a4 840 (5nrt — Ztrt 4- 3P-- a*‘v
— 1 5", 6226 cos ( Sn't — 2 n"t -f- 5*’ — %î").
Nous avons trouvé pour la valeur de cette même inégalité . - .. . ■ , . . - .. .
+49', 39049 sin (Sri't — zn"t -{-Si' — as”)
— 1 3'', 4961 3cos (Sn't — 2nlvt 4* 5tr — • as1')
qui diffère peu de la précédente.
Pour donner un second exemple de l’emploi de la méthode des quadratures au développement de la fonction perturbatrice R, on a calculé de cette manière , et relativement à l’action de Salurüe sur Jupiter, le premier terme de ce développement, c’està-dire celui qui est indépendant du temps; et en nommant F ce terme, on a trouvé * * l ' * '
a^F as m 1 1 ,091097 , a™ a.' — = m'o, 2238874*
En calculant le même terme d’après l’expression donnée n° 18, et en employant Tes élémens qui ont servi à déterminer les valeurs précédentes, c’est-à-dire les élémens des tables de Bouvard, on a trouvé
a’F = m' 1,09 1062, a"aJ m’o, 2 238867.
Ces valeurs, comme on voit, sont presque identiques.
L’accord des résultats obtenus par des méthodes si différentes, dans l’une des parties les plus importantes de la théorie dés inégalités planétaires , montre
MJ SYSTÈME DU MONDE. 5o3
que la méthode des développemens en sériés ordonnées par rapport aux puissances ascendantes des ex^ centricités et des inclinaisons, lorsqu’on a soin de porter assez loin les approximations pour ne négliger aucune inégalité sensible r suffit aux besoins actuels de l’Astronomie., : ‘ \
. 1 12. La méthode des quadratures a pourtant son utilité : c’est la seule qu’on puisse employer dans le calcul des perturbations des . comètes et des petites planètes ; et comme on vient de le voir dans la théorie des planètes principales elle peut encore servir à d’importantes vérifications. Il ne sera donc pas inutile de donner ici les formules qui nous semblent les plus simples pour l’application de cette méthode a la détermination des perturbations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude. Ces formules pourront d’ailleurs être employées en d?aufres occasions.
Pour cela , reprenons les trois équations du mouvement troublé , n° 87 , livre II : . . . ,
d*x dR
dt* • r* dx
d2jr w __ dR
dt* ■ r*
daz
~dë
fAZ. *
dy
dR
dz
• Si l’on prend pour plan des xy ^ celui de 1Wbite primitive de m , ce qui permet de négliger les
quantités t ^ 9z~r qui . sont du second ordre ,
puisque z et R sont du premier , én combinant entre elles les équations précédentes , ûn trouve aisément
5o4 THÉORIE ANALYTIQUE
les deux intégrales suivantes :
xdz — zdx
Jt
ydz — zdj dt
Si l’on multiplie par y la première de ces équations, qu’on en retranche la seconde multipliée par x, en observant que les coordonnées x et y se rapportant ici au mouvement elliptique, on a, n° ao.
— —x~ = \Z/jLa{i — e*) , on trouvera
dt
rfxd‘ *È'-*fr*
dz
Cela posé , on a pour déterminer les perturbations du rayon vecteur <fr et de la latitude JY de la planète au-dessus de son orbite primitive , les deux équations suivantes, n° 89, livre II,
d'.rJ'r .
~dF
ftrJ'r
d‘.rïs , ftri's ~d? r3
' dR dz
Ces deux équations sont de même forme , et s’intégreront par conséquent de la même manière. En effet, la première des équations précédentes se transforme dans la seconde, en y changeant JY en JY,
et xfd’R + r™ en d’où il suit que, pour
avoir JY, il suffira de faire ce changement dans l’expression finie de<?j. Or, la' seconde des équations (e), n’est autre que la troisième des équations (a) , dans
DU SYSTÈME DU MONDE. 5o5
laquelle on a fait z . = r<Ps ; en substituant donc pour z cette valeur dans l’équation ( b ) , on aura la valeur de rj\y, et Ton en conclura immédiatement
celle de la fonction rJY.
* ■ Si pour abréger on fait *
z devant être supposé égal à zéro , après la différentiation dans la valeur de P'.
En substituant pour x et y leurs valeurs r cos v et rsinv, relatives au mouvement elliptique, on trouvera
. * sin vfrcosvVdt — cos v /rsin vPdt
Vfia{ i— ea)
, sin v fr cos vV'dt — cos vfrsinvP' • y||\ *
\/fta(i— e*). .
Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en longitude. On pourrait les déduire de celles du rayon vecteur supposées connues, au moyen de la formule (6), n° 89, livre II , ou plus simple- * ment au moyen de l’équation du mouvement elliptique r*dvzzzclty/ fÀCi( 1 — e •), qui donne, n° 45, livre II,
<f.r‘ J = A (f + f)dt, (
mais il vaut mieux les calculer par une formule directe.
Pouf cela, reprenons la formule (a) du np 83, livre II,
dans laquelle on suppose kz== 1— e*)*
5o6 •> THÉORIE ANALYTIQUE ’
L’équation de l’ellipse donne
I 4- e cosv
en prenant le périhélie de m pour l’origine de 1 angle v. Au moyen de cette valeur de r et de celle de JV on
trouve aisément ‘ ' ' ;
{.(sin v sin 2.v) fr sinvPdt j -f. (je+cosî;-f-^ecos2v) ffcosv'Pdt > .
— frVdt+ie fdvf rsinvVdt, . J,
/ T av— • • • '
En observant que Ion a, n 4 > . X + dü — dv »
par le n* 45 , livre II , on trouve .
On * d’ailleurs
dr w y - é/v
et par les formules du mouvement elliptique
er sin v
,dr
ek sin v
... dt À £ dr __
' dv “ k * dv \ cos v 9 dt a{ i — e*)*
Au moyen de ces valeurs on trouve
Si dans rexpressiou de on substitue cette valeur et
celle de j -.d? > on aura f n , . .. . .
DU SYSTÈME DÜ MONDÉ. 5o7
u = fif r*rf'R ~ fdvfr sb vdt •• r ï -
(2 sin v 4“ 5 e sin 2i>) f rsmvVdt u«+ 2 cqs v 4- £ e cos av) / r cosvP di — 2/ rP<ft -ï-efdvf r «in v P di
. s- - ■ ka( r— e9) ' • . . *
. Gette expression se réduit aisément à une forme plus simple; en substituant en effet à la place de P sa valeur dans le dernier terme , et en le combinant en-
suite avec les deux premiers, on trouve
(2 sin v-f- - V 2
e sin üv
sinvP dt ,
-f- ecosv
. • - 1 ' \ rcosvPdt
ecosiM — e cos iv 1 /
2 JJ I-+- ecosv
En substituant pour r sa valeur dans les expressions de JY* et de J\y, on voit quelles sê trouveront immédiatement ramenées à la même forme que la fonction précédente.
Les trois formules (A), (B), (C) donneront donc sous forme finie les perturbations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, ce qui peut être très utile dans la théorie des petites planètes où ces . perturbations ne peuvent être déterminées que par des quadratures, à cause de la grandeur des excentricités de leurs orbites. Les mêmes formules pourraient être employées aussi par la même raison dans la théorie des comètes , mais il est préférable de se
5o8 THÉORIE ANALYTIQUE
servir alors des formules du livre III. Dans tous les cas , pour calculer par des quadratures les expressions précédentes, on commencera par substituer pour dt la valeur -~-=J*ÈL====. , et pour R sa • . y/fcai I —e’) , r
valeur en fonction des rayons vecteurs et des longitudes vraies des planètes troublées et de la planète perturbatrice. En nommant y l’inclinaison mutuelle des orbites de m et de m! , et II la longitude de leur commune intersection comptée de la même origine que l’angle v , et en faisant Y = cos* ■; y cos (y' — v) -f- sin'i^ cos^-'-frv — .an), on aijra,,par le n°25,
■ R =.ra,|4»
i- v ■ ‘ rV4
— ar/V
De cette expression on conclura par de simples différentiations , celles de efR et de r — , et par suite les
valeurs des quantités que nous avons désignées par P et Y dans les formules précédentes. On pourra , par conséquent, calculer par la méthode des quadratures paraboliques , exposée n# a5 , les intégrales
fr^sinvVdv , /HcosvPrfy, fi^ûnvYdv , fr^cosvVdv,
ainsi que les intégrales J'r'Vd'ü , J' r3 dv que ces
formules renferment.
Dans la théorie des planètes principales, la petitesse des excentricités et des inclinaisons' mutuelles des orbites permet de développer leurs perturbations en séries coftvergentes , et c’est sans contredit la mé-
DU SYSTÈME DU MONDE. 5og
thode la plus simple que l’on puisse employer pour obtenir ces perturbations exprimées par des suites de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps, et en former des tables qui peuvent servir pour un temps indéfini. L’emploi des formules précédentes serait alors moins simple que celui des équations différentielles qui déterminent les trois variables JY, S'v et Ss ; et c’est par cette raison que nous n’avons eu besoin que de ces équations dans la théorie des inégalités planétaires. Mais lorsqu’on veut déterminer les coefficiens du développement de la fonction perturbatrice et de ses différences par la méthode des intégrales définies, ainsi que nous l’avons indiqué n° a5, les formules précédentes sont, je crois , les plus commodes que l’on puisse employer, dans ce cas, pour en conclure les valeurs de «fr, Sv et JY.
En effet, au moyen d’intégrales doubles on pourra toujours, comme on l’a vu n° a5, déterminer les coefficiens du développement en séries de sinus et de cosinus d’angles proportionnels au temps t , des fonc-
r^-dt,e t l’on développerait par conséquent, de la même manière, les fonctions f rsinuPcfe, f rco&vŸdt , /r si n vŸ'dt , ,f r cos •wP' dt. En substituant ensuite ces valeurs ainsi exprimées dans les formules (A), (B) et (C) , et en mettant pour sinu et cos v leurs valeurs développées en série des sinus et cosinus des multiples de l’anomalie moyenne de la planète m, on aura les expressions des perturbations du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude applicables
5io THÉORIE ANALYTIQUE
à un temps indéfini, les plus exactes que la théorie puisse fournir.
Il serait à désiref que quelque calculateur zélé fît l’application des formules précédentes à la détermination des perturbations de toutes les grandes planètes. Il eu résulterait le moyen le plus sûr pour vérifier les inégalités déjà calculées, par d’autres méthodes, et découvrir les inégalités sensibles qui auraient pu jusqu’ici échapper aux investigations des géomètres. M. Hansen, astronome attaché à l’observatoire du Séeberg, a déjà essayé sur la théorie de Jupiter et de Saturne un travail semblable; mais le choix mal heureux des variables qu’il a cru devoir substituer aux trois coordonnées JVyoPv, JV, généralement adoptées par les astronomes, des innovations analytiques dont les avantages ne rachètent pas la bizarrerie , enfin, l’absence complète de clarté et de méthode, rendent ce travail à peu près inutile (*). J’invite donc les jeunes géomètres à reprendre cet objet sous le point de vue que nous leur indiquons : peut-être nous sera-t il permis d’y revenir dans la suite de cet ouvrage, mais nous allons, pour le moment, porter notre attention sur d’autres points de la théorie du système du monde, la détermination des inégalités planétaires nous ayant déjà entraîné bien audelà des limites que nous nous étions prescrites.
(*) Voir compte que j'en ai rendu dans la Connaissance des Tems pour i83t.
tu.
Dü SYSTÈME DU MONDE. . 5u
. Mouvemcns héliocentriques de Jupiter et Saturne .
' 1 1 3. En réunissant les différentes inégalités calculées dans les chapitres VI et VII, on a obtenu les exprèssions des longitudes vraies, et des rayons vecteurs de Jupiter et de Saturne, les plus exactes que Tétât actuel de Tanalyse permette d’espérer. Dans les formules suivantes, t représente un nombre quelcourque d’années juliennes ou de 365^ ^ , comptées k partir de minuit le Ier janvier 1800.
* Soit, pour cette époque, . ; •.
n'yt + 61Ÿ = 8r°5a' i9f,,3 + t 3o% 349084, ^
nyt + €v = 123. 5.29,4 + t ï 20, 22 1 1 48 ,
nyxt «4* tv* e= 17^.50, 16, 4 + t
ces trois quantités représentant les longitudes moyennes de Jupiter, Saturne et Uranus , comptées de Téquinoxe fixe de 1800* Dans ces expressions , nous avons substitué à ia place des moyens mouvemens n'\ ny et nyx, rapportées n° 88, leurs valeurs résultantes des corrections indiquées par les équations de condition qui ont servi, a former les nouvelles, tables
de M. Bouvard. . ' . ^ « /
. Soit encore \ ' *. . *. —
û)1ts=5 i i° 36f/ — f- t 6,,,683i22 — £*o,ooo235,
û)r =3 89. 8.20 ■+■ M qi',o55o44 -f- **0,000162,
