X-= / J dx-^ —/(b,(x)^—/{a,ai
doL J^ da da da
II suit de là que lorsque les limites a et é de l'intégrale
b f(xy a) dx seront des quantités indépendantes de a, pour avoir
le coefficient différentiel de cette fonction par rapport à a, il suffira de différentier sous le signe f la fonction f{xy a) par rapport à a. Dans le cas contraire, on ajoutera à ce résultat, ainsi obtenu, la partie de la variation de ce coefficient qui dépend de la variation des limites.
Si la quantité par rapport à laquelle on veut avoir le coefficient différentiel de V, était l'une des deux limites b eia qu'on suppose
indépendantes Tune de Tautre et n'entrant pas dans /(x, a), on aurait simplement :
Les remarques précédentes s'étendront aux intégrales multiples dont les coefficients différentiels, relatifs à une quantité regardée d'abord comme constante, s'obtiendront en différentiant sous le signe intégral et en ajoutant au résultat les termes provenant de la variation des limites^ lorsque ces limites dépendront d'une manière quelconque de cette quantité.
NOTE IV (pagea66).
Sur le développement en séries des formules du moux^ement elliptique,
La théorie du mouvement dans TelHpse nous a conduit, n"* 22, livre II , aux trois formules suivantes :
/2f = w — e sin « , r=:«(i — ecosu),
lang-P=y/— — Ung-ie,
dans lesqoelles nt représente la longitude moyenne de la pla> ncte, 9 sa longitude vraie, r son rayon vecteur, u l'anomalie excentrique, a la demi-grand axe de l'orbite et e l'excentricité.
Nous avons employé pour développer ces formules par rapport à l'excentricité e , supposée très-petite , la formule connue sous le nom àe série de Lagrange, et nous en avons déduit les expressions des trois varîables ic , r et p en fonction de la longitude moyenne nt. Mais on peut obtenir ces mêmes expressions par une autre méthode, qui est d'un usage utile dans un grand nombre de questions de physique et de mécanique , et qui a l'avantage d'être indépendante de la grandeur de l'excentricité <?, en sorte
5a8 TBÉORIE ANALYTIQUE
qu'elle peut s^appliquer aux anciennes planètes comme à celles «l'une* découverte plus récente.
Représentons, pour abréger, par or la longitude moyenne /if /et supposons les trois variables u, ret p développées en séries périodiques des sinus et cosinus de Tangle x et de ses multiples, en sorte que l'on ait u — ;r = A| sin;r + A,sÎQ2x-f- A3 sinSx +. . ., \
r = B, -4-B, cosj?-f- Bjcosax-h BaCOsSxH-.. ., > (2),
^ — j? = C| sina?-4*C,sin2x-+-C, sinSo: -i- ;
Dans ces séries A| , A, , . . . , B, , B, , . • . , Ci , C2, etc., représentent des coefficients indéterminés indépendants de l'angle a?, et qu'on pourra exprimer au moyen d'intégrales dé&nies de la manière suivante.
On observera d'abord que i et 1' désignant deux nombres entiers quelconques, et it la demi-circonférence dont le diamètre est l'unité, on a généralement
Jr»w /»7r
' cosixcosi'xdxz^Oj I siDixsini'x^a? = o, O ft/o
pour le cas où / et /' sont deux nombres différents l'un de l'autre, et
I cos'rj:</^ = -îr, / sin*/></a: = -7r, o ^ Jo 2 •
pour le cas où l'on suppose «= i\
Enfin, si l>Dn suppose / = o dans ces deux dernièses formules, la première sera égale à tt et la seconde à zéro.
Celapo6é,sî l'on multiplie respectivement les trois formules (2), la première et la dernière par sinijfdx^ la seconde par cos/>rfjr, et qu'on intègre les équations résultantes, en vérin des relations précédentes , on aura
A«==- I (« — xjsinixdxj
B| = - î rcosixdxy ^ (3)
Cj = - / (p — or) sin ix dx ,
DU SYSTEME DU MONDE. 52a
i étant un nombre entier quelconque; pour le cas particulier, où Ton suppose / r= o, on a«ra
On pourra, au moyen de ces formules, calculer les valeurs des coefficients A,-, B/, C,- soit par la méthode des quadratures mécaniques lorsque l'excentricité e est supposée d'une grandeur quelconque , soit par des développements ordonnés par rapport aux puissances ascendantes de cette quantité lorsqu'elle est supposée très-petite, comme cela alieu^pour les planètes principales.
Pour rendre ce calcul plus facile, il convient de substituer dans les formules précédentes à la variable ^ et à sa différentielle dx les angles u et du. La première des équations (i), en la différentiant et en observant que dœ = ndt^ donne
r/jF = ( ï — e cos u ) du.
Les deux premières formules ( 3), en y substituant cette valeur, ainsi que celles de a:jet de r, tirées des équations (i), et en observant que les limites x = o et a; = tt répondent aux limites u-=.o et w = TT, deviennent
'^ Jo
rftt ( I — e cos u) sin u sin i {u — csinu),
B,- = — I du(i — e cosMJ* cosi {u — ^ sin «),
ou bien, en intégrant par parties et observant que Ton a sin u = q et sin< ( i« — ^ sina) = o, aux limites de l'intégrale,
Ai= - — I du cos u cos i{u — e sin u) , 1 '^ Jo I
:tae n ^ . . ., .1
B, = : — I du sm u smi (u — c sinu). \
'^ Jo ^ ' /
53o THÉORIE ANALYTIQUE
Dans le cas particulier de / = o, on a
Bo = - j fiii(i-^ ecosuy=a li-{-^eA-
La valeur de Bo est alors donnée sous forme finie, mais c'est la seule des valeurs des coefficients des trois séries (2) qui puisse s'exprimer de cette manière.
On peut donner aux formules précédentes une forme encore plus simple ; en effet , la valeur de A, peut s'écrire ainsi :
''^ Jo
ffa oos / ( Il — e sin u )
du[\ — e cos u ) cos/ [u — e sin a).
La seconde de ces intégrales est égale à — sin<(/£ — esmu)^
.quantité toujours nulle aux limités w = o et « = tt , puisque Ton suppose / un nombre entier différent de zéro , on aura donc simplement
du cos / ( M — <? sin <^ ).
Quant à la valeur de B,, elle est liée à celle de A, par une relation très-simple. En effet, si Ton différenlie par rapport à e la valeur précédente, on aura
de '
: — I dusinusini (u — tfsinw)..
En comi)arant cette expression à la deuxième des formules (4), on trouve
pour toutes les valeurs de / différentes de zéro.
On aura immédiatement, au moyen de cette équation , la valeur de Bt du rftoment que celle de A, sera connue.
La troisième des équations (3), en rintégranl par parties et en observant que v = nt=^x aux deux limites de Tintégrale, donne
La troisième dqs formules (i), en la différentiant, donne d'ailleurs
av= — ' î
•I — e cosM
et, par conséquent,
dv v^i — e^
dx (i — e cosa)'
En substituant cette valeur, ainsi que celle de dx et de cos/\r, dans Texpression de C,, et en observant que l'intégrale /cos /a: </j: est nulle aux deux limites ^ = o et j; = tt pour toutes les valeurs de I différentes de zéro, on trouve
\/i — €?' r '^ du cos i (u — esuiu)
I — e cos u
Les coefficients A,-, B,, C< sont ainsi exprimés sous une forme très-commode pour le calcul, soit qu'on veuille les déterminer par des quadratures mécaniques ou par la méthode des séries. Il ne s'agira plus , dans ce dernier cas , que de développer les formules précédentes en suites ordonnées par rapport aux puissances de Texcentricité e, après qu'on les aura disposées de manière que les différents termes de ces séries puissent être aisément ramenés à des intégrales que Ton sache obtenir par les formules connues.
La méthode précédente peut s'appliquer encore à un grand nombre de questions du système du monde, et Ton pourra l'employer avec avantage toutes les fois qu'on aura à développer une fonction donnée en série dont la forme est connue d'avance. Ainsi, par exemple, dans la théorie des perturbations planétaires, où Ton a, comme nous l'avons vu n*" 49, livre II, à déve
lopper une fonction de celte forme (i — 2 a cos^ + a')~* en série ordonnée suivant les cosinus de Tangle ^ et de ses multiples , on posera
r- = - h^'^ ^i'^COS© 4- /^^''cOS2y. .
(ï — 2 a COSÇ -h CL^f 2 * ' ^ ' ' \ ,n\
et l'on pourra^ en lui appliquant l'analyse précédente , exprimer chacun des coefficients indéterminés ^^ , ^^'\ etc., d'une manière très-simple au moyen d'une intégrale définie. En effet , si Ton multiplie par cos/7^7 ^^^ deux membres de cette équation , et qu*on intègre l'équation résultante depuis f =0 jusqu'à ^=2 w,
J/»27r I dr^ COS / 9 COS « ' (p=r O,
o toutes les fois que i est un nombre entier différent de /', en effec ♦ tuant les intégrations indiquées, on trouvera généralement
^^0 il p^ f/ycos/y
' '^ Jç) (I — 2acosy-f- a').
En faisant successivement / = o, / = i, / = 2, etc., dans celte expression, on aura les valeufs des divers coefficients h^\ ^^ ,
A^'\ etc., exprimés de la même manière. C'est par ce moyen que
d'Alembert, Clairaut et les premiers géomètres qui s'occupèrent de la théorie des perturbations planétaires, déterminèrent les valeurs numériques des deux premiers coefficients de la série (6), que Ton a trouvé ensuite le moyen de calculer d'une manière plus expéditive par les développements en suites récurrentes (n®8l, livre II).
Enfin, en étendant à des fonctions de deux variables le même procédé , on détermine par des intégrales doubles les coefficients des différents termes de la fonction perturbatrice R développée en série de cosinus des moyens mouvements de la planète troublée et de la planète perUirbalrire, et de leurs multiples, et l'on
peut obtenir les Valeurs de ces coefficients par les méthodes du calcul intégral avec plus d'exactitude que l'on n'en doit'espérer de la méthode ordinaire des développements en suites ordonnées par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, moyen d'ailleurs qui devient insuffisant lorsque les valeurs des excentricités et des inclinaisons ne sont plus renfermées dans des limites assez étroîtea, comme dans le cas des nouvelles planètes , pour assurer la convergence des séries {*).
L'étendue' de cette Note nous force à supprimer l'application que nous nous proposions de donner ici des formules précédentes à la détermination analytique des trois coefficients généraux A/, B, , C,- en suites ordonnées par rapport aux puissances de l'excentricité e, et à montrer, par la comparaison des résultats avec les expressions obtenues n®24, livre II , le parfait accord des deux méthodes; nous renverrons donc pour les détails de ce calcul à un Mémoire très-intéressant de M. Poisson , inséré dans la Connaissance des Temps pour 1829.
NOTE V (page3o6).
Sur le mou^^ement d*un point matériel attiré vers un centre fixe.
Le défaut d'espace nous oblige à supprimer la Note que nous avions préparée sur cet objet; nous renverrons à un Mémoire de IVi. Plana, sur le même sujet, inséré dans le tome VIII de la Co/- /r^/?o/i</^7/?ré? Quetelet, et où toutes les difficultés que peiit présenter le mouvement d'un point matériel attiré vers un centre ^ML^y autour ducjnel il oscille, ont été longuement discutées et habilement aplanies.
(*) On trouvera de plus amples dcveloppemeuls sur ce sujet, n» 18, livre VI.
NOTE VI (page 466).
Sur le plan im^an'abfc du système planétaire.
Pions avons développé , d^ins le n^ 79 du second livre, la théorie du pian invariable: nous avons démontré que ce plan pouvait être regardé comme fixe, même lorsqu'on avait égard dans sa détermination au carré des forces perturbatrices ; mais nous avons présenté en même temps des observations tendantes à restreindre Futilité pratique dont ce plan peut être pour les besoins futurs de l'astronomie. Nous avons montré que pour qu'il pût sei*vir, comme l'espérait l'illustre géomètre auquel on en dpit la découverte, à déterminer exactement les changements survenus par la suite des siècles dans les positions des orbes planétaires, et dans celles des étoiles mêmes que nous appelons iixes , il faudrait connaître également une ligne fixe d'où Ton pût compter les longitudes des nœuds des orbites planétaires sur ce plan , en même temps qu'on mesure leurs mutuelles inclinaisons , puisque ces deux éléments sont nécessaires pour Oxer d'une manière certaine leur position dans l'espace. M. Ppisson avait proposé de choisir pour cette ligne la droite que décrit par son mouvement rectiligne le centre de gravité du système solaire et qui semble se diriger vers Tétoile a de la constellation d^Hercule , mais cette ligne est encore trop imparfaitement connue pour que cette idée ingénieuse puisse être réalisée avant un grand nombre de siècles, et la théorie du plan invariable , par conséquent , doit être regardée comme un beau résultat d^analyse, mais jusqu'ici de peu d'utilité pour la pratique.
Telle est donc l'idée précise que Ton peut se faire de ce plan dont l'introduction dans la théorie du Système du Monde est due à Laplace: ses avantages pratiques sont contestables, mais sa détermination analytique est exacte et sa découverte fait honneur au génie inventif de son auteur. Cependant un géomètre distingué, M. Poinsot, membre de l'Institut et du Bureau des Longitudes, a cru pouvoir élever quelques doutes sur l'exactitude même de la détermination analytique de ce plan telle que nous l'avons présentée, dans le n? 79 du livre II, d'après les idées de Laplace et en
portant l'approximatioD jusqu'aux quantités du second ordre. II a prétendu qu'une partie des quantités qui doivent concourir à \a. détermination du plan invariable , telles que celles qui résultent des aires engendrées par la rotation du Soleil et des principales planètes autour de leur centre de gravité , avaient été omises dans l'analyse de Laplace , et que leur existence même avait échappé à Tesprit clairvoyant de ce grand géomètre. Ces observations , qui d^ailleurs ne sont appuyées sur aucun calcul numérique qui seul ppurrait leur donner quelque valeur, ne supportent point un examen sérieux. En effet, si des variations appréciables, dues aux causes que nous venons de mentionner, pouvaient exister dans la position du plan invariable , c'est aux équations mêmes du mouvement de translation des corps célestes qu'il faudrait recourir pour les déterminer. Nous avons montré , dans le n° 10 du livre cité , que les circonstances inhérentes à la constitution de notre système planétaire , autorisent à négliger dans ce mouvement tous les termes provenant de la figure non sphérique du Soleil et des planètes^ c'est ce qu'a fait Laplace, c'est ^e qu*ont fait tous les géomètres qui Font précédé ; bien plus , nous nous sommes assuré par un calcul direct que ces termes étaient en effet insensibles, et nous ferons voir, n° 81$, livre YI, que la. stabilité du système du monde n'en pourrait être altérée. S'il en était autrement, nous en serions avertis par l'observation, et ce ne seraient pas alors les changements peu importants du plan invariable , qu'il nous faudrait considérer d'abord , ce seraient les inégalités nouvelles que nous apercevrions dans les mouvements planétaires ainsi que dans les expressions de leurs excentricités et des quantités qui fixent la position de leurs orbites. Pour les déterminer, il suffirait d'introduire dans le développement de la fonction perturbatrice les termes dus a la non-sphéricité des planètes et du Soleil. On arriverait ainsi de la manière la plus simple aux formules d'où dépend la position du plan invariable dans ce nouveau système [*). Leur réduction en nombres ne serait pas aussi facile , il est vrai , parce qu'elle dépendrait des trois moments d'inertie du Soleil , qui nous
(*) Yores Livre VI, chapitre IX.
sont totalèmeot inconnus; mais heureusement ces quantités sont inutiles à considérer, parce qu'elles n'ajouteraient aux équa> tions (K) du n°79, que des termes absolument insensibles. Il en est donc de la ihéorie du plan inçariable comme de la plupart des questions de la Mécanique céleste , on ne doit pas entendre ces mots dans un sens trop absolu , mais admettre seulement que le plan invariable , tel que nous Tavons défini n® 79» livre II , ne diffère du plan qui serait rigoureusement invariable dans un système quelconque de corps soumis à leurs actions mutuelles» que de quantités tout à fait insensibles et que la constitution du système solaire nous permet de négliger» de même que Ton dit que les pôles terrestres sont invariables à la surface du globe, parla raison que l'on s'est assuré que si leur position subit quelques variations» elles seront, dans tous les temps» inappréciables aux observations les plus précises. Le plan invariable ^ dont nous devons la découverte à Laplace, en supposant sa théorie complétée comme nousTavons dit plus haut» suffira donc à nos besoins; l'invariabilité de ce dernier plan consiste en ce que » à toutes les époques » dans les siècles les plus reculés » les astronomes le retrouveront à la même place que nous lui assignons aujourd'hui. Il leur suffira, {jour déterminer sa position relativement à un plan quelconque mené arbitrairement par le centre du Soleil » de reconnaître par l'observation les masses des planètes, les grands axes et les excentricités de leurs orbites , ainsi que les inclinaisons et les longitudes des nœuds de ces orbites rapportées au même plan. Dans Tétat actuel du système solaire, deux causes peuvent seules faire éprouver à ce plan des dérangements sensibles. La première serait le cas où quelque planète , jusqu'ici inconnue, ou bien les comètes dont nous n'avons pas considéré l'action, influeraient d'une manière appréciable sur sa position; la seconde, le cas oii, par quelque grande catastrophe de la nature, quelqu'une des plus grosses planètes serait tout à coup anéantie, et cesserait de participer, par son action , au mouvement général du svstcnie.
NOTE VII (pkge3i4).
Sur la théorie de la ^variation des constantes arbitraires.
Euler, le grand analyste, avait imaginé le premier cet ingénieux artifice de calcul y qui consiste à faire varier les constantes arbitraires introduites par l'intégration d'un nombre quelconque d'équations différentielles , pour étendre les intégrales à des termes supposés très-petits par rapport aux autres et que Ton n'avait pas considérés dans une première approximation. Laplace et Lagrange, en appliquant ce procédé au mouvement troublé àei . planètes autour du Soleil , étaient parvenus ensuite à donner aux variations des éléments de l'orbite elliptique une forme particulière , trés-propré à faciliter le calcul des diverses inégalités tant périodiques i\\xe séculaires . Lagrange, toujours porté à généraliser' les méthodes , couronna sa carrière scientifique en étendant au mouvement d'un système de corps , liés entre eux d'une manière quelconque, les mêmes formules qu'il avait trouvées pour le mouvement d'un point libre, et en établissant ainsi entre tous les pro-. blêmes de la Mécanique une corrélation qui les unit entre eux. U est curieux de voir par quels moyens très-simples il parvint à cette découverte , l'une des plus belles et des plus utiles qu'on ait faites dans l'analyse.
I. En conservant toutes les notations du «° 13, livre II, les trois équations différentielles du mouvement d'un système de corps , réagissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, prendront cette forme :
ds d\J dil du dV dCl d^ î^ — ^ / \ Jt"^ d^~d^' dt'^d^'^d^^ 7t'~d9'^dÔ'^^^
Soient a , bjC^f^g, A les six constantes arbitraires qui entrent dans les intégrales de ces équations obtenues en faisant abstraction de leurs seconds membres. Si l'on désigne généralement par la caractéristique 5 , placée devant une quantité , sa variation différentielle duc «Via variation des constantes arbitraires que son ex-
pression renferme, d'après les principes de la théorie de la varia tion des constantes arbitraires, qui permet desMmposer, outre les conditions du problème, celle que les coordonnées y, \j/, 9, et leurs premières différences conservent les mêmes valeui^ dans le mouvement troublé et dans celui qui aurait lieu sans Taction des forces perturbatrices, on aura entre les quantités ^, \p, d, j, «, p les six équations suivantes :
da ^ ^ da ^ , da , \ {^)
df d"^ dO I
Ces équations, en y substituant pour S(f, S^y 59, Ss^ Su et di* leurs valeurs, suffisent pour déterminer les variations différentielles des six constantes a^byC^ etc.; mais les procédés ordinaires de l'élimination conduisant à des formules trop compliquées pour être d'aucun usage, on les en déduit d'une manière indirecte mais très-simple par les considérations suivantes.
La fonction perturbatrice II étant supposée une fonction donnée des trois variables f, i|/, 9, si à la place de ces quantités, on substitue leurs valeurs en fonction du temps t et des constantes a^ ^y ^y/y gy ^ introduites par l'intégration; et qu'ensuite on différentie par rapport à l'une d'elles , par rapport à la constante a par exemple , l'expression résultante, on aura
d£i ^ ldQ,\ dff
dù.\df^ ldO\djf^ l^\±^, T^jlÛi'^ \d^) da "^ \d^jda'
équation qui , en vertu des formules (2), peut s'écrire ainsi :
/da'x , dfo . d^ . r/9 ■ ds ^« dv
\da ) da da da da ^ da da
on aurait des formules semblables pour chacune des constante^ arbitraires h^ c^ f^ g^ h.
Si dans l'expression précédente on substitue pour 3. ç, 5m, etc., leurs valeurs on observant que 5, 11 , v^ tp, if, 0 étant supposés des fonctions du temps t vi des c<mstantes « , b^c^f^ g, //, on a gêné-
ralement :
-, ds , ds ,. ds , ds ,^ ds , ds ,,
et ainsi des autres ; que , pour abréger, on fasse^
P , , dff ds dff ds d-^ du d-^ du 1
^^' ^^didb'^dbd^'^d^db'^dbdii
d9 dp d9 dv
da dh dh da
et qu'on représente généralement par le symbole [ /, /] une combinaison des deux constantes / et A-, formée de la même manière , notation suivant laquelle on aura
on trouvera
^ dt=\a, h\ rfé+[«, c\ dc^\a, f\ df^ [«, s\ dg^\a, K\ dh. {Ê, )
On formerait des équations semblables relativement, à chacune des constantes h^ c^fy gy h, et Ton en déduirait ensuite, par l'élimination, les valeurs des variations différentielles da, dby etc., exprimées en fonction des différences partielles de la fonction a prises par rapport à ces mêmes constantes.
C'est de cette manière que Lagrange a le premier présenté la nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires dans les problèmes do Mécanique. Ses formules sont, comme on voit, inverses de celles auxquelles nous sommes parvenu dans le n° 18 du livre II , et qui donnent directement l'expression des variations différentielles de chacune des constantes arbitraires du problème, sans que l'on soit obligé de recourir à aucune élimination pour les obtenir. Mais outre que cette élimination n'offre par ellemême aucune difficulté dans la pratique , les formules de Lagrange permettent de démontrer d'une manière très-simple Timportanle projiriété qui rend ce procédé d'analyse si utile dans la théorie des inégalités planétaires.
54o THÉORIE ANALYTIQUE
On sait, en efTet, que son principal avantage consiste en ce que les variations différentielles des constantes arbitraires sont exprimées en fonction des différences partielles de la fonction perturbatrice prises par rapport à ces mêmes constantes et multipliées par des coefficients indépendants tlu temps. Pçur vérifier ce résultat, il suffit de démontrer que chacune des quantités [a, b], [a y c]y etc., est en effet une constante absolue, ou une fonction des arbitraires a, b^ c, etc., qui ne renferme pas explicitement le temps t.
Or la quantité que nous avons représentée par U, étant tCne fonction connue des six variables y, Np, 0, 9', i|^', 0', si on la différentie par rapport à la constante a introduite par la substitution des valeurs de ces quantités , on aura
da'^Xdtf) da"^ \e/>p ) da'^XdBJ d^
■^ \d<f') da "^ \d^') da "*" \dB') da'
En observant que nous avons supposé^ n® 15, livre If ,
dV dV dl]
'=^' '' = d^[ '=dB''
et que les équations (i), en faisant abstraction de leurs seconds membres, donnent
ds^j^dt, du=-dt, d.= -dt,
celte formule peut s'écrire ainsi :
(W^(hdrf du dj^ du dB d^' d-^' r/ô'
da dt da de da dt da da da da '
on trouverait de même par rapport à la constante ^,
d\^__ds(l^ du dj^ di^ dQ dff' d^' dO'
'Tîb'^deTlb'^dt db^Jt'db'^^~db^"''db'^'' db"
Cela posé, si Ton différentic la première do ces valeurs par rap-
port ù la constante by et qu'on en retranche la seconde différentiée par rapport à la constante.- a, en effaçant les termes qui se détruisent mutuellement dans le résultat, et en observant que Ton a
^^U rfMLJ
dn db db da
on trouvera la formule suivante :
. \ds d(f ds dif du d-^ du d-^ dv ciQ du dQ {db dâ^dâTîb db dâ "^Tiâdi '^ Hb^'^dâdb
On aura donc , en intégrant ,
ds d^ . dx d(f du d-^ du d-^ dv d$ dv dB db da da db db da da db db da da db
Or le premier membre de cette équation est précisément la valeur de la quantité que nous avons représentée par le symbole [a, b]; cette quantité est donc une fonction indépendante du temps f , ce qu'il s'agissait de démontrer.
II est facile de conclure de là que Félimination n'introduira que des coefficients pareillement indépendants du temps dans les valeurs des variations différentielles des constantes arbitraires , exprimées en fonction des différences partielles de la fonction perturbatrice , prises par rapport à ces mêmes constantes.
Nous étions déjà parvenu à cet important résultat dans le n® 17 du livre II , mais la démonstration directe de cette proposition exige une analyse compliquée et très- délicate. C'est par cette raisoDy sans doute , que Lagrange^ pour bien faire ressortir le principe fondamental de sa nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires, avait préféré une route détournée à celle qui devait le conduire plus directement, mais d'une manière plus pénible, au but qu'il se proposait d'atteindre.
Les quantités [a, b], [a, c], etc., qui entrent dans les formules précédentes , ont avec celles que nous avoiis désignées par les symboles (a, b), {a, c), etc., dans le n® 18 du livre II, la plus grande analogie, mais leurs valeurs sont, pour ainsi dire, ren-
versées. Les premières supposent les variables exprimées en fonction du temps t et des constantes introduites par rintégration , ce qui est, en effet, le but final de tous les problèmes de mécanique, mais ce qu'on ne pourrait obtenir le plus souvent sous forme finie que par des éliminations très - compliquées et quelquefois même impraticables à cause des fonctions transcendantes introduites par l'analyse'. Les secondes, au contraire , supposent les constantes exprimées en fonction des variables du problême et de leurs différences premières , ce qu'on obtient aisément dans les deux principales questions du système du monde : celles des mouvements de translation et de rotation des corps célestes. Les formules directes du n" 18, livre II, semblent donc encore sous ce rapport avoir de l'avantage sur celles de Lagrange; mais il est bon d'avoir des formules applicables aux différents cas qui peuvent se présenter : c'est ensuite aux géomètres à choisir entre elles, selon les circonstances.
fi. Pour montrer l'usage des formules précédentes, faisons^n d'abord l'application au mouvement de translation d'une planète/» troublé par l'action de la planète m\ Si l'on désigne par .r, y, z, les coordonnées de m. dans son orbite elliptique, rapportées à trois axes rectangulaires passant par le centre du soleil, on pourra supposer .r, Xy z exprimés en fonction du temps t et des six constantes introduites par l'intégration des formules du mouvement elliptique.
On peut prendre, dans ce cas, les trois coordonnées rectangulaires X, jTy ^ pour les variables indépendantes du problème, et
en supposant x'= — ,^'= -7-93' = — , la formule générale {3}
deviendra
, - dx da/ dx dx' dy dy
^^' ^"'di'db^dbTa'^d^'db
dj^dy dz^dz!^__dz^d^
db da da dh dh da
Cela posé, si l'on désigne par u \* anomalie excentrique de la planète, par /!/ + ^ sa longitude moyenne au bout du temps /, par e l'excentricité de l'orbite et par a le demi-grand axe, lié à la
constante « p*ar l'cquation n= a % on aura par les formules du
mouveraent dans Tellipse ,
nt-\'C = u — e sin u.
Si l'on désigne ensuite par X et Y les -deux coordonnés rectangulaires dem , rapportées au plan et au grand axe de son orbite , Torigine étant au foyer de la courbe, on aura (n° 31, livre II)
X = S cos u — aey Y = « yf i — e^ sinu.
Désignons maintenant par g Tangle que le grand axe de Forbite fait avec la ligne d'intersection du plan de cette orbite et du plan fixe des a:j, pair a l'angle compris entre cette intersection et une droite fixe que nous prendrons pour l'axe desar, et par <p l'inclinaison mutuelle des deux plans ^ par les règles ordinaires de la transformation des coordonnées, on aura (n° 51, livre II)
x= (Xcosg' — Ysin^»') cosu— (Xsin^-h Ycos^) costp sina, y = (Xcos^ — Y sin g) sina H- (Xsing.4- Ycosg') cosç cosa, z = (X sing H- Y cosg') sinç.
Ces valeurs sont sous une forme très-commode pour l'usage de la formule (5), parce que les constantes s'y trouvent séparées en deux groupes ; les variables X et Y ne renfermant que les constantes a, e^ c qui dépendent de la forme de l'orbite et de la position de la planète sur cette courbe à un instant donné et étant indépendantes des trois constantes g, a, (^ qui fixent la position dii grand axe et du plan de l'orbite.
A l'aide de ces valeurs et de leurs différentielles substituées dans la formule ( 5 ), on formera celles des quinze symboles [a, c], [« , e] , etc. , et par un calcul facile , on trouvera les valeurs suivantes :
ri ^^ r 1 \/a(l— >) j. -, ae
r T cosaJaii — èM - . . aecosff
f<p,a] = sin<p v/<af(i^e').
Les valeurs des neuf autres symboles [a y e], [a, ç], [e^ c], [e, a], [f, (p], [c, a], [a, g], [r, g], [<j>, g] sont égales à zéro.
On substituera ces valeurs dans la formule générale (2) , et en y faisant R = n , on trouvera
\da I 1 ' 2a "^ -20
\de) v/fl(i-^') ^•" y/rt(i~^j.
/rfR\ ^ an ,
— -p== a^ — sin(p V«(i — e^)d(ff
>Ja[\ — e^)
= sin (|p \[a[i — é*) da.\
(rfj
d'où, par une élimination facile, et en observant qu'on a «^ /i*=: i , on tire
da=: ^a^ndt i— U
îdt^ i-^eWdKX andt
\d^ / sin? si i—e^ \ ^? /
sincp v^
^ andtcos^ (dl^\ andt /dh\
sin <p si \ —e-" \dg } sin 9 y/ j — g» \ ^« /
formules qui seront identiques avec celles du n° 41, livre H, lorsqu'on y aura introduit à la place des constantes c, g ^a. les constantes s, &> et a que nous avons considérées dans ce numéro.
5. Appliquons maintenant les formules générales du n® 1 à Tintégration des équations différentielles du mouvement de rotation. La formule ( 3 ) suppose que Ton a déterminé les variables du problème en fonction du temps et des constantes arbitraires que la question comporte. Il serait difficile de les obtenir sous cette forme en employant les formules rigoureuses données par Tintégration des équations du mouvement de rotation, lorsqu'on fait abstraction des forces perturbatrices, mais elles s'y réduisent pour ainsi dire d'elles-mêmes lorsqu'on emploie pour intégrer ces équations, la méthode ordinaire des approximations successives, comme nous en avons fait un essai dans le n® 54 du livre I ; seulement, pour l'application de la formule ( 3 ), on est obligé de pousser l'approximation plus loin que nous .ne l'avons fait dans le numéro cité.
Reprenons donc les équations différentielles du mouvement de rotation d'un corps qui n'est soumis à l'action d'aucune force perturbatrice. On a, n? 54, liv. I",
Bdq + {A^C)rpdt = oA (7) C r/r 4- (B — A)pqdtz= o . )
Les lettres /?, ^, r, A, B, C ayant ici la même signification que dans ce numéro, et dt représentant l'élément du temps.
Supposons , comme dans le numéro dont il s'agit, que l'axe de rotation s'écarte toujours très-peu du troisième axe principal, c'est-à-dire de celui auquel se rapporte le plus grand moment d'inertie C, les deux quantités/? et q devront toujours demeurer très-petites, et en négligeant leurs carrés et faisant, pour simplifier les formules.
on trouvera {n'Si, liv. P') que l'on satisfait aux équations (5) I. 35
en supposant
/? = — ae sin ab (ni -^ c)
q=z be co% ab [nt-^-c)
eeic étant deux constantes arbitraires, dont la première, dépendant des écarts de Taxe instantané de rotation, est tdujours nécessairement une très-petite quantité, dont nous supposerons qu'il est permis de négliger les carrés et les puissances supérieures.
Cependant l'approximation précédente, comme nous l'avons dit plus haut, ne suffirait pas dans la question qui nous occupe, parce que les termes de Tordre e* i*enfermés dans les valeurs des variables p, q, r, s'abaissant par la différentiation au premier ordre dans les formules de la variation des constantes arbitraires, il est nécessaire d'avoir égard à ces termes pour obtenir dans les formules finales tous les termes qui dépendent de la quantité e.
Nous avons vu (n® 54,liv. P'} qu'on peut, en général, par des substitutions successives, obtenir les valeurs des trois quantités p, Çi r ordonnées en séries procédant par rapport aux puissances ascendantes de la quantité très-petite e, les valeurs de p et 7 ne contenant que les puissances impaires de ^, et la quantité r que les puissances paires.
En efTet, si Ton substitue les valeurs de p et q dans la troisième des équations ( 7 ), on en tire
r=z n — — j — -^ — cos i^ab [ni -h c). ^nC
En substituant cette nouvelle valeur dans les deux pi*emières équations (7 ), on en tirerait des valeurs plus approchées de p et de q, mais les termes qui résulteraient de ce calcul , étant tous multipliés par le cube de la quantité tf, nous pouvons nous dispeftser de reffectuer puisque nous omettons les quantités de cet ordre.
Cela posé, pour déterminer les trois angles 9, ^|^ et d, d'où dépend à chaque instant la position des trois axes principaux du
corps, on a (n® 54, Hv. I) les équations suivantes :
dB^zzSÏBffqdt — COStfpdtyS (8) sin 9d-^=z costf qdt H- sin f pdt. j
En substituant pour/?, g, r leurs valeurs et intégrant leséqua* tions résultantes, on aura par une première approximation
ffzzznt-^ly 6 = 7, ^=ei,
/y 7 et a étant trois constantes arbitraires.
En ayant égard , dans la seconde approximation , à la première puissance de la quantité ^, on aura
dB = besin(nt -^ l) cos ab (nt-i-c) -\- aecos(nt-^ l) sin ab [nt -\-c)y sin yd^z= be cos («/ H- /) cos ab {nt -+• c) — ae sin { nt -^ l) sïn ab {nt -\- c).
En intégrant et faisant , pour abréger,
-^ cos {ni -h /) cos ab (nt -t- c ) — — sin (nt ■+• l) ûnab (ne -|- c) =r ;^,
-— - sin {nt -h /) cos ab {nt -h <?) -h -77- cos {ni -h 0 sin ab {nt -f- c)= ;^,
on trouvera (n*> 54, liv P')
' n nsiny
Ces valeurs introduisent dans Texpression de //<p le ternie suivant :
nsmy ^
On aura donc, en intégrant,
e y' cos 7
ff = nt-hl^^ ^ -'
nsmy
Par une nouvelle approximation et en désignant par S<f, ^^ et SO les termes des trois variables o, -^ et 0 qui dépendent du carré de
la trùs-pelite quantité e^ faisant de plus, pour abréger,
"=8C'r'*'^^''''-L+(B'*'+A'«')cos.«*(«.+.)J*='*"l"'+^' -h(B'^'--A»a')cos2fl^(yîf-|-c) -f-2ABi76sin2(/?/ + /)sin2fl^(/if + r)| ,
8C»|L-f-(B'£>'-*-A»û')cos2flr^(/îf+c) J ^ . ^
-f-2ABii^cos2(/ir+/)sin2fl^(»r-f-c)| , on a trouvé
rie*cos7 ^. 2n'^'cos7 /i'sin7 /l'^sin'Y
(2C--A--B)g'/ ny(i-f-cos'7) ^ 4 '^ c ' '*' s^°' 7
En continuant ainsi, il est clair qu*on développerait les variables ^, >|/, G en séries ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de Cy mais nous nous contenterons, comme dans ce qui précède , d*avoir égard au carré de cette quantité.
Pourtfïomprendre dans un seul terme tous ceux qui multiplient r en
dehors du signe sinus ou cosinus, on substituera n — ^ — --j —
à la place de n dans les formules précédentes, ce qui altérera les valeurs des variables r et ^ sans changer celles de /?, 7, >|/ et d. En réunissant ensaite les valeurs précédentes, on aura
/7=: — ae€\wah[nt-\'c\ q = ^ecosa^(/ir + c),
4'îC 4/ic
COS2â^ (/!/ ■\-c)y
ye Ile^cosv X , .
' n ii'»sin7 ' ^^^
y' e 2 n' é* cos 7 n sin 7 «* sin' 7
- „/ -i /^ x'^g»S7 nV'(i4-cos^7) ^ wsin7 /î*sin'7
Ces formules contiennent six constantes arbitraires, /i, e, r, /, a, y, elles {représentent donc les intégrales complètes des six équations (7) et (8).
Il s'agit maintenant d'étendre ces six intégrales au cas oti Ton a égard aux forces perturbatrices, en faisant varier les constantes arbitraires qu'elles renferment et en déterminant leui-s variations au moyen de la formule (4), n° i.
Si l'on désigne par V la fonction perturbatrice ou la quantité qui représente l'intégrale de la somme de tous les éléments du sphéroïde divisés respectivement par leur distance au centre de Tastre L et multipliés par la masse de cet astre, qu'on nomme T la demi- somme des forces vives de tous les points du corps, et que, pour abréger, on I
dff , d^ '^®— n/
il faudra d'abord, conformément à ce qu'on a vu n° 15, liv. I, former les valeurs des trois quantités
dT rfT dT
Or, on a, n** 55, liv. I, T
__Ap^-\-Bq^^Cr'
et les équations (8) donnent
/? =r rp* sin B sin f — ô' cos y, g = ^' sin 6cosç-4- ô' sin y, r=:ç' — \p'cos0.
En substituant ces valeurs dans T et en différentiant ensuite, en aura (n*»4, liv. IV)
sz=Cr,
u = kp sin Ô sin 7 + B ^ sin d cos y — C rcos 0,
(^ =: B ^ sin 9 — kp cos «p.
En remplaçant dans ces formules ^^By p^ q^ r par leurs valeurs précédentes, on aura celles des trois quantités s, it, v exprimées en fonction du temps t et des six constantes n^ c^ c, l^ oLy^.
55o THÉORIE ANALYTIQUE
.En négligeant toujours les puissances de e supérieures à la seconde, on a trouvé ainsi :
(aC— A — B)e» /B— A\ ,
s=Cn — ' 7 —7 — e^cos2ab(nt'i-n9
(C — A) (C — B)e'cos7
' 2/îC
2Cn'e'C0S7
v = Cex'-\ : -•
'^ 77 sm 7
On peut remarquer que la quantité u est elle-méra^ une constante indépendapte du temps t, ce qui tient à ce que u représente, comme on le verra n^ ô, liv. IV, le double de la somme des aires tracées sur le plan perpendiculaire à Taxe des 2, par les projections des rayons vecteurs de tous les éléments du sphéroïde et multipliées respectivement par leurs masses, quantité qui doit être constante d'après le principe de la conservation des aires (n*' fiS, liv. I").
U ne s'agit plus maintenant que de substituer dans la formule générale ( 3 ) à la place des six quantités ^ , ^y 0, s^ Uy v leurs valeurs précédentes pour former celles des différents symboles (/î, a) (», /) etc. La différentiation relative à la constante e de-, vant abaisser dans les expressions de «p, rp, 6, s^ u^ v d'une unité l'ordre des termes qui la renferment, il en résulte que les valeurs des symboles (/z, e\ (/, e)y etc., ne seront exactes qu'aux quantités près du second ordre par rapport à e, quoique l'on ait poussé l'ap^ proximation jusqu'aux termes de l'ordre e^ dans les expressions de ces variables. On pourra donc négliger également les termes de Tordre du carré et des puissances supérieures de e dans le calcul de toutes les quantités symboliques [n^ g)^ (/i, /), etc, ce qui en facilitera la détermination.
Cela posé, calculons d'abord les dix symboles (/z, <?), (yi, /), («, a), (/î, 7), (/, c), (/, a), (/, 7), (c, a), (c, 7) et (7, a) qui ne renferment pas la constante e.
Il suffira de supposer, d'après l'observation précédente,
e y' cos 7 . ey' ^ ey
/? sm 7 w sin 7 ' n
sz= Cn, 11= — C n cos 7, i^= Ce x-
£n différentiant ces valeurs et faisant abstraction dans les résultats obtenus des termes qui contiennent le temps /, puisqu'on est assuré d'avance que ces termes doivent disparaître d'eux-mêmes dans les quantités (n, c), {n, /), etc., qu*il s'a^t de calculer, on trouvera
drf d^ dB dm d^ dB
d<p d'h dB do d^ dB
di = '^ 11=''^ 5r=^' 5^=^' rv="' ^=''
dff d^ dB
aoL da doL
ds ^ du ^ dv ds du dv
Tn = ^' Â, = -^'^'>^ rf^ = "' ^=*>' 5?='*' dc = '''
ils du dp ds ^^ r^ ' ^^
— ■ =o, —- = 0, ■r,= o, — =ro, -r-=C/îsm7, 3- = o
dl dl dl dy dy ^7 '
ds du du
di^^' di~^' d^^^'
La substitution de ces quantités dans la formule (3) a donné
(/i, c) = o, (/i, 7) = O, (/i, /) = — C, (/i, a) = C COS7,
(c,a) = o, (c,7) = o, (a,7) = C«8in7.
Calculons maintenant les cinq symboles (e^ /), (e, c), (/, e)y (7, e) et (a, e) où entre la lettre e. Considérons d'abord le symbole (<?, /). £0 difîérentiant par rapport à e les valeurs des quantités^, ^|», 9, 5, /i, v et faisant abstraction des^termes qui ne produiraient que des quantités périodiques ou de l'ordre du carré de e que nous négligeons, on aura
dff dB X ^^ ^^X.
5/"~"** dë^'^n^ dî^'^TTl'^ ds (aC — A — B)g dv Cedx' ^ ^ / ^ "" 2/1 ' dl" dl ' de"^'
En substituant ces valeurs dans la formule
d(f ds dB dv dB dv
^^' ' '~ '* Il Hr'^ Te Jl "ITt Jr"
on trouve
(^'')= — ^n — --^t( di y
ou bien, en substituant pour y^y xS ^X ^^ ^x' ^^^^ valeurs et omettant les termes périodiques ,
, „ (aC— A — B^ (A'a' + B'^Mef (^'')= ï^ ^n '
expression qui^ en vertu des valeurs de a et 6, donne
La quantité (f, c) se calcule par la formule
d^ dv dB dif
or, on a
d*^ « dy' dB dy
oc de de . nde
et , par suite ,
En substituant pour x^ x' ^^ \e\^r^ différentielles leurs valeurs, on trouve
y^dx — x^x' ABfl'A'
et par conséquent
ABfl'é^^
ou bien, en remplaçant a^ et 6' par leurs valeurs,
le c)- (C-A)(C-B).
Le symbole (e, a) est donné par la formule
d^ du
^ ' da de
dans laquelle il faut substituer pour -r^ ^^-j- ^eurs valeurs
d^ </tf (C — A) (C — B) g C0S7 ^
r/a""*' de"^ C/i '
on aura ainsi
(C~-A)(C — B)gcos7
En calculant, de la même manière, les deux symboles (/z, e) et (7» ^)» ^^ ^ trouvé
En réunissant les valeurs que nous venons de calculer, on trouvera les neuf quantités symboliques suivantes égales à zéro, savoir :
et les six autres seront déterminées par \eé formules suivantes :
(«,/) = C, («,«) = Ccos7, (c,0 = ^^~^ii^~°^^ (C-A)(C-B)e x(C-A)(C-B,)ecos7
(*'')- c^ ' ("'^^- ôi '
(a, 7)= C/i sin7.
Au moyen de ces valeurs la formule générale (4 ) » n" I , en sup-
posant V = O , dooDera
(Ç'\dt=Z'^Cdl'hC COS7 rfa,
• /rfV\ , (C--A)(C— B)e^^ (C~A)(C~B)gcos7 \de) ^"^ C/î
da
fd\
edly
Cn ^^'
(C!—A)(C — B)cos7 Cn
cde^
dy\ ^ -d^)'' =
