iM

— o,oi5ioM*

io8,6o3M*

g.gooaoM*

— 0, iooa5M*

— 0 , o885gM }

o,io36iM*

— o,ooo46M^

o,oiao8M*

— o,ooa58M*

— o,o43ogM*

1 ,63o5qM*

o,oi348M"

— o,ooi65M*

o,7&i8oM*

— o,35iaiM*

o,6at44M*

a,6oag3M*

Il ne s’agit donc plus que de déterminer les sept quantités M", M", etc., et les sept constantes l, l, , etc., que renferment les valeurs complètes de b , b',e te., c, c', etc., n°64> livre II. Pour cela, conformément à ce que nous avons dit numéro cité, on a

3 go THÉORIE ANALYTIQUE

calculé, d’après les élémens des orbites planétaires rapportés n° 90 , pour chacune des sept planètes principales les quantités

b sz e sin a, V e' sin etc.,

: e co i a , c' = t? cos a»', etc. ,

relatives à l’année 1 Soo , que l’on a choisie pour époque. En supposant ensuite t = o dans les expressions de b , b’ y etc., c, e', etc. , n* 64', livre II, après y avoir substitué ces valeurs , on a formé entre les quatorze inconnues M0, M,,etc., Z0, Z, , etc., quatorze équations, qui ont suffi pour les déterminer. On a trouvé ainsi :

l, = 191.47.55, /, «= 3o.5o.35, ti = 2o5.43.i3, ti = 283.23. i5, ls r= 69.27.22, U = 127. 1 . 4 1 -

Si l’on substitue maintenant à la place de M^, MT, etc. , leurs valeurs dans le tableau précédent, on aura celles des quantités M0, M,, etc., M'0, M',, etc.

On trouve ainsi :

oy 022810,

Mi =

0,0001 ÎO,

Mj =

— 0, o55og4,

Ms =

— o,ooo458,

o,oi5558,

o,oi5558.

o,ooi636,

— o,oooi23,

o,ooo639i

M' = o,oî8838.

o,ooo4»8,

WE’ as 0,000434,

M’ *= o,oooo45,

a* — 0,0000 JJ,

M’ es o,o5ao5o.

= — - o,oa6io8,

M’ = p,ooi856.

— o,o3io5a.

connaîtra

ainsi les valeurs

de toutes les cons-

tantes qui entrent dans les expressions complètes des variables b, c , b' , c' , etc. , et l’on pourra, par conséquent, déterminer les valeurs de ces quantité» pour un temps quelconque.

Il résulte donc de la suite d’opérations dont nous venons d’indiquer la marche , i°. que les racines do l’équation (b) sont toutes réelles et inégales , 3°- que les coeffîciens Mu, M,, M,, etc., sont tous de trè» petites quantités du même ordre que les excentricité» » des orbites planétaires à l’époque de j 800 , conditions nécessaires et également indispensables, pour que les orbites de toutes les planètes ne lassent qu’osciller autour d’un état moyen d’ellipticité qu’aucune d’elles ne saurait dépasser.

En effet, la première condition étant remplie, les sommes etc., de chacun des systèmes

de quantités M0, M, , M,, etc., prises avec le même signe, sont des limites que les excentricités des orbites des planètes ne pourront jamais atteindre, n° 65, livre II ( on aura donc dans tous les siècles c

3ga THÉORIE ANALYTIQUE

Ces limites sont encore assez petites pour qu’on puisse assurer que les orbites de Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne et Uranus, différeront peu dans les siècles futurs de leur forme actuelle, et demeureront toujours à très peu près circulaires comme elles le sont aujourd’hui.

Si l’on compare les résultats précédens à ceux qu’avait obtenus Lagrange ( Mémoires de Berlin, 1782), en séparant l’ensemble de toutes les planètes en deux systèmes différeus, l’un composé de Jupiter, Saturne et Uranus, l’autre de Mercure, Vénus, la Terre et Mars , ce qui facilite beaucoup les calculs, on verra que ces résultats s'accordent suffisamment bien entre eux , malgré les changemens qu’ont subis les masses planétaires employées par Lagrange ; ce qui permet de croire que les corrections futures qu’on pourrait introduire clans les valeurs de ces masses, n’altéreront pas d’une manière sensible les conclusions auxquelles nous sommes parvenus , et que les calculs précédens, comme nous l’avons dit n° 56, pouvaient seuls rendre rigoureuses.

Considérons maintenant les variations des inclinaisons et des nœuds. Les équations qui les déterminent étant de même forme que celles qui se rapportent aux excentricités et aux inclinaisons, peuvent être traitées de la même manière.

En supposant dans les équations (c) n* 69, livre II,

/> = N + /'o), // = N'«in(gt +ft), p"=N"«iti (fit -+■ C,), etc., q =N co«(gt + /'<>), <7'=N'co*(gC+ (i), 7*= N" cos (gt + etc.,

DU SYSTÈME DU MONDE. 3q3

et en substituant à la place des quantités représentées par [a, a1], [a, a,r\, etc., leurs valeurs, on a formé d’abord les sept équations suivantes:

(g+ 5',5o3ga)N — a',9io34N' — c^Sg^N" — o*,oa:981N- > \

— i*,595i5N-’— o",o77o6N* — o",ooi85N*' / ’ 1

(yr-f-i i'j796oîW — o",4479qIN" G\86oiiN" — o",ioîo5N* \ I

— 4“,i8a77N1'— o”,i9836NT — <>*,00474 N*' H0’! Gç+ia",9438i)N" — o",.o35iN — 5*,i74o4]V' — o“,a98a3ÎN* I

— 7*,o34661S'* — o*,3a5G5N» — o'',oo77îN" J °’|

0?4-t7".54i69)]N-- o“,oi98o]M - «",46898»' - i*,8i7mN* 1 l .

— i4’,5gi3aN'«- o^ag^N* — o",oi463 N’-^ ’/W ig+ 7*,489o5)N”— o",oooî4N — o>o4o9TN' — o'.oogiSN" I

— o",oo3i iN* — 7",367î81V''— o",io5aoN'‘/

(g+i8',49366)N'' — o“,oooo3N — o*,ooo48N' — o*,ooio3N* 1

— o',ooo33N*— i8",ngi3N>''— o‘,386C6N”/~°’ 1

(iç+ a*,3aa46)N,T — o'.oooooN — o",oooo4N' — o",oooo9N" j

— o*,oooo3N* — o“,93i3iN‘t — 1", 390991V' J=°- J

Ces équations feront connaître les rapports des constantes N, N', N" etc., entre elles, et si l’on élimine toutes ces quantités, on aura une équation finale qui ne contiendra que l’inconnue g.

Mais d’abord on doit observer que les facteurs numériques qui multiplient N dans la première des équations précédentes , N' dans la seconde , et ainsi de suite , étant égaux respectivement à la somme de tous les autres coefficiens de la même équation , on satisfera à ces équations en faisant toutes les constantes N, N', N" etc. , égales entre elles, ce qui donne g = o. Il suit de là , par conséquent que l’une des racines de l’équation du septième degré qui résultera de l’élimination des quantités N, N' etc. , étant égale p zéro, cette équation doit nécessairement s’abaisser

au sixième degré. En suivant en effet les procédés

ordinaires, on est parvenu a lequation suivante.

0,01 ïjng6 4- 3,83 179*»5 -h 355,3o485g< 4- 10955, a58?5£3