MC)W

/(/i — n) — n da

2 Li(/z — n) — n iSa

m' g étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale/ûf'R.

Le signe intégral 2 doit s^étendre ici à toutes les pâleurs entières, positives ou négatives, de «, la valeur f =z o exceptée, parce que nous avons fait sortir de dessous le signe 2 tous les termes, correspondants à cette supposition, qu'il nous sera utile déconsidérer, d'après ce qui a été. dit n^ 90. L'équatîtftl.(8), en y substituant cette valeur et en faisant d'aboçd ab^racfton des termes qui dépendent des excentricilfe, deviendra

d'rSr , ^. , w' dAW m' .fin ,,., rfA^l

df^ ^ 1 da 2. L^—'^ da J

X cos i [n't — nt-+- e'— s) = o,

et Von 'Satisfera à cette équation, en supposant

p^r , m' ,rfÀ(») m'n' n-^n'""^ ^"^ da

a' ^ 1 da 2 ' n^ — £'(«ft — ny \ '

Considérons ikiaintemjnt xlans la valeur de râr les termes de Tordre des excentricités et des iriclinaiaons.

Sil'on substitue dans l'équation (8) pour a/rf Rh- aÏ ^ j »

DU SYSTÈME DU MONDE. So'j

les termes de cette fonction qui sont du même ordre, et pour — sa valeur tirée de Téquation précédente, valeur que, pour abréger, nous écrirons ainsi :

'^=2m'ag-\ a^ — ; 1 2.C(*) cosi(/i'r— «r 4- s'— s),

on aura

[-n^rSr-^ 2. 3«*flr'Cf'^ — -i^-^ — ,J~ MC»)— -a— — I

Si, pour abréger, on suppose

«(« — n) — n da

ï(« — n') — n da

et qu'on observe que ^ n^ = i , on verra aisément qu'on satisfait à cette équation en faisant

m'n^l + K('>^cos[/(/î'/ — nt -^ s'— =.6) +nt-h£-r<^]\

rSr 2 I H- L(0é?'cos[/(/2' f -^.i?^ -H e'— e) + /ir 4- g — w'] i

Il faut maintenant, d'après la théorie des équation^

linéaires, pour avoir la valeur complète de —;■.? joindre

aux différentes parties de .celte valeur que nous venons de déterminer, celle qui a lieu lorscfli'on suppose nuls les trois derniers termes de Téquation (8);

5o8 THÉORIE ANALYTIQUE

on a 9 dans ce cas,

et Ton satisfait à cette équation, en supposant -^=m'^cos(7i^*t-e — ci))+/n'/Vcos(/i^-4-£— w'),

f et y*' étant deux constantes arbitraires.

En réunissant donc toutes les parties de la valeur de

^î et en remplaçant r par sa valeur

a [i — ecos(/2t -f- 6 — w)], on aura

in . ,^A|0 Sr , m' dA(') m'n\ n^n* '^'^ da ., , , ,

a ^ 2 da ^ ft^^i^{n''—ny ^ '

-f- m'fo cos (nt-^e — w)-h /w'/' e' cos («/-+-£ — «')

On a, n*^ 81,

d'où, en différen liant, on tire

dU('^ i . ^. dk.^) •rf'ACî

. SMC) . rfA(*-') « rf»A(*-'>

a -3 — == 2 ifl — 3 h rt^ —7-. —

da da d^^

Si Ton substitue ces valeurs dans K^'^ et U^\ et qu'ea-

suite, dans l'expression de — » on remplace C^,R^'^,

U'^ par les fonctions que ces lettres représ^tent, oi\

retrouvera identiquement la valeur de — > à laquelle

nous sommes parvenu par une autre voie, n** 84, <îfe *|ui peut servir à confirmer l'exactitude de ces résultats.

Reprenons maintenant la valeur de Jp, n^89. Si Ton néglige les termes du second ordre, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, et qu'on observe que nous supposons |x :^ a* /i^ == i , on aura

A l'aide de cette ibrmule et des valeurs précédentes^ oh trouvera aisément

2/lM ;flA(04-«»— — (

-f- jw'yj esin(nt-h s — w) + m^f] ^ sin («r + « — «' ) -f- iw' £? 2.GC'> sin[j (/l' ^ — wf A- g' — . e) -f- «^ 4- s — «] H- ///' e' I.HC) si9[i (/l'r — 72^ + «' — «) -h «f -h s — «'],

formule dans laquelle bu fait, pour abréger,

da da}

2 7^ da da^

5io . THÉORIE ANALYTIQUE

et où l'on désigne par G^'^ et H^'^ les mêmes fonctions que ces lettres représentent dans le n® 85 ; le signe intiégral 2 devant d'ailleurs s'étendre; dans cette expression, comme dans celle de — ^ à toutes les valeurs positives et négatives de i, la valeur de / = o exceptée.

92. Les équations qui déterminent âr et &{f renferment quatre constantes arbitraires, savoir, les trois constantes g, y, f' et la constante qui devrait être ajoutée à la valeur de c?i^, et que nous supposons, pour plus de simplicité, égale à zéro ; ces équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles (5). Nous allonsnous occuper de la détermination des constantes arbitraires introduites p^r l'intégration.

Si' l'on ne copsidère que la partie non périodique du raygn vecteur et de la longitude, en joignant aux valeurs précédentes de &r et da âv celles de r et d^, qui dépendent du mouvement elliptique de m, on aifra *

i;+ ài}:=nt-h g — m'a 3g -¥- a—^ — J nty

v-h âv représente la longitude moyenne de la planète au bout du temps t ; elle résulte directement des observations. Si l'on veut donc, comme cela se pratique ordinairement, que cette longitude soit la même dans l'orbite elliptique de la planète et dans l'orbite

DU SYSTEME DU MONDE. Su

qu'elle décrit réellement, celte condition déterminera la constante g; on aura, ainsi

et il en résultera

. m' .dX(')

r -\- ir = a — -^a^ —, — o (la

On voit que, dans l'hypothèse précédente, la distance moyenne de la planète au Soleil, dans l'orbite troublée, n'est phis représentée par a, comme dans l'orbite elliptique. Cette dernière quantité se déduittoujours du moyen mouvement nt par l'équation

— = «^ ; mais il faut la dirriinuer de la quantité -T-d — — - pour avoir la distance moyenne.

95. Nous nous sommes conformé ici à Tusage des astronomes en supposant à la planète m la même longitude moyenne dans son orbite elliptique et dans son orbite troublée. C'est, en effet, ce qu'il y a de plus commede pour la pratique, comme nous Pacvons re- Hiarqué n® 85, parce que la valeur de la constante n se déduit alors immédiatement des observations sans leur faire subir aucune correction. Mais il est aisé de voir que l'on peut déterminer d'une manière quelconque la constante g sails que la position moyenne de la planète en soit altérée.

Supposons, par exemple, que l'on fasse g = o, en désignant par a et n ce que deviennent, dans cette

5i2 THÉORIE ANALYTIQUE

hypothèse, les deux constantes a et n, on aura

r -h &r= a^-^- -ma^-^z — ?

' 2 / da,

et il sera facile, d'après les nouvelles valeurs de a, et Wp qui résulteront de ces équations, de montrer, comme dans le n° 85, qu'elles sont identiques avec les précédentes.

Si l'on s'imposait pour condition que la distance moyenne de la planète au Soleil fiit la même dans l'orbite elliptique et dans l'orbite troublée, on ferait

g ■== — jw! a —-Z — 5 on aurait pour déterminer la constante 7î^, qui convient à ce cas, l'équation *

et l'on démontrerait encore que les valeurs de la dis- ' tance inoyeune et du moyen mouvement qui en résulteraient, coïncideront avec les précédentes. Ce résultat tient évidemment à ce que, n'ayant qu'une seule équation' pour déterminer les deuit constantes n et g^ on peut s'imposer à volonté une seconde concfttiou à laquelle devront satisfaire leurs valeurs. Les paftîës de la distance et de la longitude moyennes, qui appartiennent à l'orbite elliptique et aux perfurbatioûs, se trouveront ainsi différemment divisées; mais leur somme, qui entre seule dans la comparaison de la théorie aux observations, demeurera toujours la même.

DU SYSTÈME DU MONDE. 5j3

Au reste, quelque valeur que Ton suppose à la constante g", comme il n en résultera, par ce qui précède, dans l'expression du grand axe, que des termes constants et, par suite, dans l'expression du moyen mouvement, que des termes proportionnels au temps <, ces deux éléments demeureront inaltérables dans les différents siècles, conformément au théorème du n® 61; mais il n'en serait pas de même si l'on essayait de porter plus loin les approximations. Il en résulterait alors, dans l'expression du grand axe, des termes proportionnels au carré des excentricités et des inclinaisons qui, à raison de la variabilité de ces deux éléments, pourraient produire, dans les expressions du grand axe et du moyen mouvement, des inégalités séculaires très-sensibles, ce qui serait contraire au théorème général établi n° 61 . Mais cette contradiction n'est qu'apparente, et tient simplement à ce que les astronomes et les géomètres ne définissent pas toujours de la même manière le moyen mouvement d'une planète, et de ce que ces mots sont employés souvent dans des acceptions différentes. Les premiers comprennent à la fois, dans le moyen mouvement, tous les termes de la longitude moyenne qui varient avec le temps, et les seconds la partie seulement de cette longitude qui dépend du grand axe de l'orbite, et qui s'en déduit par la troisième loi de Kepler. Or c'est à cette partie seulement de la longitude moyenne que s'applique le théorème du n** 61 sur l'invariabilité des grands axes et des mojens mouvements Aes planètes, tandis que le moyen mouvement, tel que le définissent les astronomes, n'est plus invariable; sa valeur peut changer I. 33

5i4 THÉORIE ANALYTIQUE

dans les différents siècles à raison des termes proportionnels au carré du temps qui résultent de la variation séculaire de Tépoque (n** 7o), et qui correspondent aux termes de même espèce qu'introduit, comme on vient de le dire, dans la seconde approximation, l'intégration directe des formules du mouvement troublé dans l'expression de la longitude vraie.

C'est dans ce sens que l'on doit entendre les mots d'accélération du moyen mouvement lunaire, locution vicieuse souvent employée, mal à propos, pour désigner la variation séculaire de là longitude moyenne de notre satellite, puisque le grand axe et le moyen moui^emefit de la Lune sont rigoureusement invariables, comme ceux de tous les autres corps du système planétaire.

94. Il nous reste maintenant à déterminer les constantes y et /', ou, ce qui revient au même, les constantes y, et y^. Ce qu'il y a de plus simple à cet égard, c'est d'en disposer de manière que les termes qui dépendent de sin («^ -f- g — w) et sin^nt + s — w') disparaissent dans la valeur de 9\^] en sorte que l'équation du centre soit tout entière comprise dans la valeur de 9. On aura ainsi /' = o et J[ = o^ et l'on en conclura

J = -|-ûA^*^ a^—z a^ . , •

•^ 2 L2 n da da} J

Les valeurs de — et de è\^ deviendront donc.

DU SYSTÈME DU MONDE. 5a 5

enfin,

i 2.C'' ) cos j (/l' f — /?^ -h c' — s)

a 6 da . 1

+ /w'/ccos(w/+e— w)-f-w'/'e' cos(/?^-he^w')

-H m'cî.DO cos[/ (/î'r— /?/+e'— e)H-/ir-+-«— «] 1

-H wV 2.E(0 cos[/ (/!'/-- «r-t-ê'— e)-f-«f 4-e— w'], } ( A )

^v = — 2.F(') sin / (n't — «^ -j- «' — g)

les lettres O'^ D^'^ E^'^ F(^>, G^'\ H^'> ayant ici la même signification que dans le u? 84, et le signe intégral 2 devant embrasser toutes les valeurs entières positives et négatives , de /, la seule valeur / = o exceptée.

95. Considérons maintenant les inégalités de la latitude. Reprenons Téquation différentielle (7). Si Ton néglige le produit des excentricités par les inclinaisons des orbites, elle devient •

En prenant pour plan fixe celui de Torbite primitive de 7w, et en désignant par y Tinclinaison de Torbite de m' sur la première orbite et par fl la longitude de son nœud ascendant, on a (li*^ 81)

i représentant un nombre entier quelconque, y compris zéro.

5l6 théorie analytique

L'équation (9), en y substituant cette valeur, devient

__ + nySs 4- ^7Sin(/i'f + e'- n) m'

«'y 2,B('-0sin[i(/i'/— /î^-^-e'— £)+/2f-4-«— n]=ro;

d'où, en intégrant et en observant que a^ n' = i , on tire

2 a rO — \i\n — n)-\-nY I

le nombre / devant s'étendre à toutes les valeurs entières positives et négatives de /, la seule valeur 1 = 0 exceptée, parce que les termes qui en résulteraient seraient compris dans ceux qui dépendent des constantes que l'intégration ajoute à Téquation (B).

La valeur précédente de e?^ est conforme à celle à laquelle nous sommes* parvenus par une autre voie, n® 86. Nous n'avons point eu égard aux constantes arbitraires que l'intégration introduit dans cette valeur, ou dû moins nous les avons supposées nulles, ce qui est plus commode pour la pratique. Cette hypothèse n'altère en rien l'exactitude de la formule (B). En effet, si l'on rapporte, comme on le fait ordinairement, le mouvement de m à un plan très-peu incliné à celui de son orbite primitive, qu'on désigne, comme dans le n^ 86, par (^), la latitude de m relative au mouvement elliptique, tous les termes qui ont pour argument la longitude moyenne //jf -h 6 — U, se trou-

-veroDt renfermés dans {s\ d'après notre hypothèse; mais de quelque manière que Ton détermine les constantes arbitraires qui entrent dans âsj la quantité {s) + âsj calculée par les Tables, exprimera toujours la latitude de m au-dessus du plan fixe.

Les trois formules (A) et (B) sont celles dont on £ait ordinairement usage pour calculer les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude dans Torbite troublée ; en les réduisant en nombres et en les ajoutant aux parties de ces valeurs qui dépendent du mouvement elliptique, on pourra en former des Tables qui donneront à chaque instant la position dans l'espace des différents corps du système solaire.

96. La méthode par laquelle nous venons de déterminer, au moyen des équations différentielles du mouvement troublé, les perturbations planétaires dépendantes de la première puissance des excentricités et des inclinaisons, suffit pour montrer comment, par des approximations successives, et en employant à chaque approximation nouvelle les valeurs du rayon vecteur et de la latitude qui résultent des approximations précédentes, on peut calculer les inégalités de ces deux quantités dépendantes d'une puissance quelconque des excentricités et des inclinaisons, et arriver ainsi à déterminer leurs valeurs aussi exactement qu'on voudra.

Lorsqu'on ne porte l'approximation que jusqu'aux termes de Tordre des excentricités et des inclinai-

5i8 THÉORIE ANALYTIQUE

sons, ce procédé est, comme nous l'avons dit, le plus simple que Ton puisse employer pour déterminer les inégalités périodiques des mouvements des planètes ; mais quand on veut étendre les approximations aux inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, les opérations analytiques se compliquent de plus en plus, et elles deviendraient bieptôt impraticables (n**87) si Ton voulait calculer rigoureusement toutes ces inégalités. Heureusement, la détermination de celles qui dépendent de la première puissance des excentricités et des inclinaisons, suffît en général pour les planètes, et lorsqu'il devient indispensable d'avoir égard aux inégalités d'un ordre supérieur, les considérations mêmes qui obligent d'en tenir compte, servent à faciliter leur calcul. Ces inégalités, en efSfet, ne deviennent sensibles que par les petits diviseurs, dépendants dès rapports qui existent entre les moyens mouvements des différents corps du système, que l'intégration leur fait acquérir; on peut donc prévoir aisément la circonstance qui rendra sensibles quelques-uns des termes de ces inégalités, et se borner à les calculer, en négligeant tous les autres.

Considérons, par exemple, dans R un terme quelconque de la forme

Mcos[/(w'/~n^ -h £'— ê) -h i'nt'-\- K],

i et i' représentant des nombres entiers quelconques et K une quantité constante, fonction des éléments des orbites de m et m'.

Il en résultera dans — ;- le terme suivant :

r = „2 T' f\f 'f M 1, cos[z «'^ — «/ -+. e' — g) + 1' /ïf -f- K]

Le dénominateur de cette expression peut se mettre sous la forme

et l'inégalité qui précède pourra acquérir une valeur sensible, si l'un de ces deux facteurs est peu considérable.

Il suffira donc de calculer les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude qui ont l'une des deux quantités précédentes pour diviseur; on peut d'ailleurs, dans ce cas, employer avec avantage la méthode de la variation des constantes arbitraires. En effet, il suffît de considérer dans R les termes dépendants de l'argument auquel on veut avoir égard, et au moyen des formules du n^ 42, on aui*a immédiatement les inégalités correspondantes de chacun des éléments de l'orbite elliptique; en les substituant ensuite dans les formules de ce mouvement, on aura, de la manière la plus simple, toutes les inégalités du mouvement de la planète qui peuvent devenir considérables. •

La plus grande difficulté de la détermination des perturbations planétaires, de l'ordre du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, consiste donc dans le dévelpppement de la fonction perturbatrice R. Mais plusieurs géomètres zé-

5ao THÉORIE ANALYTIQUE

lés se sont déjà occupés de cette recherche. M. Burckhardt a poussé ce développement jusqu'aux ternies du sixième ordre; et M. Binet, dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences en 18 r a, mais qui malheureusement n'a pas été imprimé, a donné la préparation des quantités nécessaires pour le porter jusqu'au septième. Le travail de Burckhardt, comme il rannonce lui-même dans le préambule de son Mémoire (*), laissait beaucoup à désirer sous le rapport de la correction; nous Tavons donc repris de nouveau avec tout le soin qu'exigeait son importance, nous l'avons étendu et corrigé, et l'on trouvera, dans le livre VI de cet ouvrage, l'expression complète et exacte de la fonction perturbatrice, développée jusqu'aux quantités du sixième ordre par rapport aux puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons. Cette approximation est plus que suffisante pour toutes les recherches que peut présenter la détermination théorique du mouvement des centres de gravité des corps célestes.

(*) Mémoires de l'Institut^ année 1808.