CHAPITRE XII
Détermination d&s constantes qui entrent dans les expressions du rayon vecteur, et du mouvement en longitude et en latitude des planètes.
g4- Dans le n° g4 du livre II , nousi avons disposé des quatre constantes arbitraires qui entrent dans les formules qui déterminent les perturbations du rayon vecteur et du mouvement en Iongitudè de la planète m soumise à l’action des autres planètes, par la condition que la longitude moyenne et l’équation du centre demeurassent les mêmes dans lè mouvement elliptique et dans le mouvement troublé.
Cette disposition introduit dans l’expression du rayon vecteur un terme constant et une partie dépendante du même argument que l’équation du centre, parce que Cette partie ne peut disparaître à la fois dans l’expression du rayon vecteur et dans celle de la longitude. Déterminons ces différens termes.
Si L’on nomme a la distance moyenne de la planète m au Soleil, la constante a , dans l’hypothèse elliptique , se déduira du moyen mouvement observé
par l’équation a3 = — ^ — , la masse du Soleil étant
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prise pour unité. De cette équation on tire
a — n~ s (i + jm).
Tel est par conséquent le grand axe dont on doit faire usage dans la partie elliptique du rayon vecteur. Les valeurs des demi-grands axes des orbites planétaires
données n° 88, supposent
a = n 3, a — n 3 y etc.
Il faudra donc; dans le calcul de la partie elliptique du rayon vecteur, augmenter respectivement les valeurs de a, a' , etc. , de \ ma , j m!a! , etc. ; dans le calcul de la partie qui dépend du mouvement troublé, cette correction est inutile tant qu’on néglige les quantités de l’ordre du carré des masses. Au reste, l’augmentation précédente n’est sensible que pour Jupiter et Saturne ; d’après les valeurs rapportées plus haut, on trouve
Si Ton ajoute ces valeurs à celles de air et ay du n° 88, on aura
axy = 5,20281143;
a? sa s 9,53877643.
Ce sont les valeurs des demi-grands axes air et a* dont on doit faire usage pour calculer la partie elliptique du rayon vecteur de Jupiter et de Saturne.
Maintenant, il résulte du terme constant introduit dans l’expression du rayon vecteur que la distance moyenne de la planète au Soleil diffère dans l’orbite
Dü SYSTÈME DU MONDE. 407
troublée et dans l’orbite elliptique. Ainsi, la constante a qui représente celte distance moyenne dans cette dernière orbite, devra être augmentée de la partie constante de l’expression du rayon vécteur dans l’orbite troublée , pour former la valeur de la distance moyenne qui lui correspond.
La partie non périodique du rayon vecteur de la planète m troublée par l’action des planètes m' , m", etc. , est égale à
da
,</AW
da
etc.
En augmentant donc respectivement les valeurs de a , a', ainsi déterminées, de la partie correspondante à la précédente qui se rapporte à chacune des planètes m , m' , etc. , on aura la distance moyenne de la planète au Soleil relative au mouvement troublé.
La partie de l’expression du rayon vecteur dans l’orbite troublée, qui dépend du même argument que le premier terme de l’équation du centre , se compose des deux termes :
+ m'afe cos «— a) -j- vnlafe ' cos (nt 4- e — v) ;
f et f* étant déterminés par les deux équations suivantes (*) :
rfAW
da
da% *
d’\Q) da *
■*) Supplément au livre II.
4o8 THÉORIE ANALYTIQUE
il sera donc facile de calculer les coefficiens des deux inégalités précédentes, et l’on pourra les réunir, dans une même table , aux inégalités semblables de la partie elliptique du rayon vecteur.
■ Quant aux constantes y et II qui entrent dans les formules du mouvement en latitude, et qui dépendent de la position mutuelle des orbites, on les déterminera au moyen des valeurs, rapportées n° 88, en considérant le triangle sphérique compris entre l’écliptique, le plan de l’orbite de la planète troublée et celui de la planète perturbatrice.
Nous allons maintenant nous occuper de déterminer les corrections du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude , résultant de l’action mutuelle des planètes en réduisant en nombres les formules'du n” 84 du livre II , et des chapitres précédens.
