CHAPITRE XXI

Supplément à la théorie de Jupiter et de Saturne .

îOC)* La méthode que nous avons suivie dans les chapitres précédens , pour déterminer les inégalités des planètes résultant de leur action mutuelle, et qui est fondée sur le développement de la fonction perturbatrice en série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons a, relativement au système des sept planètes principales , toute l’exactitude nécessaire lorsque Ion a soin de n’omettre aucune des inégalités qui peuvent devenir sensibles. Cependant nous avons indiqué, n° 25 , comment on pouvait déterminer les coefficiens du développement en série de la fonction perturbatrice par le moyen des quadratures, et cette méthode donne toutes les inégalités d’une planète relatives à un même argument, indépendamment de la grandeur des excentricités et des inclinaisons , ce qui est un avantage précieux, parce que la méthode des développe mens en série laisse toujours la crainte que quelqu’une des inégalités dépendantes des puissances supérieures à celles que l’on a considérées, ne devienne sensible. Nous allons donc ici

Dü SYSTÈME DU MONDE. 4g i

reprendre eet objet ; et comme de toutes les planètes Jupiter et Saturne sont celles dont les perturbations sont les plus considérables, nous ferons l'application de cette méthode à la théorie de ces deux planètes. Nous aurons ainsi un moyen de vérifier les résultats auxquels nous sommes parvenus dans les chapitres VI et Vil, et cet exemple servira de direction aux calculateurs qui voudraient déterminer de la même manière les inégalités des autres planètes.

Si l’on nomme , comme dans le n° 2 5 , <p et 0' les anomalies moyennes des deux planètes m et m' , en sorte qu’on ait

<p = nt- {- s — a, <p' =j rît -f- e! ■ — co ;

qu’on suppose la fonction perturbatrice R relàtive à l’action de m! sur m , développée par rapport aux sinus et aux cosinus dé ces anomalies, et que dans CG développement on ne considère que les termes dépendarts de l’argument de la grande inégalité , ou aura ■ 1

R = ni K sin(5<p/ — 2<p)-j- m'K' cos (5<f ' — 2$) , et pour déterminer K et K/, on aura

m'K' = — f17rf R cds (5<pf — 2

1 ir‘J o J o '

Les intégrales doubles devant s’étendre depuis <p = 6 jusqu’à <p — 27T , et depuis <p' = o jusqu’à

<pf =£ ITT .

4g» THÉORIE ANALYTIQUE

Les valeurs de ces intégrales dépendront des quatre suivantes :

A = -4-: f f** R cos 2<p. cos 5 <p'd<pd<p' ,

2jt J O J o

B = C ** f™ R sin 2<p sin 5<p'd<pd<p'f

C =s -ï— f. ** f ™ R sin 2 <p cos 5<p'd<pd<p' ,

2 TT*J o /’ O

D = — f ** R cos 2 <p sin 5<p'd<pd<pr.

Pour calculer ces quatre quantités, on divisera l’intervalle compris entre les limites <p=o et <p=27T, ou la circonférence entière, en un nombre de parties assez grand pour que les quantités contenues sous lp signe intégral ne varient pas trop rapidement, et quelles ne passent pas trop fréquemment dupe valeur positive à une valeur négative, ce qui rendrait les quadratures inexactes; et ce nombre , cependant , sera assez restreint pour que les calculs ne deviennent pas trop pénibles. On a reconnu par quelques essais que, dans le cas qui nous occupe, on satisferait à ces deux conditions et l’on obtiendrait un degré d’exactitude suffisant, en supposant par rapport à l’intégration relative ^ <p la circonférence divisée en trente-deux parties , et en seize seulement par rapport à l’intégration relative à <p'.

On fera donc successivement

p=o,p=i i*i 5', <p =22°3o',<p =55,45',<p =45% etc., <p'=o,ip'=2205o,,<p'=45* ,<p'=67#3o',<p,=9o°,etc..

et l’on calculera les valeurs de la fonction R correspondantes à ces diverses valeurs de < p et de $ prises deux à deux. On aura ainsi 53 X 17 = 561 , quantités fondamentales à former; nous désignerons, comme dans le n 25, par R-o,o> ^1,0; etc., R0,i> R»,«> R»,u etc., ces quantités, en supposant ensuite, pour abréger,

et — 2(1 i*i5')= 22°3o', a! — 5(22°3o') = i i2°3o',

et en faisant

P'=iR0>0cos o-f Rts0 cos*4-Ra>0 cos?.«...-f iR3a>0 cos32*, j P'^iRo^coso-f-R,,, cos*-f-Ra>1 cos2*...-f iR3a>l cos32*, > (a) etc* , J

on aura, pour déterminer la première des intégrales (i),

A — 3^~75 (ôPoCOSOTf“RiCOSct'+RaCOS2<t ' • ..-f-IP'gCQSïGa'),

et les intégrales B, C, D se calculeront par des formules semblables.

11 suffira donc de remplacer cos et, cos 2 a, etc. , cos a', cos 2 a , etc. , par leurs valeurs dans les expressions précédentes, pour en déduire très aisément les quantités A, B, C, D, du moment que les valeurs numériques des fonctions R0>0, B»,® > etc. , seront déterminées.

1 10. En ne considérant que l’action de m! sur m , on a

R rn ™'{xx'+jry+zJ)

V (x'—xy z)~ r>i

La première partie de cette expression est celle qui a le plus d’influence sur les grandes inégalités de

Jupiter et de Saturne , et dans les chapitres XVII et XVIII , où rious les avons calculées, nous n'avons pas eu égard aux termes dépçndans de l'angle 5/z'£ — ant, qui peuvent résulter de la seconde partie de la fonction précédente, il faudra dqnc également les négliger ici , puisque nous avons l'intention de comparer les résultats des chapitres cités à ceux que nous allons obtenir. En nommant donc p, pour abréger, la distance mutuelle des deux planètes m et m', l’expression de R deviendra simplement

et par le n° 25, pour déterminer p , on aura ç= ra-f-ra— irr cosa cos(v — v) — arr'sin8 '~y cos (v + v) .

Les angles v et v' étant comptés de l’intersection commune des deux orbites, en sorte qu’en nommant D la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m1 sur l’orbite de m, on a v = c — CI, et vr =u' II.

Conformément a ce que nous avons dit n° 25, on commencera par déterminer , au moyen des tables planétaires, les valeurs du rayon vecteur r et de la longitude v de Jupiter correspondante aux valeurs successives de l’anomalie moyenne q> — o, f — i i°i5', <p=22<>5o' , etc. On déterminera de la même manière les valeurs du rayon vecteur r' et de la longitude v'

de Saturne cQrrespondantes aux valeurs de l’anomalie moyenne <p' = o , <p' = 2293 o', <p'= 45», etc. De tous les résultats ainsi obtenus on formera un tableau. . . .

On calculera les valeurs de p correspondantes aux diverses combinaisons différentes quon peut former entre les valeurs de r et de r1 , de v et de vr comprises dans ce tableau, en les^ prenant deux

à deux; en multipliant ensuite par m! la quantité -

qu’on en déduira, on aura les valeurs correspondantes et successives de R.

Il est clair que ce que nous venons de dire relati- # vement à la fonction R s’appliquerait également à toute autre fonction dérivée d’une, manière quelconque de celle-ci. Ainsi , par exemple, par la différentiation de la valeur de R , on aura

dK r dr

dK

dy

dK

r° — arr'cos^ycosfi/ — v) — rr si n*^cos(v -f-v)

Tïl • 1 . o 1

, . rr sm v sin v

m . si 11 y 3 ,

/ • . , rr sin(v'-j-v)

2/7î .Sin*^

On pourra donc calculer les valeurs de ces fonctions correspondantes aux diverses valeurs attribuées aux anomalies p et <p', et en substituant ces résultats à la place des quantités que nous avons désignées par Ro,o, Ro,t> etc. , dans les formules (2), on obtiendra, par des procédés semblables à ceux indiqués plus haut , les valeurs numériques des divers coefficiens du développement en séné des trois fonctions

précédentes. , «

Enfin , on déterminera comme à l’ordinaire les

Rf

termes correspondans de la fonction /*' -jp au moyen

de l’équation générale

. / On a d’ailleurs, n* 4 >

dK

da

et a'

dK

da'

1 1 1 En effectuant, d’après les tables de M. Bouvard et à l’aide des valeurs rapportées n° 88 , la suite des opérations que nous venons d’indiquer, on a trouvé, relativement à l’action réciproque de Jupiter et Saturne, les résultats suivans :

ay K = — 0,000942079, ay K' *=0,0004025958,

a — 0,00252078, axyay ^^==0,00262946,

ay% — - = 0,00546286 , ay% — o,oo5o5i86.

Pour comparer ces valeurs à celles que l’on obtiendrait par les méthodes ordinaires d’approximation fondées sur la petitesse des excentricités et de l’inclinaison mutuelle des orbites de ml * et de my, observons que <p et <p' représentant les anomalies moyennes de

ces deux planètes , on a

’ niyt -j-£,T:=<p , nyt -f- ey = <p' -f- où*.

En supposant donc , comme dans le n° 58 ,

R -=mvP sin(5 nyt — a ntyt -f- 5»v — at,v)-f-mvP'cos'$nvt — m1

on aura *

R = twvP siw (5pv— ap 4- 5»v ■ — a«**9 -f* cos (5^v — -f* 5«v~ a»,v).

Dü SYSTÈME DÙ MONDE. ' 497

ou bien en développant cette expression

R = my [P cos (5»v — aa»1*) — P' sin (5a»T — 2a»1»)] sin (5p* 2p)

*+• my [P sia (5û»y — 2a»* y) -+• P' cos (5a»y — 2a»* yj] cos (5pr -yf 20).

Si Ton compare cette fonction à l’expréssiort R = m9 K sin ( 5 <p' — 2<p) -f- ni9 K' cos (5<p' — 2<p) j ’fjue nous avons supposée au développement de R en séries de sinus et de cosinus des anomalies moyennes <p et <p', on aura

à9 K =a"Pcos(5 où9 — üco")— *‘flvP'sin(5«f— ico19), y •

sin(5o>* — 2fi?,?)-f-ÆTP'cos(5a)T — 2c?,Ÿ); J '

et il est évident qu’on aurait entre les quantités a'9 ,

IT

dK'

v etaIT^r, a19

dP7

dP'

day 9 a' de? 9

da"9 " de? 9 w de? ^ ~ da"9

des équations semblables.

Nous avons déterminé, dans le n* ioi,les valeurs des coefficîens des termes du développement de R relatifs à l’argument de la grande inégalité , qui dépendent du cube et de la cinquième puissance des excentricités et des inclinaisons , en réunissant ces différentes parties, qui doivent concourir à former les coefficiens que nous désignons ici par «VP et à9 P', on trouve

On a d’ailleurs, d’après les valeurs rapportées n° 88,

5a>9 — 2co,r — 65°26'28". En substituant ces quantités dans les éqùations (3) , on aura

a9 K = — 0,000938956 , a9 K' ï= 0,000402768. Tome III. 52

Si ion compare ces valeurs des cœfficiens «VK et a’ K' à celles qu’on a obtenues par la méthode des quadratures , on verra qu’elles s’accordent entre elles d’une manière très satisfaisante. . .. •

Nous avons trouvé ,n° tôt, . . v • -

* . jp'

a"^= o,oo2335i3, t=o,ooG3o56i.

* En multipliant ces valeurs par — = æ, et en les

substituant à la place de a* P et de aTP' dans les équations (5), on en tire

dK. ■ , ’ . , ■ . .* .

rt’Vi’ — ; = — o,oo25o584, = 0,00267500 ;

et au moyen des équations de condition

da" ' 1 da" — ^ *

on en déduit

rtT* ^ = o, oo3444^° >

,dK'

Ces valeurs, comparées à celles qu’on a obtenues par le moyen des quadratures , paraîtront s’accorder suffisamment avec elles , surtout si l’on se rappelle que dans les n°* 101 et 102 nous n’avons, dans les va-

Ieursde

les termes dépendans des des inclinaisons.

dV tÆ' *

diï » a COQsidere que

cubes des excentricités et

. Maintenant ,, si auvmqyen des équations (5) on exprime les valeurs de a’P, a'P' en fonction des quan-

tite's a’K, a’ K', et de même relativement à a** ^ ''

' dP' . 1

a etc* > on trouvera \ " v*

mîdP V- * • . • ; ••jp'

^>"v = °>00224^2 1 > ^va ^-7^ = 0,00629075 .

• a HW

a day =—o,0Oi 163 62, a" — = —0,00445304,

La grande inégalité de Jupiter renferme la partie suivante • . . r

t f *!P' sin (5«V— 2w,Tt-f-5év — 2é,v) *

(5nv— a/i,v)a 1 — avPcos(5^— an'V — 56v /*

D’après les valeurs adoptées , n* 88, on trouve

li^rr 6mVnIVÎÛ » ^ ^

(5wv — 2/jivj|asini// a 6^a5^35o* r; ; :

En réduisant en nombres la fonction précédente elle devient ainsi .. ' “ ’

..... to&K'Oiasin (5nvt — 2n'7-^ Se^as”! -

... • ~ w 64"»9®8 cos ;(5n^ — an”/ H* 5«v — a*"V

En ne considérant que cette partie de la grande inégalité , et én'la calculant d’après les valeurs de a‘P et de on trouvera qu’elle eStëgale à

.y*. . 1.089'^ an (5«’< — 2t»*7 -f- 5c'-- as") A ' — • f®8,.ao4 cos (5 n*t — a»,v< -f. 5P — a*”’}, - • . .

5oo THÉORIE ANALYTIQUE

Les différences sont dans les limites qu’on peut supposer d’après les quantités négligées dans le calcul , en considérant surtout que les élémens employés dans la construction des tables de M. Bouvard, qui ont servi à déterminer les quantités aTP, a' P' par les quadratures , diffèrent de ceux que nous avons adoptés. ■

lia grande inégalité de Jupiter contient encore la partie

f a” iin (5 nrt — an',« -h 5*’ — 9«”) )

5uv— a/i« v \ JP |

J — «’* co» (5/»ti — 9n'»t •+■ 5»t — a»'») I

En la réduisant en nombres d’après les valeurs dP dP'

précédentes de a'* , a" , et en observant

qu’on a

. sm'n'V . .

loH

cette fonction devient

— i6",3ao5 sin (5 ri't— a/i‘Tt-f-5£’ — je”)

-f- 5M,8a75 cos (5»T<— 2»'T£-f-5«’ — a«‘T).

Nous avons trouvé par le développement en série ,

— 1 6",3538 6 sin (5nyt ~nn'yt + 5«T — 3 g”) , .

-1- 6",o52g9 co s(5nrt — 2 n"t -f- 5ê’ — 9.e") ; ‘

ce qui diffère peu de la valeur précédente. .

La principale partie de la grande inégalité de Saturne est celle-ci : ‘ '«O-

5oi

i5mITn™ • r avP'sin (5 nyt — 2niyt-\-5e*— 2€IT) v

(5/iv — 2/l,T)* 1 — av P cos (5rcT$ — 2ttXT£ + 5€t-— 2*xt). >

Par les valeurs rapportées n° 88, on a

i 1 5m,vnv* . ~ . . - 0

En réduisant en nombres la fonction précédente au moyen des valeurs de ûtP et aTP' données plus haut , on trouvera qu’il en résulte dans le mouvement de Saturne les inégalités suivantes : .

1 — 2685", 4543 sin (5 lï't — 2n'yt + 5ev — 2€xv), "

i6or,,Q47°cos(5nvt — 2nirl+5er — aeXY)..

En employant les valeurs de cC P et a’P', calculées

n° 10 1, on aurait trouvé . “ • ! ' :

— 2678", 5574 sin 2raxv£-f- 5fT— 26lv) . v 1

+ i56r',4°7 1 cos (5wv^— 2rûyt~\~ 5st— 2e”) ,

quantités qui different peu des précédentes. .

. Enfin, la grande inégalité de Saturne contient encore la partie suivante : < . , .

da y dP

aw‘»nT 5>»*— an,T

ùva sin (5 M — a n,Tf -h 5tv — as*y) f

On a

r— ay* cos (5 nH — a»,T* -f- 5»* — aé*q

En réduisant en nombres la fonction précédente*

5oa "THÉORIE ANALYTIQUE

d’après les valeurs de a' * ~ et a'* ~ calculées par les quadratures , on aura