L. — f b(,~° — bM
<U i V» '+* '+• J ' i\ dx
d’où, en substituant pour
dm
da.
sa valeur (9), on tire
db
db
oCVi'+'iC’
— ’Xttib
Jet
du
Comme l’exposant s n’entre pas dans cette équation , on aura de même
db0~° db(i+0 ( i — l) bV~l) +(i-f I) &<i+,) — 2i<t bi0
du Tu ~ ( 5
L’usage de cette formule n’est sujet à aucun inconvénient, et en la différentiant on trouvera successivement
du *
du * a
du*
«/et3 a
du *
du* a
du*
etc.
du* u
clct det *
d*^-* d*b(i+,) db(0~]
D-sr-H*+4)-ir-« ^J-
d*bV~l) d4b(i+l) rf3/,<0*“]
La loi de ces formules est évidente , et l’on peut les prolonger aussi loin qu’on le voudra ; elles donneront très simplement les valeurs des différences, suc-
cessives d’un coefficient quelconque b^ , lorsque les
différences des deux premiers coefficiens b^ et seront connues.
Or, en faisant successivement i = o et iss i dans l’équation (9), on trouve
db1? ■ '
det
db^ isa.tff* 4- [ (xs — 1 ) <t* — I ] b^
dx
d’où Ton tire
db
db
de t
dl '>
dl
da
En diflérentiant cette expression , on trouve
dA *
dA *
dA ’
/ dbC<>)
dA •
</aa
\ dA
-I *«■>)+ 2. jW.
En combinant ensemble ces quatre équations , on formera les deux suivantes :
; d% [(454-O0»-,} dba 4,. ,o)
(Ia% <*(l — a») dA I — à* • 1
Ja’
Ces formules serviront à déterminer directement
la différence du second ordre ^-par le moyen de la
quantité bs et de sa différence première, et l’on aura
de même le coefficient ~rr $ quand les deux quan-
db(s'} (
tités —t— et b seront connues,
dit s
En différentiant de nouveau ces équations, on formera les différences successives de b^ et de ; on obtient de cette manière
«l*èw
dm*
dot
(4j,+iCj+io)
+bM
dxl
lü~
(4*-Mo>>— 4
d*bM
, ia»*4-a4»+ia “ *
etc. ;
4**4-ia*4- a
db <■>
iU' '
1— at*
dx
dtf*
4s*-+'2o$-f-iï
ia*»4-«ai I
dm 4
dix1 ^
dct%
«(t— <t») - ci« ’ 1
rf4A<,) î L
ifî.s>4-3-j4+4a J
^ *(i — *•) ' da. * * I
Ces séries peuvent être prolongées aussi loin que l’on voudra, et elles donneront toujours les différences de b'^ et de b['J d’un ordre quelconque , au
moyen des trois différences qui les précèdent immédiatement.
On pourrait d’ailleurs se borner à calculer ces dernières formules, et déduire ensuite les valeurs des
différences successives de b "' de celles de b['\ par le moyen des formules suivantes :
db(* db(,)
d‘bl°> d'h0'
T3-=*-arH-»
du
<’> **<'> -ZT + (« + ') 1S7*
dib
etc. ,
équations dont la loi est évidente.
On peut encore par la combinaison des formules précédentes en trouver une infinité d’autres propres à calculer les quantités b,w, £,w, etc. , et leurs différences successives ; c’est au calculateur à choisir dans chaque cas celles dont l’usage lui paraîtra le plus avantageux.
Enfin , si l’on était obligé de calculer à la fois et avec un même degré de précision les coefficiens des deux séries S-' et on pourrait déterminer
d’une manière très simple les différences successives
des quantités b^\ bf\ etc. , que l’on aurait soin , dans ce cas, de calculer les premières. En effet, la formule (9) donne, en différentiant ,
da.*
\ da
db
db
da.
da
Mais si dans la formule (8) on change f eni+i,
DU SYSTÈME DU MONDE. j5
et qu’ensuite à la place de i on substitue successivement i et — i, en observant que ,
on aura les deux suivantes :
da i — *+* • a (i — <»*) *4*« *
i — <t* '+* 1 — et* *+i
Si l’on retranche la seconde de la première, après l’avoir multipliée para, on trouvera, toute réduction faite , cette formule très simple
du
: (i -+. is -+■
on aurait semblablement
da
db
da
» » n\ | * 1 fl
Celte formule dérive d’ailleurs de la précédente, en y changeant i en — i. La différence de ces deux équations donne la formule (io); en les ajoutant on trouve
dbu7*
<ib
-ï*- + -fti— + — t0-0 - *±!***>.
La formule (i5) devient ainsi i%h o
En suivant le même procédé, on déterminera par
des formules très simples les différences successives
de bs , au moyen des quantités b) + l, b]+I , bs+l supposées connues.
Dans le cas où Ton suppose s s= £ , les équations (9) et (i 6) deviennent
Les formules précédentes, ainsi que les formules (11), sont sujettes à quelques, inconvéniens lorsque et est une très petite quantité; mais alors on tombe dans le cas d’exception du n° 18 , et au lieu d’employer ces formules, il vaudra mieux calculer
directement les différences successives de par le moyen des séries. En effet, si pour plus de simpli-
s. s -4- 1 n — vi. — — — i.i-h »
— rrn —
met* -f- -f- -f- 7**+^ H- etc. $
cité on fait
p = mn , etc. ,
la formule (m) donnera
çt en différentiant on aura
= im«'~‘ ■+• (f 4- a) n<t'+* 4- (i 4- 4 )p»,+J + (£-4- 6) + eic. ,
