En supposant donc <p' = 23° 27' 5o", on trouve que l’angle <p est moindre que o",0209; on peut donc supposer que le plan de l’écliptique se confond avec le pian principal de projection , et comme l’inclinaison mutuelle de ces deux plans est constante, leur identité se maintiendra toujours.
Maintenant, si l’on considère le cas général, l’équation (2), en la différentiant, donnera à très peu près
mcPn \/ 1 — e2 ftp = Ca cos <p'J)pr.
En substituant pour C sa valeur, et en supposant, comme précédemment , <p' = 23° 27' 5o", cette équation donne
Il s’en faut donc beaucoup que, comme l’assure M. Poinsot, les variations du plan invariable soient alors du même ordre que les variations de l’équateur. Nous avons trouvé , n° 98, 16' 16" pour la variation de l’obliquité de l’écliptique depuis le temps d’Hipparque jusqu’au commencement de ce siècle; en supposant donc $‘<p' = 976", on aura
Ainsi en 1928 ans , l’inclinaison de l’écliptique sur le plan fixe n’aurait pas varié de 2 dix - millièmes de seconde ; on peut donc la regarder comme insensible , et considérer, dans ce cas , le plan de l’écliptique comme invariable, conformément à la théorie de Laplace.
Quant aux observations de M. Poinsot relativement au mouvement des nœuds, comme on a, d’après les équations (i), ô= Q', il est clair que le nœud de l’écliptique aura sur le plan fixe le même mouvement que l’équateur, en sorte que leur intersection commune demeurera toujours sur ce plan ; mais cela n’implique pas contradiction , puisqu’une variation très légère dans l’inclinaison mutuelle de deux plans, supposée très petite, peut en produire de considérables dans la position de leur commune intersection.
Le second exemple choisi par M. Poinsot pour mettre en défaut la théorie de Laplace, consiste à supposer que le système est formé du Soleil, de la Terre et de la Lune, considérés comme des points massifs. Dans ce cas, le plan invariable, selon les idées de ce grand géomètre, est celui que décrit le centre commun de gravité de la Terre et de la Lune , ce qui diffère peu du plan de l’écliptique. Montrons qu’en effet ce plan coïncide toujours, à très peu près, avec le plan maximum des aires décrites par les centres de gravité de la Terre et de la Lune. Il est clair que ce système revient à celui de deux planètes m et m réagissant l’une sur l’autre, que nous avons considéré n° 55, livre II, et le plan invariable sera déterminé par les équations (t),dans lesquelles il suffira de changer C* en
m' [/ a ( i — e'2), m étant la masse de la Lune , a et e le demigrand axe et l’excentricité de son orbite autour de la Terre. Si l’on nomme donc <p et <p' les inclinaisons respectives de l’écliptique et de l’orbite lunaire sur le plan maximum des aires, on aura
m\/ a (t — e1) sin <p =z m' [/ a' ( i — e') sin <p' . (3)
Or ou a , à très peu près ,
En négligeant donc les carrés des excentricités e et e', et en
56o THÉORIE ANALYTIQUE
supposant p' = 5° 8' 38" naire à l’écliptique , on à 12". En différentiant près ,
ftp =
, qui est l’inclinaison de l’orbite lutrouvera que l’angle <p ne s’élève pas l’équation (3) , on aura , à très peu
rri \/ a m\/ a
. cos p' .bp'-,
d’où l’on conclut , d’après les valeurs précédentes ,
bp = 0,00066446 bp';
et comme l’inclinaison moyenne de l’orbe lunaire sur l’écliptique vraie est constante , malgré le mouvement séculaire de l’écliptique, si l’on suppose <^' = 976", valeur supérieure à celle qu’on peut supposer à la variation de l’orbe lunaire sur un plan fixe , depuis le temps d’Hipparque jusqu’à nos jours, on trouve bp — o",64 pour la variation de l’orbe terrestre en 1928 ans : ce plan peut donc être considéré comme invariable dans le système que nous considérons.
Quant aux nœuds de l’écliptique sur le plan maximum des aires , on a â = 6', et d’après les équations (1) , le nœud ascendant de l’orbe lunaire coïncide avec le nœud descendant de l’écliptique, et réciproquement; par conséquent, comme le mouvement du nœud de l’orbe lunaire sur l’écliptique fixe est d’environ 190 par an , il est clair que l’intersection des plans des orbites de la Terre et de la Lune aura sur le plan maximum des aires un mouvement très rapide, ce qui n’empêchera pas le plan de l’écliptique de rester toujours à très peu près parallèle 1 lui-même, et de remplir, par conséquent, la seule condition qui caractérise le plan invariable (*).
(*) On ne doit pas oublier qu’il ne s’agit ici que d’un cas particulier qui est sans application dans le système du monde. Laplace en calculant, n* 39, livre VII, les inégalités lunaires dues à la non-sphéricité de la Terre, trouve que son influence sur les dcplacemens de l’orbite de la Lune serait d’angmenier de o,ooooooa638tjnt le mouvement rétrograde des noeuds , nt étant le moyen
On conçoit, en effet, que dans les deux systèmes que nous venons de considérer, comme on a y = et par suite
&y = -f- àp', si est une assez petite quantité pour qu’on
puisse la négliger par rapport à <hp', on aura simplement <Jy = chp, c’est-à-dire que les variations de l’équateur dans le premier cas , et celle de l’orbe lunaire dans le second , par ' rapport au plan invariable tel qu’il résulte de la théorie de Laplace , seront les mêmes que celles de ces deux plans par rapport à un troisième plan qui serait rigoureusement fixe ; les différences seront absolument insensibles. Or, ce grand géomètre n’a jamais prétendu autre chose ; l’invariabilité du plan invariable tel qu’il le définit n° 62 du livre II de la Mécanique céleste , comme les inégalités de tous les mouveinens planétaires, n*est qu’approchée et exacte qu’autant qu’on . néglige dans le mouvement de translation les perturbations résultantes de la forme et des dimensions des corps célestes. Dans le n° 21 du livre Ier, Laplace a donné la théorie générale du plan invariable pour un système de corps quelconques réagissant les uns sur les autres ; il en a fait l’application au système du monde dans le livre II , en profitant de tous les avantages qu’offrait sa constitution pour faciliter le calcul des mouvemens planétaires , question assez difficile pour qu’on ne cherche pas sans nécessité à la compliquer.
Les équations (1) nous montrent encore que quand bien même les seconds termes des premiers membres seraient comparables et mêmes supérieurs aux premiers, ce qui aurait lieu, par exemple , si les aires que ces termes représentent provenaient de la rotation du Soleil , on pourrait encore prendre l’écliptique pour le plan invariable du système , bien que par sa position il différât sensiblement , dans ce cas , du plan maximum des aires.
mouvement de la Lune dans son orbite. Cette quantité est absolument insensible , et à plus forte raison par conséquent la non sphéricité de la Terre ne peut avoir sur la position du plan invariable aucune action appréciable. Le même résultat a lien par rapport à l’ellipticilc du Soleil , comme nous l’avons vu n° 79 , livre VI.
