CHAPITRE PREMIER

Développement de la Jonction perturbatrice en série ordonnée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites jusqu'aux termes dépendans . de la septième puissance de ces éleînens.

i , Nous avons donné dans le n° 81 du second livre, l’expression de la fonction perturbatrice R développée jusqu’aux ternies de l’ordre du carré des excentricités inclusivement ; maïs on est obligé de porter plus loin ce développement à mesure qu’on veut atteindre à un plus haut degré d’approximation dans la théorie des inouvemens planétaires. Nous allons donc rtous occuper d’abord de cette pénible opération.

. Considérons l’action «réciproque de deux planètes m et né en mouvement autour du soleil. Rn désignant par R la fonction qui exprime cette action, on a, n* 48 du second livre

R — m'U — ~rrrrrr-r-- — r. -i—

L |/ (x-xy+(jr'-jryr p (/-z):

. .‘r.r'-f -jÿ+zz

Xy y y z étant les coordonnées rectangulaires de m relatives a trois axes fixes passant par le centre du soleil, / son rayon vecteur dans son orbite, et x' yÿ , z\ r‘ exprimant les mêmes quantités relatives ara'. Si

l’on nomme p la distance des deux planètes entre elles, en sorte qu'on ait

f = y/ (xr — x) • + (y* —y) 4 + (z'—z)', la valeur précédente pourra s’écrire ainsi :

Sous cette forme on voit que R ne dépend que de la distance des diflférens corps du système entre eux et a Forigine des coordonnées , et que cette fonction est totalement indépendante des axes auxquels on rapporte les mouyemens de ces corps.

Cela posé, pour plus de simplicité, prenons pour plan des X y un plan passant par la commune intersection des orbites de m et de m > et pour axe des x cette intersection même. Si l’on nomme c l’angle que le rayon r forme avec cette droite, l’angle formé* par cette même droite et par /, <p et (p' les inclinaisons respectives des orbites de m et de ni' sur le plan fixe, on aura

oc =çs r cos v, yz=zrs\n v cos (p, z — r sin <*sin <pf od =r' cosi/ , y=r'sinp'cos(p/, z=r/sint>'sin<p/,

Si l’on substitue ces valeurs dans R , qu’on nomme y l’inclinaison mutuelle des deux orbites , et qu’on observe que <p' — <P=y en faisant, pour abréger,

i — cos^ = 2sin*^= * Aa V= — rd sin v sin [cos {y + vr) — cos (/ — *>)];

en sorte que X représente le double du sinus de la

moitié de l’angle que forment entre eux les plans des orbites des deux planètes, on trouvera <

V r’ + rr‘ — ar/cos ( v — v) — A“ V

rcos(t»' — »>) i V~1

fonction qui ne dépend plus que de l’inclinaison mutuelle des orbites et de la positionrespective de m et de m' par rapport à la ligne des nœuds.

Soit 17 la longitude du nœud ascendant de l’orbite de m', comptée sur l’orbite de m à partir d’une origine fixe ; pour rapporter à la même origine les angles v et 7, que nous avons supposés comptés sur les plans des orbites respectives des deux planètes, à partir de leur commune intersection, il suffira de substituer v — n et V — n à la place de v et de v' dans les expressions précédentes. L’angle 7 représentera alors la distance de la planète m' à son nœud, comptée sur l’orbite de m' et augmentée de la longitude de ce nœud, comptée sur le plan de l’orbite de m, de la même origine que l’angle v.

La fonction que nous avons désignée par V deviendra ainsi

V = ~ rr [cos (y + v' — an) — cos ( v ' — (>)] ;

et c’est cette valeur qu’il faudra substituer dans l’expression précédente de R, qui n’éprouvera pas d’autre altération.

Cette expression conservera la même forme, quel

fi THÉORIE ANALYTIQUE

que soit krplan passant par le centre du soleil , auquel on rapporte le mouvement des deux planètes /pourvu qu'on exprime les coordonnées x, y, z, x', etc., relatives a ce plan, en fonction des coordonnées polaires de m et de in! ; elle a donc toute la généralité dont elle est susceptible. . ’ ...

2. Il nous sera nécessaire dans ce qui va suivre d’introduire dans la fonction R les variables quidéter-*minent la position dti plan mobile de l’orbite de m par rapport a un plan fixe quelconque', quantités qu’elle ne renferme qu’implicitement, sous la forme précédente. Pour cela, nommons <p et <p' les inclinaisons respectives, et n et n' les longitudes des nœuds des orbites de m et de m\ Sur ce nouveau plan ^ on aura , •

cos y = cos <p cos <p' + sin <p sin <p' cos <n'— n>..

En substituant donc dans R à la placé de. ..... t,i

A* = 2(1 — cos y) sa valeur, cette quantité se trouvera exprimée en fonction des angles <P, <p\ n et n', relatifs à un plan fixe quelconque passant par le centre du soleil.

Si l’on rapporte, comme nôus l’avons fait n° 86 , livre II, le mouvement de m au plan de son orbite primitive, l’inclinaison <p et l’angle n' — n seront de l’ordre des forces perturbatrices, et l’un pourra négliger leur carré quand on fera abstraction des quantités du second ordre par rapport à ces forces. En

nommant donc y ce que devient y relativement à un temps quelconque compté de l’instant qu’on a choisi

pour époque | on aura <p'~ y , et par conséquent :

cos y = cos y -f- sin <p sin y .

U faudra donc dans l’expression de R substituer 2(1 — cos sin psinp) à la place de A*$ en nommant R la fonction résultante, on aura ainsi :