CHAPITRE XX
Équations de condition qui existent entre, les inégalités planétaires et qui peuvent servir à vérifier leurs valeurs.
lo5. Nous avons eu plusieurs fois l’occasion de reconnaître que les inégalités à longue période de deux planètes m et m! soumises à leur action réciproque , étaient liées par la même équation de condition que les variations séculaires, c’est-à-dire qu’elles étaient à très peu près entre elles dans le rapport de m\/a à m! \J~a! ; ce qui résulte de ce que la partie la plus sensible de ces inégalités est celle qui dépend de la variation du moyen mouvement dans l’expression de la longitude vraie. C’est au moyen de cette relation, qui est d’autant plus exacte, que par le rapport qui existe entre les moyens mouvemens des deux planètes , la période de l’inégalité devient plus longue , que nous avons déduit l’inégalité de Vénus , résultant de l’action de la Terre, et dépendante de l’angle 1 3n"i— 8nQ de l'inégalité correspondante de la Terre, et ensuite la partie de la grande inégalité de Saturne qui a pour diviseur (5«* — et qui dépend de la première
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puissance de la force perturbatrice de la partie correspondante de Jupiter. On pourrait se servir de cette même relation ’ pour vérifier toutes les inégalités à longues périodes , que nous avons considérées dans les chapitres précédeus , et qui ont été calculées séparément; mais tomme leurs valeurs ont été déterminées avec soin , et qu elles ont déjà subi plusieurs vérifications, il serait superflu ffe nous y arrêter.
Les inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités ét des inclinaisons méritent une attention particulière, à cause de leur grandeur et de leur multiplicité. Ces inégalités pepvpnt devenir considérables dans deux cas ; x°. si la quantité i(n' — n)-\-n est très petite par rapport à n ou n' ; a0, si cette quantité diffère peu d’être égale à — n ; parce qu’alors i(ti — n) -f- 2n étant une très petite qpantité, les fermes affectés de ce ffivisepr acquièrent une Valeur sensible.
Or, dans le premier cas, l’inégalité dépendante de l’argunjçnt i (n't — nt)-\-nt croit avec une grande lenteur , et par conséquent, les deux inégalités correspondantes de m et de tri sont liées entre elles par le rapport commun à toutes les inégalités de ce genre , c’est-à-dire que le coefficient de l’inégalité de m' se déduira du coefficient de l’inégalité de m en multipliant celui-ci par En effet, dans ce cas,
il est évident (jue les termes les plus considérables de l’expression de la longitude dans le mouvement troublé , proviendront de la variation du moyen mouvement, à cause du diviseur [«(«' — ra)-f-ra]* '
que l’intégration leur fait acquérir; considérons dans le développement de la fonction R les termes de la forme
m'M^ecos \i(nt — nt + g' — g) + nt + g — a* ]
-f* m'M(0e'cos [i(n't~~* nt -f- - — g) -f- -f- g — a/].
L’expression de la fonction R7 relative à l’action de m sur m ' renfermera les termes
mMCo)eeos [i{nt — nt -4- g' — g) -f- nt -+• g — a>]
-f- 7tt'M(,Vcos[i(n'2 — - nt -f- g' — g) + tz£ + g — /»'].
Si l’on suppose donc i (rc' — rc) -H w une très petite quantité, en n’ayant égard qu a ces termes, on aura à très peu près
mfdK + m'fd'R' — o.
Et , par conséquent , d’après ce que nous avons vu au n° 42 , en ne considérant dans JV et JV que les inégalitésqui dépendent de l’argument i(n't — nt)-\-nt , on aura entre elles, à très peu près, l’équation de condition
mS/aSv-^m* \’ cï = o. ,
Prenons pour exemple l’inégalité de Vénus résultant de l’action de la Terre et dépendante de l’argument 5n'rt — 2 nrt.
Cette inégalité est, par le n° 96,
— 1 ",426900 sin (3 nut — zn't -f- 3g" — 2ér — o»').
-r->= =— 1,042703 son
En multipliant par
coefficient , on a pour l'inégalité correspondante de la Terre
-f- i ",48783 sin (5 n't — sn't -f- 3g" — 2g' — af).
Le calcul direct a donné
-+- i",i5iio sin (5 n!'t — 2w'*+3ê" — 26 ' —cm');
résultat qui diffère peu du précédent.
106. Supposons maintenant que i{nr — /ï)-j-27i soit une très petite quantité par rapport ànouà n! . Il est aisé de voir, n° 84 > livre II, qu’alors la partie des inégalités de m et de m! dépendantes de l'argument i(n't — 7z£)+rc/, qui a pour diviseur i{n — /i)-f-2«, et qui , par conséquent , est la plus considérable , provient de la variation de l’équation du centre dans l’expression de la longitude vraie, on peut donc , dans ce cas , se borner à considérer cette partie# Le développement de la fonction R renferme un terme de cette forme :
cos \i(ri t-^nt + é' — «) + znt- f-2g — où — co'\ ;
il en résultera, n° 81, livre II, dans Je et <Pcj , les inégalités suivantes :
= MOîe'cos [i(w'* — nt -f-*'— • -+*at — a»— •'],
eS a» = , . m sin£i(rt7f — n t -f i7 — t) 4* int 4- a» *-» — »'] .
i(nf — n)4- in '
L’expression de la longitude dans le mouvement troublé contient les deux termes
2 sin (nt+t a>) — 2ej"oùcos(nt -f- 6 oo).
En vertu des inégalités précédentes, on aura dbnc
dans dV celle-ci :
— T-— , a"‘ "’L M(‘)e' sin [(i — i) (n't — ni +•' — «) -f- n't -4- «' — »'].
i lrv — n) -f- x
L’expression de la fonction R' relative à l’action de m sur m! renfermera le ternie
mMc* Wcos \i(n't — — t) -f- -mt-^ii — — »'] ;
et il en résultera, par conséquent, dans dV l’inégalité suivante :
— ''V“r~U-a l* MO)e*iii [(* — i) (n't — nt -f- i' — •) + nt -f- • — •].
Ces deux inégalités du mouvement de m et de m sont entre élles dans le rapport de m'\/ a'e1 à m\/ ae, én sorte que la Seconde peut se conclure de la première , èn multipliant le coefficient de celle-ci par
m. y ae m' V a'e'
— in1' 'étant une quantité assez petite par apport à n" et même à n'", on aura dans «f v[, en faisant i — 4 ’ une inégalité dépendante de l’argument $n"'t — 3n"« + fa'" — 3ê" — où’", et dans d'y'" une
inégalité dépendante de l’argument ;
3 rjht — int -j- 3 c'" — 2 1" — a". La première est , par lé n°97,
— 6 . 55^202 sin — 3n't -f- /fi'1 - — 3êv ^* &>').
En multipliant sou coefficient par iiT* y ^4, il en
résultera dans £v"' la suivante :
-f- o", 613273 sin(37i"'£ ■ — 3 n"t -f- 3i"' — 2 s" — co ").
On a trouvé par le calcul direct
+ o", 784404 si» (3 n"'t — a n"t -f- 3 1'" — as" — m") ,
résultat qui diffère peu du précédent.
107. L’inégalité de m produite par l’action de m' et dépendante de l’angle — co', résulte de la
supposition de i=i dans les formules du n* 84 du second livre. Or , d’après la valeur de [a, a'] , n° 90, il est aisé de voir que cette inégalité peut prendre cette forme
la '» al e' sin («'<+ «' — a) ;
réciproquement l’inégalité de m' produite par l’action de m et dépendante de l’angle nt - {-g — co est égale à
— n{n^- ,7) «] e sin (nt + é — co).
Ces deux inégalités seront donc entre elles dans lé rapport de [a, n']rcV à [al, a]n'3e , et comme par le n* 90 , on a
m \/a[a! , à\ = rn Va[n, a'].
Ces deux inégalités seront entre elles dans le rapport de ml yVrcVà m \f arPè on de m'aie' à ma'se, c’est-àdire que le coefficient de la seconde se déduira de celui
de la première, en multipliant ce dernier par
L’action de Saturne sur Jupiter produit, n* 100,
dans le mouvement de Jupiter, l’inégalité
- — 9", 259026 sin (nyt -f-tT — o?y).
m'Tetva,T5 *
En la multipliant par — 7 on aura dans le
mouvement de Saturne l’inégalité
H- 1 ",276197 sin(/ï,T£-f-i**— o,T).
Le calcul direct a donné
■ -4- 1", 276020 sin ( ra,T £ -f- g” — co") ;
ce qui diffère peu du résultat précédent.
On trouverait des relations analogues entre les inégalités correspondantes des rayons vecteurs.
108. Il résulte du n* §2 que si i'n' — in est supposé une très petite quantité, l’inégalité la plus sensible de la latitude de m produite par l’action de m ", sera égalé à
sin [i'n't — — (i-f-i)g-j-H].
L’inégalité correspondante du mouvement en latitude de m' produite par m serait égale à
— 7^C^A*,“,sin[(i' — 1)nt — — i)*'— k+H].
Ces deux inégalités sont entre elles dans le rapport de m y/ a à — 1 n\fd , c’est-à-dire que le coefficient de la première étant déterminé, en le multipliant par
— . on aura celui de la seconde.
mV?
Nous avons déjà vérifié , au moyen de cette relation, les inégalités des mouvemens en latitude dç
DU SYSTÈME DU MONDE- 48g
Jupiler et de Saturne produites par leur action réciproque; on peut vérifier de la même manière toutes les inégalités du mouvement en latitude des autres planètes. Ainsi , eu supposant i' = 5 et i = 3 , l’action de la Terre produit dans la latitude de Vénus l’inégalité
— ©",289097 sin (5 n"t — fyït -f- 5t" — 4 ^ — ot')-
En multipliant son coefficient par
rri \Z a
, il en
résultera dans le mouvement de la Terre en latitude l’inégalité
o", 2 18043 sin (4 ri’t — 3 n't -J- 4*” — — a.').
En calculant directement cette inégalité, on a trouvé
o", 223352 sin (4 rft — 3 n't — 3^ — a').
JLa différence est dans les limites des quantités négligées.
