos/ {n!t -^nt-^i- e'— e )
ecos\i [n't — nt-^ s' — e)+«^-f- e— w]
