cos i sin (fl' — 0)cos (IT *— 0')} sin 4-H — 6) cos v

— a rr' {cos i cos t' cos (0'~ 0) 4- sin i sin i'] cos (n'— 0')

— cos i sin (0' — 0) sin (II* — 0') } sin {y 4- n — - 0) sin S.

Considérons le triangle sphérique compris entre les plans des orbites de m et m' , et le plan fixe ; nommons I Fin— clinaison mutuelle des deux premiers plans : n — 0 , lY — 0", et 0' — 0, seront les trois côtés de ce triangle, .et i8o°— /', i et I les angles respectivement opposés à chacun d’eux. Par les formules de la Trigonométrie sphérique, on aura

cos (n — 6) =cos(0' — 0)cos(n' — ô') — eos/'sinCÔ' — 0)sin(n' — 0') j cos!sin(n - 0)=cos(0' — 6)sin(n' — 0') -f-cos/'sin(0' — 6)cos(n' — 0') , cos/sin(n— 0)=sin(â'— 0)cos(n'— 0')-f-cos/'cos(0'— 0)sin(n'— 0'), sin /sin (n — 0)= sin i' sin (n' — 0') ,

cos I = cos /cos i -f- sin* sin /'cos (0' — 0) , cos(n' — 0') = cos(0' — 0)cos(n — 0) + cos/sin(6' — 0)sin(n — 0) .

En vertu de ces relations, le coefficient de

— 2 rr cos (v-f n — 0) cos v , dans l’expression de p9 , se réduit

à cos(n — 0); le coefficient du terme -f-arr cos(^-+-n — 0)sin v , se réduit à cos I sin (n — 0) , le coefficient du terme

— 2 rr sin (v-f- n — 0) cos / peut s’écrire ainsi

cos ;[sin(0' — 0) cos (n' — 8') -f- cos/'cos(6' — 0)sin(rT — 0')]

-f- sin i sin ü sin (n' — 0') , .

qui , en vertu des relations précédentes devient

cosaisin(n — 6) -f-sin* /sin(n — 0) , ou simplement sin(n — 0).

Enfin , le coefficient du dernier terme de la même fonction, multiplié par cos (0' — 0) , peut prendre cette forme

[cos /cos i + sin / sin i cos (0' — 6)] cos (n' — 0')

— cos/sin(0' — 0)[cos(0' — 0)sin(n' — 0')4-cos//sin(0'-0)cos(n'-0'}] ,

ou bien

cos I [cos (n' — 6') — cos / sin (8* — 8) sin (n — 0)].

En substituant pour cos(n' — 6') sa valeur , et divisant par cos (6' — 8) le résultat , on voit que le coefficient cherché se réduit à cos I cos(n — 8).

On aura donc ainsi

pa s= ra -f- r a — 7rr/cos(n~ cos^+n — 8) cos v'

-f- ?.rr cosIsin(n — 8)cos(v-f-n — 8)siny

— 2 rr sin(n — 8)sin(^ -J- 0 — fljcosv'

— 2 rr cos 1 cos (n — 6) sm(y-fr-n — 8) sin v .

Ou en réduisant

p* = ra - J- r * — 2rr'cos v cos v — 2 rr cos I sin v sin v .

On voit que cette valeur ne dépend plus que de l'inclinaison mutuelle des deux orbites, et de la position respective de m et de m relativement à leur commune intersection. Cette expression est identique avec celle que nous avons trouvée n° 1 . Si au lieu de compter les longitudes de la commune intersection des deux orbites, ou voulait leur donner une origine quelconque , il suffirait de retrancher de v et v les angles n et n' qui expriment la longitude de cette intersection, comptée respectivement sur les plans de chacune des orbites.