o"., 11 1548 sin (a n"l — n"l 4-ai»' — t,v
o", 139025 sin (3*”£ —2/1*»' 4-3,»'— a,1» — a”), J
f— o, 000279613 cos (a n't — n'»£ 4- ai»— t,v — a,v) 0,00016147.4 cos (an»i *— n"t 4- 2,»— s'r— a») IV- 0,09043*528 cos (3n»l —2 n"t 4- 3s»— 2,*»— a*«) '4. o', 000865468 cos (3 n't —2 n"t 4- 3«»— a,'»— a»)
(4- 0,000120471 cos (40»! — 3n'»t 4- 4«v- 3«'»— a,v)
— 0,000231907 cos (4«vl — 3n‘»t 4- 4,T — 3»*»— a»)
— 0,000128802 cos (3n<»£— an»£ 4-3i'»— a«» — a'»).;
* Inégalités ^dépendantes des carrés et des produits* des excentricités et des inclinaisons.
cr‘
10 1 , La plus considérable des inégalités de cet ordre est celle qui résulte de l’action de Saturne et qui dépend dé l’angle 5 n’t — 5n'H. Comme 5 n' — a»,v est
une très petite quantité , à cause du rapport de commensurabilité qui existe entre les moyens mouvemens de ces deux planètes, l’angle 5 rï't — 5n't diffère très peu de n'yt; on a donc fait usagé pour calculer cette inégalité de la formule (A) du n° 34 et à cause de la grandeur dè son coefficient on a eu égard dans son expression , à la variation des élémens de l’orbite de Jupiter, par la méthode du n° 29.
On a trouvé, par le n° 58, cette inégalité en 1800 égale à
' — 84', 938oo sin (Sn** — 3n,¥ -4- Si* — 3*,v),
-f- i3f>",953io cqs (5n*t' — 3 n"t -f* 5tT—* 3«,r) ,
et en 2000 égale à
— 77"ti®o3 si» (5 nyt — -f- S** — 3»*’),
-f- i38",i35G7 cos (5nSf — 3n'Tt -f- 5iv — 3«'v) ;
d’où l’on a conclu, pour un temps quelconque, cette inégalité égale à • .
— ( 8.}“, 9^800 — t o", 0393498) sin (5 nrt — 3n**t -f- 5tv — 3ilv),
4* (i38%i3567 -f* t o",oo59ra8) co« (5/iti — 3 n*yt 4* 5tT — 3t**) ,
ou bien, en réduisant ces deux termes en un seul par la méthode du n° 5o , . ' ,■ .
JV,,= — 14937 — t o",oi36lG) sin (5nTt — 4- 5,'— 3i,y
1 — 58°u'34" — l.45",3to).
Les autres inégalités du mouvement de Jupiter en longitude dépendantes du carré des excentricités,- ont été déterminées par les formules (A) , (B) , (G) et j^D) du n° 34 J on a trouvé ainsi
o",7/,34o5 sîn ( n't- f- «V+«IT +67° # *?)
L— 5",33<$3o6 sin (an^-f-a** -j- i5°56'a4")
l+nViÿis sin (3 nu-n^t -f-3«v— *«v +79°39'48") /j; »▼==(! •+•/«▼) \ — r^'', ^89891 sin (4^t-2n«v^4sv-a«-~37°
J4. 575570 sin (6n*t — 471*’ rH-&T— ’4‘,t*^?4° *
(4. a",3688oi sin ( n*t— «,TM- «v— «,v+43<
. 6*^11774 sin (ra/zvt — an,yM-2»f-- a«,T+4a- 4°^ 44#0
Lès deux dernières inégalités réunies aux deux suivantes qui leur correspondent , et qui dépendent des simples excentricités
79*, 119453 *in ( «T* — n'vt H* *T “ ‘,TL — I95\5a4778 sin (an** — an,Ti + *«v — 2‘,T!S
donnent celles-ci : > *
f 84", 658920 sin ( nn — n«»i+ «v— ‘,v + i<>8'5a'') \
(1 4-/*v)- 309^,098191 sin (anV— +2«v— 57 ).J
La seule des inégalités du rayon vecteur qui dépasse la limite que nous leur avons assignéeest la suiyante : / . .
<Trlv=— (I+^v) (0,001019705 —I 0,0oo0o00^°^2)c^S'^T)î,”^”,^^~^!r,^*^
Grande inégalité de Jupiter produite par l’action àe Saturne, et dépendante du cube et des produits de trois eide cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, ainsi que du carré de. la force perturbatrice. i
Lès grandes inégalités que produisent dans le mouvement de Jupiter et de Saturne, leurs actions réciproques, en vertu du rapport qui existe entre leurs moyens mouvemens, sont au moins du troisième ordre relativement aux excentricités et aux inclinaisons, etleur importance exige qu’on ait égard dans leur
détermination aux cinquièmes puissances de ces quantités et même aux termes de l’ordre du carré des forces perturbatrices. ' :
On a d’abord déterminé la partie de la graqde inégalité de Jupiter dépendante des cuies et des produits de trois dimension^ des excentricités et des inclinaisons au moyen des formules du n° 38. En partant des élémens rapportés n° 88, on a trouvé par le n° 7 f :
aTMCo) — — mr .1,1 620283 , aTM(l) = mr5, 8070750 ;
«TMC,) — — mT9, 6074688 ,
<zTM(3) = mT5, 2439 100, aTN(o) = mvo, 638678 1 ,
rtTN0) m'»Q) 332074° ;
De là, on a conclu pour 1806 *
ay P = — o,oooo5 20640,
<zTF = 0,001028097 r.^
Il a fallu eusuite n° 66, déterminer les mêmes quantités pour a3oo et pour 2800. Pour cela il fallait connaître les élémens des orbites de Jupiter et de Saturne pour ces deux époques.
Nous avons donné n° 91 , les variations séculaires de ces quantités dépendantes de l’action des planètes, mais il est encore nécessaire d’avoir égard aux termes dépendans du carré de la force perturbatrice. Cette partie se calculera par le moyen des formules du n° 53'. On a trouvé ainsi :
THÉORIE ANALYTJQUE
' JW” = \t. o",35o56a,;. '
JV’ =?' t.o", 048963, ,
JW’ — . t. 5", 0.371*2,
JV —t — • £. o", 096247-
Vf. JW
Ea différentiant ces valeurs , les quantités ------
d <Te,T d.è'd* d\ïey , : • * 3'
— , sont les accroissemens de — 9 dt 9
dt
dt
dt
dJiL do^ de • dépendent du carré de la force
perturbatrice; en ajoutant donc aux variations déterminées n°9i, les coefficiens du temps t, dans les expressions précédentes , on aura les valeurs complètes de ces quatre quantités. En négligeant les corrections des masses planétaires , on trouve ainsi pour s5oo ;
de'y
dt
~dt
dey
dt
dS
dt
-A~ — — of,,7565o6,
On a calculé les mêmes quantités pour 2000 , et en , , . de1' da> ,v de /* da^ , n » A •
désignant par ce qu elles devien-
nent pour cette époque, on a trouvé
= 6", 777219, %= ig", '19941-
En supposant que f exprime un nombre, d’années ju-
liennes, ou a gértéralenaent
deJ de
T — T "+■ tT’
les différences ™, dans le second membre étant relatives à l’époque de 1800, il en serait de même relativement h ~ , en faisant donc t — 2000 , on aura
TF
0ff,0000 15527^
- o", O oooaôgoo ,
TF
of/, 000324485.
L’expression de e,T pour un temps quelconque t en négligeant les cubes et les puissances supérieures du temps est :
de ,v
de"1
TF 9 ;
et l’on a pour <s>,T , ey et oF des expressions semblables. On aura donc ainsi pour un temps quelconque t à partir de 1800,
e/y = efv+ t.o9,5 14088 — r.o", 000007 765, G>txl = 1 . 6", 683 1 22 + 1* . o", 000235^42 ,
e/ = ev — ^ t . o,,,7365o6 -t 2B*of/,oooQ 1 29^0, ;
« v = + * . i9",o55o44+*a io", 000 1622425,
Les valeurs de exy , a>1T, ev, *>T dans le second mem- ( » ■ • ' • * bre étant eelles de 1800., .
En nommant y l’inclinaison , #et n la longitude du
nœud ascendant de l’orbite de Saturne sur celle de
4£o THÉORIE ANALYTIQUE
Jupiter, vu la petitesse des angles <p et on a à très
peu près, n° 86, livre II,
^sinll = <p' sin a' — cpsina, cos II = tp'cosct' — (pcosa;
d’où l’on a conclu pour 1 800 ,
Les équations précédentes donnent en les différentiant
dy d<pf .. tls> , .dot/ d<t. .
H = di C0S * ~~U^~dt cos (*“ n)— V -Jl sm(ct'~ n)-H> -jt sin(i-n),
dïl d&' . , , d< p . , . > d&r dct
y ~dt=~dt SU](* —n)“ sin(£t~n)+^ -fa co8(*'— n)-^ — cos(cc— n).
si l’on substitue dans les seconds membres pour
d$ dtp dtt dct 1 1 j ?
lLty ~dty Ht’ ~di *eurs *valeurs données n° 91, on aura pour 1800
En calculant pâr les formules du n° 54 > la partie des yaleurs de ~ , et de , qui dépend du carré
de la force perturbatrice , on trouve
ePlls= — t .0", 007 39080. N
Le coefficient dii temps t dans ces expressions doit
DU SYSTÈME DU MONDE. 44i
dn di>
et l’on trouve ainsi pour les valeurs complètes de ces deux quantités en 1800.
On a calculé de la meme manière les parties des valeurs de ~ et de
at
force perturbatrice et relatives à l’époque de 2000, on a trouvé
dn
, dépendantes du carré de la
être ajouté aux valeurs précédentes de et ,de
Sy = £.o*,ooo245o56,
Su = — t. 0^00098376,
en ajoutant les coefficiens du temps dans ces expressions aux valeurs de ^ et de ^ calculées pour' la
même époque , on trouve pour les valeurs de* ces quantités relatives à 2000 ,
... = — a5",23a5ai;
de là , on a conclu pour un temps quelconque t, rr = n — t.22', 933028 — 1% . 0^,00150247 ,
44a THÉORIE ANALYTIQUE
tes valeurs dè y et n dans le sècond membre se
rapportent à 1800.
Au moyen de ces expressions , on a calcule les valeurs de e'% e' , a>", , y etjtl, pour les époques
de 23oo et de 2800, et à l’aide de ces valeurs on a trouvé ensuite pour 23oo ,
et pour 2800,
a'Yu = o,ooo3 1 2547 ,
De là, on a conclu par le n° 66 ,
ay — o,oooooo383357 ,
dt
JP
dt
dV
dt
o,ooooOooï26433 ,
a7- pj- = 0,000000000057492,
dt
Si Ton suppose, n° 66,
àJP'
(5/2v 2/l,V) À .(5/ZV— 2«,V)a^a ’
nt l 2 JP ‘ ! 3JaP'
P'f = P + dt , (5tiv— zniy)*dt% 9
on aura donc, diaprés les valeurs précédentes,
flTP, = 0;00(K>46307 ,
aTP', =
dt
a- *= dt
o,oooooooooo37492 ,
dtx
La partie de JVv qui est divisée par (5nT — 2«,ï)“, a pour expression
(5nv — M")'
^-(a^P,+ t u,(-~ -+■ L ^co«(5 n’1 • 3n‘*l -f-Si’-ai"). ^
En réduisant cette fonction en nombres, on aura
A'"'=(i3!3",oi5555 — t.o",oi\ 5^g — t*.o",oooo77g3o)sm(5i»Tt — 2n'*<+ 5iT-3t'v)
4- (49”>°887 i o— < . o", 45oog5 -f t*. o",oooojg^'t)cos(5n''l — in • •
Pour calculer la partie de la valeur de <Ttp qui a
pour diviseur 5nr — 2 n", il faut déterminer les diffé-
rences a,J J^-v, a *T , qui entrent dans la for-
mule (I), n° 38; on trouve
~3^ — mT • 1 2» 1 » a” A46390 ,
T* —nv. 50,22714, a’1 -7^ == 7»t.4,i3i73 ,
■dM.W
da "
„ÆVKa> ¥ A,. w y.dN<-') c „
rt "30^ =,ra •65>7587°î fl ^ m - 6, 75963 ;
d’où Fon a conclu
ay% =• /raT. o, 002333 1 3 ,
, ' dalv . -
ay% = mT.o,oo63o36i.
La partie dont il s agit a pour expression
zmyn^ct1
5ny—2n"L
•sin (pnyt — 272,v^+5év- . cos (5 nJt — 2nly ^+5év-
da lv rfP
En la réduisant en nombres, on trouve cette fonction , en 1 8oo , égalé à
— 1 6", 553864 sin (5nH — 2nlyt + 5ev — 261?) + 6", 052991 cos (5«v£ — 27ilvi -J- 5ev • — 26lV).
On a trouve de la même manière pour 2000,
dv • *
cC% dâr == mT* 0,00235825,
<fp' ‘ .
dâ}T '~ wT*°>006l2383 ;
la fonction precedente à la même époque sera donc égale à
. — 1 5", 887450 sin (5 li t — 2nxyt -j- 5ev — 261V)
+ 6W, 1 17461 cos ( 5nyt — 2rûyt + 5êv — 2€,Y) ;
d’où l’on à conclu, pour un temps quelconque t à partir du 1800,
Jp1 T =—( 16", 353864 *•»- 1. o",t>oa33ai) sin — iniyt -f*fkv — atïv) .
•+■( 6",o5a99i -t- f.o")ooo3aa4) cos(5 nyt — a n'yt -f-5*Ÿ — a»,v)'
La grande inégalité de Jupiter contient encore parmi les termes qui ont 5nT — zn" pour diviseur, le suivant :
— îe" h sin (5 nyt — 2nirt -f- 5ét — as1’ — cù" -f- <f).
Ce terme est celui qui résulte de la variation dépendante de l’angle 5nyt — 2 n"t de la longitude de l’épo- ^ que dans l’expression de la longitude vraie ; on peut aisémeût le réduire en nombres. En effet, l’inégalité de JVT dépendante de l’angle 5nyt — 3 n"t est à très peu près, n° 38 , en n’ayant égard qu’aux termes qui ont 5nv — 2n'y pour diviseur , égale à
2 h sin ( 5nvt — 3 nirt -f- 5sT — ■ 3e,T -f- J') ;
on aura donc, n° 101,
h = 8o',57468, «T = — 58°ii'34".
Au moyen de ces valeurs et de celles de eV et de a»1T, rapportées n° 88, on a trouvé pour la valeur de l’inégalité précédente, en 1800,
-f-o®,685a4os‘n(5nT*-3rt,Tt-f-5«T — 3i,T)-i*,8i5a95cos(5nTf-an,,f-f-5iT-ai‘T).
En calculant la même inégalité pour 2000, on a trouvé
-t-o",586o53^in(5n'f^-an'v^+5«v-3^,,) — i*,8a8o84cos(5nTt — an‘’r<-f-5«',-a«'T);
de là , on a conclu pour un temps t quelconque , à partir de x8oo,
Sv" — (o",€85a4o — ï.o",ooô4g5)) sin (5n»t — an' VH- 5«v — as'*)
— (i’',8i5ag5 ■+. t.e'',oooo63<J) cos (5 nv — an,Tt ■ — as,T).
Considérons maintenant la partie de la grande
illégalité qui dépend des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons; pour la déterminer il a fallu calculer, d’après les formules du n° 42, les valeurs des quantités MCo), M(l), etc., pouj les deux époques de 1800 et de 2000. On a trouvé :
* Pour 1S00, . * Pour 3000,,
av>K0)
— t>,ooooooq33o3S?
avM(°) =
aTî\1(9> =
0,00001725461 tl
/2tM(3)
,«vM<3) =5
wuo
a'MiQ =
a^MC*)
= 0, 000001 36oo8,
• avM(J) =
^TVO.=
avN(0
a'NC1) =
— o,ooooooo55655,
avNO)
avNO) =
= o,oooooo35852o.
a 'NCO =
o,oooooo35852o,
aW 4)
= o,ooooo''ooo5i449»
avN(0 =
a'ÎVO)
= o,ooooooooi5549ï,
avN(5) =t
0 , 00000000 i565oo.
En vertu de ces valeurs, on a trouvé n° J\2 , pour 1800,
ætQ = 0,00000749^7,
aTQ'= 0,0000091388, ,
et. pour les mêmes quantités en 2000,
aTQ = 0,0000081539,
• . ævQ' 3= 0,0000087656; * " -
de là on a conclu '•
-r- o,oooooqoo 1 866o5 , , ,
et par suite, ' -
(5rcv — 2 niv) dt 2 a'dÇY
(5 rï* — 2 niy)dt
= — o,oooooo5233i6.
L’expression de la partie de la grande inégalité de Jupiter, qui dépend des cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons, en tenant compte des premières puissances du temps dans les coefïïciens, est, d’après les n03 4i et 42, , •
6mvn'vag.
(5«v— 2 nir)a
2 d*dQ (5nv-intv)dt 2«v</0'
en réduisant cette fonction en nombres, en vertu de .
l’inégalité que nous considérons, on aura
<JVlv= — (io",6&)o^ — t .o°,oo 197816) sin*(5/zv£ — 2 n,rt -f- — a»**)
( 8", 49861 *+• 1„. o",oo^9898) cos (5/iv£ — + 5év — ai**),
Enfin, j’ai défernjinéla partie sensible de la grande inégalité de Jupiter, dépendante du carré de la force perturbatrice, par les formules des n0# Srj et suivans. En ne considérant q^e les termes de cet ordre , on a
3a 1 v,}tv fdtfd'.î R'+ V-— fdc(fd'h)* ;
le dernier terme /de cette formule donne l’inégalité suivante
o",o24886$m(5/i*« — an'Yf4-5«v — a*ïv)-f-o",ooa66cos(5nv«— an*Tr+5*v — a*'*).
Cette inégalité est la seule que fournisse la seconde partie de la formule précédente. Considérons donc
uniquement son premier terme ; on a , n° 4,7 >
, <1R ^ , dl IL. , JR . , ,^/R
^sr^4, sr*'4' +a?A/,*;ï7* 5
et pour obtenir la valeur complète de JV,v , il faut
combiner entre eux les différens termes de chacun
dès facteurs qui. entrent dans la valeur de JR, de manière que la somme ou la différence des argumens des termes que l’on a considérés soit égale à 5pyt — 2n'yt , et que la somme des exposaus des excentricités et des inclinaisons dans ces termes ne dépasse pas trois. On a trouvé, de cette manière, les résultats' suivans.
• Inégalité résultante de la double combinaison des argumens
5nvt — 2n,vt et zéro :
— i*,gi8a6sin(5rcvî — in1 vz+5*v — 3ï,v)-f-o",4 l9no cos(5«v/-2ntvr4*5«v-as,v).
On a calculé ensuite, relativement à Saturne, les inégalités dépendantes du carré de la force perturbatrice, qui résultent des diverses combinaisons indiquées n° 5jy la précédente exceptée, et l’on en a déduit la partie correspondante de l’inégalité de Jupiter, au moyen de l’équation de condition
D’après les valeurs que nous avons adoptées pour les masses de Jupiter et de Saturne , on aura >
my\/ay __
mlf — mr ^=s 0,000664097 ;
l’équation précédente devient ainsi,
DU SYSTÈME DU MONDE. 44g
-f- 0,406378 cT£t -f- 0,000269874^ — o , (a)
désignant ici la partie de la variation du moyen mouvement de Saturne , relative à l’argument de la grande inégalité, et dépendante de la première puissance de la force perturbatrice; cette quantité esta '
très peu près égale à la partie correspondante de la longitude vraie. On verra dans la théorie de Saturne, qu’on -a ainsi
= — agoi^agag sin (5nTt — an"£ -f- 5«T — ai*T)
— i5o*,5a4j(> co» (5nTt — a/»,Tt —f- 5*T — ««*»).
En déduisant de la valeur complète de «f£T, la partie relative à la combinaison des argumens 5n*t — an'V et zéro, on trouve même théorie ,
/£’ = — 4»,44°07 «in (5ny( —3n'*t +5ir — ai*1)
— 34”, 1 54i a cos (5 n't — a n‘»t -j- Si’ — at,T).
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (a) , on en conclura pouf l’inégalité qui en résulte dans cf£.'T : a*, 58^4 }9 »in(5nTl — an* 'H-S^-as1 ’J-f-iS'gaoi o4cos(5nT/-37i' ’t-f-Ss'-as1 ’).
En réunissant cette partie de cf£,T à celles que nous avons déterminées précédemment, on aura pour sa valeur complète,
= o", 69408 sin (5n*t — an,rt -+• 5#? — a,'*)
+ i4",34i7Ücos(5a«v« — an,Ttri- 5ir — as*’');
j’ai trouvé par le calcul direct
/£ •» = 3", 7353g sin (5/»Tt — an^t + Ss* — ai"') ,
-H4*,7aooa cos (5 «»£ — an‘*£ -f- 5s* — as1*) ,
valeur qui, diflere peu de la précédente.
Il résulte du carré de la force perturbatrice dans l’expression de la longitude de l’époque des inégalités du même ordre que les précédentes et dépen- Tome III. 29
45o THÉORIE ANALYTIQUE
dantes de même de largument de la grande inégalité. En réduisant en nombres les formules du n° 64, on a trouvé
St * rz=i",3ioa7sin(5nvf-2n 1 v£4-5tt-2*11 v)4-o",o 1 36a8cos(5/i v£-an * *e-+-5t-2t 1 »).
Cette inégalité doit être ajoutée à la précédente dans l’expression delà longitude vraie de Jupiter. On aura done^^nsi pour la valeur totale de l’inégalité, que le carré de la force perturbatrice introduit dans le mouvement en longitude de la partie de la grande inégalité qui dépend du carré de la force perturbatrice,
. JVrv = a",oo435 sin (5 n?t — a n'yt -f- 5*v — a*x*)
+i4#,478°4 cos(5«v£ — < a «*■▼£ 4- 5** ~ a*IV).
Si l’on rassemble maintenant les différentes parties de la grande inégalité que nous venons de déterminer,
on aura pour sa valeur entière
.J (u84",775a5-£o",oao749 — £*o,/,oooo7793o)sin(5rcv£-an,’?£-f-5«v-ai‘v) î 1 ^ '14- (j6",26543-to,,,446oT2-f-li>o",oooojg8ja)cos(5nyt-2n‘rt-b5t'r-2t,'r). j
En réunissant les deux termes de cette inégalité en un . seul, par la méthode du n° 66, on aura la suivante,
(» 4-/uv) (i 187", a4735 — t o", 04844957 4- t% o'',oooooaaGo6a) xsin (5 nT£ — a «,T£ 4- 5«v — a*’ v 4- 3°4o'59" — 1 76^7700 — 1% ow,ooia6ao).
Cette .grande inégalité doit être appliquée comme on l’a vu n° 29, au moyen mouvement de Jupiter.
Le carré de la force perturbatrice introduit encore dans le mouvement en longitude une inégalité dépendante du double de l’argument de la grande
inégalité , qui a pour expression
aYa(P'a-Pa)sina(5/iTï-a/ixr£4^5*VîS**vJ |
2{5rï'--in"y\~> m'X/âï1 ’/l— 3flvaPP'cosa(5n*i-anxv4-5tv»2tx*). f
Ou pourrait réduire cette fonction eu nombres au moyen des valeurs de ay P et ay P7, qui ont été déterminées précédemment; mais on peut lui donner une forme qui en rendra le calcul plus facile. En effet, soit
— *—rz — — { )sma(5/tv£ — a«Ivi-f*5*v-2«‘T+A):
a(5/iv— 2«'v)9 \ mvi/^ )
l’expression de l’inégalité précédente , réduite en un seul terme, en comparant ces deux valeurs, on aura
H* cos 2A = P'* — Pft, 1 H* sin 2 A = — 2PP* ;
# * d’où l’on tire,
H== v/P^ + P'V et tangÀ = — p. * ,
Or , la partie de la grande inégalité qui a pour diviseur (5ny — 2rclv)a, et qui ne dépend* que de la première puissance de la force perturbatrice, peut prendre cette forme
(5n,t - 2n>rt + 5t' - 26,T + a>
umf jüi '* •- . ! ij'ivrtol • 1 r k ijoii
Si donc on nomme K le coefficient de la grande inégalité et 5 nyt — 2 n'yt -f- 5éy — 2£,y + A son argument, comme les termes qui ont pour diviseur (5 ny — 2Jiiy)4, forment la partie principale de la grande inégalité , on aura à très peu près pour l’expression de l’inégalité dépendante du double de l’argument de la grande inégalité,
• • . . tT m 1\ ' •
— — V ^ tl- — 8in ( double de 1’argameut de la grande
. 8 my V/«v inégalité').
cette fonction réduite en nombres donne l’inégalité
suivante >
I 2tr,2 1 854sin2(572*£— 27ll 2é1Ÿ+ 504o'5ç),r) ,
l’expression de contient encore l’inégalité,
+ | e"h sin (5 nyt — \n"t + 5 j — ^elf + a>1T + cf ) .
Cette inégalité est celle qui résulte de la variation de l’excentricité et du périhélie dépendante de l’angle 5 n't — 2nt dans le terme | e*sin ( 2nt -f- 2è — 2 a) de l’équation du centre , n° 36 ; en la réduisant en nombres, d’après les valeurs précédentes, on aura celle-ci,
+ g^yoïôiosin (5 nyt — — 46,t' —
Nous nous sommes contentés, dans le ri° 36 /de considérer les variations des deux premiers tertnes de l’équation tiu centre, et nous avons supposé que les autres termes pouvaient être négligés. Pour porter plus loin l’approximation, considérons dans l’expression de la longitude vraie de Jupiter, en fonction de la longitude moyenne, le terme
' + elt3 sin (3 n"t •+* 3*1* — 5»«).
En augmentant l’excentricité e!v et la longitude G?lt du périhélie de leurs variations JVT et JW1*/ il en résultera la fonction suivante,
il f JV’ sin 3 (n,T< + «,v — œ,T) | ...
Si l’on ne considère dans Je1* et JVVqûtf la partie
de leurs valeurs qui dépend de l’angle 5nyt 2nlrt 9 ou aura, n° 56,
«fe"= — | Kcos(5/iV— 2«' v+5fcT— 2ê,T— ûr* ’-f-A), — jKsin(5nTf — — at" —
en désignant, comme on Ta fait précédemment, par Ksin ( 5nwt — 5niyt + 5éT — -f- A) l’inégalité
du mouvement de Jupiter, qui dépend de l’angle
5 nyt' — 5 nïyt. La fonction ( b ) devient donc ainsi,*'
e,T* K sin (5n't — 5n"t -f- 5iJ — 5s,T + 2û>,t -f- A)
ou bien , en substituant pour K et A leurs valeurs,
— L «,T* 161", i4937 bin (5n*t — 5n'*t -f- 5it — 5»‘* ■+■ — 58° u'34'0*
Cette fonction réduite en nombres donne
-f- of/, 60744 sî11 (5 niyt — 5n't-\-5éty — 5eT+ 35°56'22w) ;
en réunissant cette inégalité à la suivante ,
-J- (1 -f- fj?) 1", 157972 siu (5 n'r£ — 5nV + 5e,T — 5eT),
que nous avons trouvée précédemment , et qui est indépendante des excentricités , on a celle-ci :
-4- (i -f- yj) i#, 687866 sin (5n*Tt — 5 Tï*t -4- 5*tT — 5t^ -f* J*0 1 1' 39'’). •
Le mouvement en longitude renferme encore*, n° 53, l’inégalité suivante ,
i (5/n*»V/a*i -f>4'»v\/rtt) TTwr • , - . ' ^
1 ■■■ 1 — HKsin (ion*£— -5n,T£-f- io«v— A-4-B).
4 mv [/ a? - .
En réduisant en nombres cette fonction au moyen
des valeurs précédentes de H, K, A et fi, on trouve
3", 7 8078 1 sin ( i on't — 5»' V-f- 1 osT — 5 s' T — 54°3o/35'/) .
•' ’ V.. » ‘ ; il','. . m ,
Le carré de la force perturbatrice peut encore introduire dans l’expression de la longitude de Jupiter et de Saturne, quelques autres inégalités qui peuvent devenir sensibles en vertu de la commensurabilité approchée de leurs moyens mouvemens ; ces inégalités sont en général très petites, mais comme les principales sont affectées des mêmes argumens que d’autres inégalités déjà calculées, elles pourront s'adopter .|G celles-ci sans compliquer les formules. On lés déterminera très simplement de la manière su iya
Nous avons vu, n» 85, livre II, que la première puissance des excentricités et des inclinaisons produit dans l’expression de JVT, les inégalités suivantes,
+ e,T G sin (jf-f- n'yt -f- g,T — ®,T) ,
-f- eT H sin {j-\- ntyt -f- ê,T — &>T),
où l’on fait, pour abréger, i (n't — n,rl-}-ir- — s,r) = J.
Supposons maintenant que pour avoir égard aux inégalités dépendantes du carré de la force perturbatrice, on augmente dans ces deux fonctions les excentricités et les périhélies de Jupiter et de Saturne, de leurs variations, il en résultera dans efo,T les inégalités suivantes,
Je*'rG«in(/-M,v*+*,T — 0") — e'ï/i»'»Gco« {f+rf’t+t'v — <*•») 1 -+• /e’H — ®T) — e’/o’H cos (/-f-Tj'-t-f-jir — »*). ) '
Si dans les variations des excentricités et des périlié-
lies de Jupiter et de Saturne, on n'a égard qu’aux termes dépendans de l’argument de la grande inégalité, qui en forment la principale partie, on aura, n» 36, ’ , .
JV* — — h cos(5 nyt — 2rïyt + 5êy — 2e11 + 6) ,
exy£cèxy — — A sin (5 nyt — 2 n'yt + 5? — 26* T -f- C).
Les deux premières inégalités (A) donnent ainsi la suivante ,
AGsin(5rcT4 — 2n'yt-\-$C — 2è'r~J— nxyt— e,T-f-û>IT-|-£).
Nous avons vu, n° 58, que l’inégalité dépendante de l’angle 5 nyt — 5 nxyt avait pour expression... 2h sin ( 5nyt — 5 n'yt + 5eY — 5g,T+ d»,Y+ë ); en la représentant donc par Ksin(5nV — 37i*T£-f-5gT — 3g,T-f-A), l’inégalité précédente deviendra
5^- sin ( 5nyt — 2 n'yt-\- 5ey — 2îv y — -J — ?i'yt — g,v-f-A) .
On démontrerait de meme que si l’on désigne par K' sin (4nT* — 2nlyt -+• 4*v — 2g,T «+- A') , l’inégalité de la longitude de Saturne qui dépend de l’angle 4 nyt — 2niyt , le troisième et le quatrième terme de la fonction (A) produiront dans l’expression de JVT, l’inégalité suivante ,
rm
sin (5nrt — vnxH -h 5«v — a*,v — f nlyt — A')* (B)
Cela posé, considérons les principales inégalités du mouvement de Jupiter en longitude. Les plus considérables parmi celles qui dépendent des simples excentricités sont les quatre suivantes,
— i3af,,596oosin(2WT£ — nxyt-\-2iy — é,t — a>ty) -f- 54^10 i90sin(2n'rJ-r- n'V-+-2fT — i,y—ay) — 42",6o443sin(3nV — 2rc'V-^-3gT — 2g,T — û>'t) 81", r4470sin(3reT< — 2n,Tf-j-3gT — 2«,r — a>y).
Si l’on donne à la première de ces inégalités, cette forme
e,Tsin (2/2t£ — n'V-j- 2*’ — g,T — fi»1’),
et qu’on la compare ensuite à celle-ci
-f- e,TG sin {f-\- n'rt -f - ty — à»"),
on aura
G — -3?' — , / = 2/ïV — 2/î,T* -f- 2ït — 2é'\
L’ipégalité de <JV1T dépendante de l’angle 5nyt — 3 n'yt, est égale à
— 16 1*, i/iCfirjs\n(5nyt — 3rc,T2-f-5s? — 3«,T — 58°i i'34'0*
ce qui donne ^
K = — i6iu,i4937, A = — 58° 1 r'34*;
on aura donc. dans «Pv,T l’inégalité,
i3a*, 59600 16».,!^ sin (3„T| „1Tt + 3,I ,.T 58. u'34").
De même, si l’on met la troisième des inégalités (o), sous la forme ,
— e'y sin (3 nyt — an’V-f- 3f — 26,T— - ra,T) $
en la combinant avec l’inégalité — 161", i4937sin(5/iY^ — 3wITi+5gy — orl aur& la suivante
3g*w58°ii'34")
4aff,6o448
i6ir/, 149^7 sin (in't 4- 2gT — 58° 1 i'34*y
On verra, dans la théorie de Saturne, que le mour vement de cette planète est assujetti à l’inégalité,
-r-652f/,5866osin(2wIT^-'4^T^"f“2glT",4gT“f“^99^44#j • (m)
Nous avons représenté par -r- K' sin « — l^nït 4-
2i'r — 4gT — A'j cette inégalité, ce qui donne
La seconde des inégalités (o) dépendant de l’excentricité de Saturne peut prendre çette forme,
— - v* - ° eTsin (arcT£ — nlwt 4- 2$ — tiy — û>v) ,
ce qui donne
H = 9 J— 2nJt — 2niyt 4- 2? — aeIT;
l’inégalité (B) devient ainsi,
— 5^^-°t-9° .65a*,5866o «n (n*H —3 nn + ,** — 3r 4. 5go 34' 4").
Enfin, la quatrième des inégalités (o) peut s’écrire ainsi , , ’ ♦
ev sjn çsrft — 2nxyt 4- 5ey •*— 2tir — o>T) ;
et combinée avec l’inégalité (ira)', elle donnera celle-ci ,
+ .652f,,5866o sin (2 nyt -f- 2g y— 59°34'4#)*
Si dans le$ fonctions précédentes on substitue pour e19 et e9 leurs valeurs relatives à 1800, on verra qu’il en résulte dans JV,r les quatre inégalités suivantes ,
r'/,07547sin (5 nX9t -f- 5eT- — s,T — 58° 1 1'34,/),
+ or',37658sin (2 n9t -f- 2gT — 58° 1 1 '34") ,
-1- i",39937sin (3 n9t — nX9t- f- 3e* — g,T —
Ces inégalités réunies aux suivantes , que nous avons trouvées précédemment et qui dépendent des carrés
des excentricités .
(-Mi",ai48i8 sin (3nV'-- n**t -f-3»* — *+• 79° 3</ 48* 1
(*+A* J 4— 5",33G3o(>#in (a /*n 4» aâT -f *5° 5G' a^), I
donnent celles-ci ,
t1-!" a* ; j — 5",44?9IOS'n (a7I*r ■+■ a»* -f- 43° 55( 9^). |
Considérons maintenant les inégalités du rayon vecteur de Jupiter. On a vu n° 38, que les termes dépendans du cube des excentricités ajoutaient à son expression la quantité
4 mTtt,vatY* ç P sin (5n9t — 2fiV9t + 5gT— 2i") 1 5*T — an" {-f. F cos (5rcV— 2 rc'V + 5gT — ag,T) J — eh cos (5raV — 2rc,T£ + 5g1T — 2gT — û)*T Ht «0 eh cos (5/iV — /$i"t + 5gT — /je19 + <z>t9 -J- cf).
Cette fonction réduite en nombres donne les deux inégalités suivantes ,
. t. , f — 0,000391707 coê (5n't — 3n'»«+5«»— »«**— i5°3a'43") )
Inégalités du mouvement de Jupiter en latitude.
x 01 .Par les formules du n»g5 du livre II, on trouve
io", 997810 «in (n't -f- «T — ll,T)
4- o“, 635078 «in (zn't — n"t -f- ot' — i” — n'»X 4- r", 071136 «io (3n't — in"t 4- 3«'— at" — n>”) > — ©*,367343 sin (40’t — 3/i ‘’t 4- 4«,— 3«,T — n>’)
— o*, 3674 36 «io (an‘'t— n't 4-3«,T — «T — n1”), ■
en désignant par 11” la longitude du noeud ascendant de l’orbite de Saturne sur celle de Jupiter.
Il résulte du n° 40 , que les termes dépendarts des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons ajoutent à l’expression de la latitude de. Jupiter la quantité
3 a"n" ( e»j.N(0 *in (5n't — 3h'V4-5«v — 3«‘» — ïi — »') |
5n' — an" l 4- e,TyN(”) «in (5 n't — 3n"t 4-5»* — XI— J
En réduisant cette fonction en nombres , on trouve
JV’=i i",5g8645sin(3rc,T2-5rcT£-f-3ê‘T-5«T-f-5oQ26'4,0*
Les équations ( f ) du n° 54, en substituant pour Jp et Jq, leurs valeurs donnent les deux suivantes,
cT<p "sina1 T-f-<p ,Tcosa’ «f<p,vcosa1'' — <p,’sina,ïcfla,T=-
*sy7- jn
H/ ^lV L.r,ivl/ '
mly[/ a'r’j-mr[/ a' mT a' m'y t/âr+TO
% ht
les quantités «TII et Jy étant déterminéés par le même numéro. L’angle a” dans ces équations est
46o . THÉORIE ANALYTIQUE ;
compté de l'intersection commune des deux orbites; il faut donc en retrancher l’angle II pour que cet angle soit compté de l’origine ordinaire des longitudes, fl étant la longitude de l’intersection de l’orbite dé ni9 sur l’orbite de m". Les deux équations
précédentes donneront ainsi,
(Tp*v__ **▼/***= —
— = - — [«T)' C08(I1— y SU sin (II— «.*▼)],
m"y a'v+nivy ày
Tny l/ ûf • , . .
— [J'ysin(n-t-a,v)-f-> /Il cos (Il —
rri*ÿ a*
Si l’on substitue pour jy et y<FU leurs valeurs, n° 54, en n’ayant égard qu’aux variations séculaires, les coefficient du temps., ^ d^ans ces expressions feront les parties que le carré de la; forçe perturbatrice ajoute
aux valeurs de ^7-, et — 3-%*. En. réduisant les for-
• u» dt
mules en nombres , oti trouve la première égale à
— 0^,000072576, et la seconde égale à
* of,,ooo8ii29.
En ajoutant ces quantités, la première aux: valeurs de fîî- et la seconde aux valeurs de et
du n* 91 , on aura
do"
JT = ~l 3", 64067 1 .
dl
