C°) CO

successives de b 1 , b1 , etc. , au moyen des formu-

les(i2), (i3)et(i4)> dans lesquelles on fera £=£.

Enfin, si l’on suppose s = J dans les formules (5) et (6) , on aura

(*> (♦+*} rn ' (! *4* 3) b± — îa (a* — ï) b±

a ~~ 3(l — <xa)*

ou bien

On déterminera . au moyen de ces formules les quantités b$\ 6^, etc. , lorsque les quantités b\\

DU SYSTÈME DD MONDE. Si

, etc., seront connues; et en différeritiant ces

mêmes équations , on aura les différences succeàives des premières quantités en fonction des différences correspondantes des secondes. On pourra aussi calculer ces différences au moyen des formules (n), dans lesquelles on fera s=:%.

Ces formules sont celles dont l’emploi ma paru le plus simple dans les applications numériques ; elles ramèneront , comme on voit, les déterminations des

, A(°> 7 ^ Z00 / jl<°)

quantités p, bL , etc. b± , b? , bÈ , etc., b 5. , bb

b , etc. , et de leurs différences successives à celles

des quantités bL et b± -, il ne reste donc plus que

ces deux quantités à déterminer. Nous^avons montré dans le n° 5o, livre II, comment on pouvait y parvenir par le moyen des séries; ce moyen est celui qui se présente d’abord ; cependant il est plus expéditif' et plus commode, dans les applications, d’employer pour cet objet le calcul des fonctions elliptiques. Mais avant de montrer l’application qu’on en doit faire h la détermination des deux quantité? dont il s’agit, nous donnerons ici quelques notions générales sur ce genre de fonctions , dont l’usage est devenu presque élémentaire par les rapides progrès qu’a faits dans ces derniers temps l’analyse dans cette branche du calcul intégral.

22 . On appelle fonctions elliptiques toute espèce de fonctions différentielles dont les intégrales peuvent s’exprimer par des arcs d’ellipse ou d’hyperbole. Ces transcendantes sont* généralement comprises Tome lll. 6

ra-

rVdx.

dans la formule / , où P est une fonction

tionnelle de x , et R un polynôme en x du quatrième degré.

Tdute fonction de cette espèce peut se ramener par des transformations très simples à la forme

/ \/ 1— ëflsin^ 7 0 ** Q est une f°nc^on de oegre pair

de sin <p, , et c une quantité plus petite que l’unité. 11 suffira, pour Cela, dans la plupart des cas, de faire

= Vl

Bsin*$

„ , n et de déterminer convenable- C -+• D sma<p'

ment les coefficiens constans A , B , C et D.

Maintenant, quelque soit Q, pourvu que ee soit une fonction rationnelle de sin*<p, ou démontre fort aisément que l’intégrale J" '^==r^ peut se réduire

i°. à une partie algébrique, a° à une suite de transcendantes comprises sous la forme générale ,

dç

'A B sîri ç C + D sin’ <p y'l — ca sin“ <p ’

où A', B', C' et D' sont des coefficiens constans, réels ou imaginaires (*).

Or, la formule précédente, comme il est aisé de s’en convaincre , peut s’écrire ainsi :

H C b K Tel» 1-' 1— c*sin»e+L f-

J l/i — c*èin*ê J -J

i4-a »in> ‘ l/,c.,in,,‘

(*) Traité des Fondions elliptiques , n* 8.

De là la division des fonctions elliptiques en trois espèces distinctes , auxquelles on peut ramener toutes les autres transcendantes du même genre. Ces trois classes se nomment fonctions elliptiques de première , seconde Jet 'troisième espèce , et Ton désigné d ordinaire ces fonctions par les symboles' respectifs F (c, <p), E (c, <p) y n (c, a y <p),-en faisant '

silla Q

F («,») = fr^A=,

, J y i —y c si

t(*?,<p) = .f d<p [/ i — c siii^ y

n(c,a,<p)= f ; df

J (\ -4- a sm

(i + a sina<p) {/ i — casin'-V

ces intégrales étant supposées s’évanouir quand <p=o, et leur étendue dépendant de, la valeur quon assigne à cet angle.

La variable (p se nomme Y amplitude de la fonction, la constante c , toujours moindre que l’unité, s’appelle le module ; enfin la constante n, qui n’entre quô dans la fonction de troisième espèce, et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire, se nomme le paramètre .

• La fonction de seconde espèce E(c,<p) représente, comme on sait, un arc d’ellipse, et l’on a donne généralement lev nom dé jonctions elliptique es aux

ï — casin4^*

transcendantes comprises dansla formule f ^7

parce quelles arcs d’ellipse s’y trouvent compris , bien que cette intégrale puisse représenter encore d’autres courbes , et doive avoir une signification beaucoup plus étendue.

îéi THÉORIE ANALYTIQUE

Lorsque les intégrales re présentées par F(c, , E (c,(p) et n(cya, <p)> sont prises depuis <p = o jusqu’à <p= ~tt, 7r étant le rapport de la circonférence au diamètre , on dit que ces fonctions sont complètes, et pour les distinguer on omet l’amplitude <p <lans ledK. notation , ^en sorte que, dans le cas des fonctions complètes , on a ^

V i — c*»inap 9

E(c) = f' dp \A — c*sin#<p,

(i-f- asin'ty) }/ i — c’sin^

Enfin , pour abrégery on fait souvent y/ 1 — c%=b , ce qui donne b% + c% = i , et b se nomme le complément du module c.

Cela posé , considérons d’abord la fonction elliptique de première espèce , qui est plus simple que les deux autres. La plus remarquable de ses propriétés, c’est qu’étant données deux fonctions de cette espèce qui ont même module, et qui ne diffèrent que par leurs amplitudes, on peut toujours trouver par des opérations purement algébriques une troisième fonction de même espèce qui soit égale à leur somme ou à leur différence. Il suit de là qu’on peut tou jours déterminer algébriquement une fonction elliptique multiple ou sous-multiple d’une fonction donnée,, et plus généralement encore une fonction qui soit à la première dans un rapport quelconque ;

nu SYSTÈME Dtî MONDE. 85

propriété que les fonctions elliptiques ,de première espèce partagent avec les fonctions logarithmiques et Circulaires.

Les fonctions elliptiques dé seconde et de troisième espèce jouissent de propriétés analogues, mais moins simples. Ainsi on peut toujours déterminer algébriquement une fonction elliptique de seconde espèce qui soit égale à la somme ou à la différence de deux fonctions de même espèce , plus à une quantité algébrique , et enfin une fonction de troisième espèce égale a la somme ou à la différence de deux fonctions données de même espèce, plus à une quantité exprimée par arcs de cercle ou par logarithmes.

Comme la réunion des fonctions elliptiques de seconde et de troisième espèce comprend les arcs mesurés sur l’ellipse et l’hyperbole , on voit qu;il sera toujours possible de déterminer sur chacune de ces courbes, non pas comme dans le cercle, un arc égal à la somme ou a la différence de deux arcs donnés, mais égal à cette somme, plus ou moins une quantité algébrique. Cette propriété de ces deux courbes est d’autant plus remarquable qu’elle a été découverte par Fagnani > avant qn’on se fût encore occupé sérieusement de la théorie des fonctions elliptiques, et qu’elle a. pour ainsi .dire ouvert aux géo^* mètres cette carrière nouvelle* . ■. . ^

Euler, qui .généralisa* ce résultat et en donna la démonstration analytique , ‘fut conduit ainsi à comparer entre eux non seulement des arcs mesurés sur 1 a même ellipse ou sur la même hyperbole v mais encore

toutes les transcendantes renfermées dans la formule

fvré =^î. maïs dans ce rapprochement,

supposa toujours que les fonctions d’une même espèce avaient le même module, et qu’elles ne différaient que par leur amplitude, ou, ce qui rpvientau même, que les arcs que ces fonctions représentent appartenaient à la même courbe. Aussi cette • comparaison , qui lui fit découvrir sur la multiplication et la division de ces fonctions les beaux théorèmes, que nous avons énoncés plus haut , ne lui apprit rien relativement .à leur intégration,

Lagrange eut l’heureuse idée de comparer entre elles sous un nouveau point de vue deux fonctions elliptiques de même-espèce; il supposa que dans ces deux fonctions l’amplitude et le module varient à la fois, et il fut ainsi conduit.à une méthode générale, pour trouver par. des approximations successives les

intégrales de la formey"^=. . •

En effet-, Lagrange rein arqua d’abord que l’intégrale d’une fonction elliptique de première espèce

f- — — ^ s’obtiendrait sans difficulté par lés sé-

J Ÿ * — c*sin4ç> ' - ■ • . ■ . f •• • ...

ries , si c était supposé une" quantité très petite ou

une quantité à très peu près égale à l’unité. Ainsi

donc , si l’on pouvait ramener la fonction F(c, <p) à

une autre fonction F(c', <p'), dans laquelle le module c'

serait. moindre ou plus grand que c , et déterminer

algébriquement le rapport de cC.s deux fonctions, eu

opérant de la même manière sur celle-ci , on obtiendrait la valeur deêla fonction donnée , exprimée par une suite de fonctions de même espèce, dont la dernière serait intégrable d’elle-même, et l’on aurait ainsi un moyen très •simple de trouvé* les intégralès approchées fle toute espèce de fonctions elliptiques.

Soient donc F(c, <p) une fonction donnée, et F(c', <p') une fonction de même espèce dont le module c' et l’amplitude <p' sont arbitraires , si l’on pose lequation . t

ou' bien

dp

• c sin2p

dtp'

— c'“sin*^'

il s’agira de déterminer algébriquement pu , c' et <p' en fonction du module c et de l’amplitude <p, de manière à satisfaire à l’équation précédente.

Or, si l’on suppose

fi sin ç> ' cos 1 p' |/~i — c,a sin"0' ’

ou , ce qui revient au même ,

sinfap' — <p} = csimp , c' =t (>),• '

d’où l’on tire cos(2<p' — c p}= \/i — e’sin’p. Il est facile de s’assurer que ces valeurs substituées dans l’équation (Ç) donneront v • •

(*) Voir les notes à la fin du volume.

équation qui, comparée à l’équation (a), donne

/* <£= 2 - - = Il suit de là que les deux

fonctions F(c,<p) et F(c',<p'j sont entré elles dans un rapport constànt, quelles que soient les amplitudes <p et <p', pourvu que ces angles, ainsi que les constantes c et c', soient liés par les équations (y) ou par les équations suivantes qui en dérivent :

tang (<p — <?')=£' tang <p', b’— («T),

en supposant, comme nous l’avons dit, b= \/r — c*.

Les premières formules serviront à déterminer <p' et c' én fonction de <p et c; les secondes peuvent servir réciproquement à déterminer c et <D en fonction de cf et <p' supposés connus.

L’équation F(c, ip)= — — F (c', <p') ayant lieu quel

que soit <p , si l’on suppose <pd=^-, ce qui donne <p/ = i7r, en observant que d’après les lois de la multiplication des fonctions elliptiques de première espèce on a F(c',-Tr)= 2F(c,fît.) (*), on aura entre les fonctions complètes F(c) et ¥(ç') la relation très simple , T . .

. . . F(cO=(i. + c)F (c).

Passons aux fonctions elliptiques de seconde es-

(*) Théorie tles Fonctions elliptiques, u* ai.

DU SYSTÈME Dü MONDE. 89

pèce. Les valeurs de <p' et c1' tirées des équations ( y ) donnent l’équation différentielle

dtp' V/ 1 ; — e^sin'p' =

En faisant, pour abréger, A équation peut s’écrire ainsi :

dtp (c cos p -1* A)* a 2(1 + c)

= \A — ■ c* sin*p , cette

(1 -f- c)d<f>\ V7 1 — e'*sinV = —-(A* — ï&*+ccos<pA),

dl y • r • *

ou en intégrant on tire

(i+c)E(c', <p')=E(c, <p) — ïA‘F(c, <p)-f-csm<p. (/x)

Cette équation fait voir que la /onction de première espèce F(c, <p) peut s’exprimer par deux fonctions de secondé espèce E(c, <p), E(c', <pr), ou en d’auT très termes, que tout arc d’hyperbole peut s’évaluer par deux arcs mesurés sur l’ellipse; ce qui est l’énoncé du théorème de Landen.

Si l’on suppose <pr — ~ rt et <p = yr, on aura E (c', <p') = E(c') et E(c, <p)=E(c, 7r)z= aE(c). O11 aura donc* simplement dans le cas des fonctions complètes, r j r

Les formulas (a') et (ef) serviront à exprimer les fonctions F(c, <p) et E(c, <p) dont le module est c , au moyen des fonctions semblables F(c',<p') et E(e', <p’) , dont le module est c\ et réciproquement; car il est évident qu’on pourra déduire de ces mêmes équa-

9o "THÉORIE ANALYTIQUE

lions les valeurs de F (c',* ? ) et cleE(c', <p') et> fonction de F (g, <p) et de E(c, <p)~ Dans le premier cas , l’amplitude et le module de la fonction dérivée se détermineront par les équations (cP), et dans le second , on les déterminera au moyen des équations (5^).

Si, comme nous le supposons, c est une très per

tite quantité, on aura à très peu près c/=2\Zc, le module g' de la fonction dérivée sera donc alors

toujours beaucoup plus grand que le module c de la fonction proposée; si au contraire g' est le module de la fonction primitive , on aura , dané ce cas , à très peu près, g = -jg'*, et l’on passera du module très petit cf au modulé beaucoup plus petit g. On aura donc ainsi le moyen dé transformer toute, fonction donnée de première ou de seconde espèce en une autre fonction de même espèce, dans laquelle le module sera plus grand ou plus petit a volonté, que le module de la 'fonction proposée. On pourra ensuite faire subir a la fonction dérivée, des transformations analogues , et ainsi de suite à l’infini.

Cela posé, concevons que étant donnée une fonction elliptique de première espèce F(c, <p) dont il faut déterminer la valeur approchée, on forme une suite de modules c\ g", cm , etc. , liés entre eux par les équations ' . 1 ^ . * . * ! /

I rf C

77 ? etc. -> • ^

qu’on prolongera jusqu a ce qu’on arrive a, une valeur. de g peu différente de l’uaité ; qu’on détermine

les amplitudes correspondantes <p", <p",Ç> ", etc., par les équations \ t

sin(2<p' — <p ) = c sin<p , sin(^" — <p') 35= «'singf', . . sin(2<p* * — <p") = c" sin^'',

etc.

il en résultera une suite de fonctions de première espèce ( Fc, <p\ F(e', <p'), F(r", <p"), etc., qni seront liées entre elles par les équations

ty » 1 \ 1 “t**7

fouis.» 1; fi*»- '>«1

Pi t ». r „ I\ »-+*• I ~ c' .

etc.

Or , les • modules c c", etc. , comme nous l’avons vu , forment une suite qui croit d une manière rapide; cette suite a pour limite l’unité, qu’elle atteint au bout d’un petit nombre de termes; mais lorsque c est peu différent de l’unité , on a , à très peu près,

F(c> î)=/ TT = /^=1°8 ,aD« «fc+K

En nommant donc l’amplitude correspondante au modulé très peu différent dé l’ünité auquel on sé sera arrêté dans la suite ascendante c , c'f ç" , etc., et en faisant pour abréger

7r f etC.*,

on aura

F(c,<P) = Hlogtang(45'H-i®), (e)

Si p et qii’ on nomme 0' ce que devient alors

l’angle <£>, on aura pÆur le cas de la fonction complète- . ... ,

F(c)=H logtang(45- +**')•

Voilà donc la valeur de l’intégrale donnée exprimée én fonction d’une quantité logarithmique facile à calculer, multipliée par un coefficient constant, et la question proposée est par conséquent, complètement résolue; mais on voit, d’après ce qui précède, qu’on peut encore exprimer d’une autre manière la valeur de cette iqème intégrale.

En effet , la suite croissante des modules c , c', c", etc. , qui a pour limite l’unité, peut être prolongée indéfiniment dans le sens opposé; elle sera alors décroissante et aura pour limite zéro. Désignons par c, ct, clt, cltJ, etc. , les difFérens termes de cette suite que nous supposerons liés entre eux par les équations

~ —S c... = -V— * , etc,

ou, ce qui revient au même, parles équations

i -b i -ib

etp.

Nommons 0;, <pu , Qa, etc. , les amplitudes correspondantes aux modules clt cu , clip etc. , et déterminons leurs valeurs par les équations

tang (0V — <p) = b taog 0 , 1

. teng (<P/, — <P, ) = b' ^ng 0, , > (»)

tang (<?/// — J = tang 0^, | etc. ;

on formera ainsi une suite de fonctions F (c, 0), F(C/ , <p ) , F(c;j , 0/(), etc., qui seront entre elles dans des rapports constans , en sorte qu’on aura

t,)=rï7, ■ rh,F(c ■ »>•

etc.

. Les modules c/f ct, cut\ etc., décroissént très rapidement , et s’approchent promptement de leur limite zéro. Or, dans le cas où c est supposé très

petit , on a à fort peu près, J' ^=^===/f/0 = 0 ; .

en nommant donc <t> l’amplitude correspondante au module auquel on s’arrête, et en faisant

1 + c. - 1 +Cm

etc. ,

Digilized by GoogI

g4 THÉORIE ANALYTIQUE

<jn aura . •• .

Lorsqu’on suppose <p — ± tt les équations (») donnent <ç==.7r, <pt=zTt , <p-=4'7r....<p,:==3\57r, etc. ; 4> désignant donc la limite de ces angles, si l’on fait ,

K as (t H- ct) (i + C„) (t +cj , etc., (*) on aura pour le cas des fonctions complètes *

Ainsi donc il y aura toujours deux manières d’exprimer une fonction elliptique de première espèce, dont le module et l’amplitude sont donnés, par des arcs de cercle , àu moyen de la formule (0) , ou par logarithmes au moyen de la formule (s). On choisira la première ou la secdnde de ces formules, selon que le carré du module ca de la fonction primitive s’approchera davantage de l’une des deux limites zéro ou l’unité , afin de diminuer, autant que possible le nombre des transformées; et de cette manière on n’aura jamais à calculer qu’un, petit nombre de modules et d’amplitudes correspondantes , pour arriver à une valeur suffisamment exacte de l’intégrale pherchée. . , .

Là même 'méthode d’approximation s’appjiqye aux fonctions de la seconde espèce , mais les formules deviennent plus compliquées à cause de la quantité algébrique qu’elles renferment; cependant, comme

cette partie disparaît dans le cas des fonctions complètes,<et que dans les applications que nous ^ ferons de cetté théorie nous n’aurons que dé pareilles fonctions à considérer, nous traiterons ici ce cas parti* culier, et les formules que nous obtiendrons seront

encore assez simples. . .

La formule (jU) donne la suivante

Les valeurs des fonctions E[c/f <p;), E(^, (pj* etc., seront données par des équations semblables ; on pourrait donc en- déduire la valeur de> l’intégrale E(c,<p), en fonction descelles de ces quantités qu’on voudra choisir , mais la réduction de la forOiulè à laquelle on parviendrait de cette manière serait pé^ nible; il vaut mieux, pour l’éviter, mettre sous une autre forme la formule précédente. Soit généralement G(c,(p)=*=E(c,(p)— *F(c,<p), on trouvera, en vertu de l’équation (à) #

G( c,<p) = — - [G(c„<p,) — c,F(c,,<p,) + c,sin<p;] ;

et par des transformations semblables > on trouvera

c/6\rup/

G(c;, <p,) = -—[GCc,,?,) — c(lF(c(„(p/i).+ c;jSin '<pj ,

G(c„<p^ s= 7^r-[G — ^F(c.,<p,)+c^in<pJ ,

etc.

Au moyen de ces équations on déterminera par des substitutions successives la valeur de G (c,<p) en

g6 THÉORIE ANALYTIQUE

fonction* des quantités G^,^) ,• G(cn,Qn) des fonctions F(tf;,$y), F(g/i9<Pu) 9 et de quantités algébriques.

Supposons qu’on ait calculé la sûite des quantités G (c,<p), G (cy, $,), etc., jusqu’au terme G(c*, <p4) correspondant au module ct que nous regarderons comme assez petit pour être négligé, on aura \/ 1 — •c*sm*<Pj==ii , et par suite E (C|,<ft) = F (ch<pt) = f dtp1 = $. En nommant comme précédemment O la limite des angles <p, <Pi,> etc. , on aura donc alors G(c/,<pi)= o. Si Ton

suppose <p = ~7T y on aura <1> = y et les angles

<py, tpllf etc., seront tous des multiples de la demi-circonférence, ce qui fera disparaître la partie algébrique des équations précédentes. On aura donc, en substituant pour F (Gjt,<pJ etc., leurs valeurs en

h-o* "*'(* +c j,+ tlc,3

En mettant pour G(c) sa valeur E(c) — F(c) , et en observant qu’on a •

c — (, +cy c‘

' (> + cj

y etc.,

on en conclura

E(c) == F(c)[i — + ^ c,+ J c,c„ +etc.)J

Ou bien en faisant, pour abréger,

L==,—^c*( 1 +îc/+ic/c«+etc>) > (?)

et en observant quon a F(c) = K ^ , on aura , pour le cas des fonctions complètes ,

' E(c) = KL|. .(«,) '

Cette formule peut s’appliquer non -seulement à

des valeurs de c plus petites que

- , mais meme a

des valeurs peu differentes de l’unité ; elle suffit donc pour tous les cas que l’on peut avoir à calculer. Cependant , si pour compléter cette théorie on veut voir ce que deviennent , par rapport aux fonctions de seconde

espèce , les formules relatives à 1 echelle ascendante * ^ ^ • » •

des modules, reprenons l’équation ( w,) ; en substi-

tuant pour F(c,<p) sa valeur — — — elle donne

la suivante : <

E ( 1 + c)E(c’,<p') + (1 — c) F(c',<p') — csin ip,

et semblablement

E (c',v') = ( 1 -+-c'jE(c",<p") +( 1— c')F(c",(p")— c'sin<p', E(c",<p")=( 1 -+-e")E(f"',<p"')-f-( 1 -c")F(c'",<?'") -c"sin<p",

Soient E(c*, <?>*), F^p1), les valeurs de E(c,<p), F(c,<p) correspondantes au module c^que nous supposerons assez voisin de l’unité pour ne pas pousser plus loin la série , on aura

V i — ^‘‘sin^p* = cos <p‘ j Tome III. 7

gg théorie analytique

par conséquent . , .

E(e‘,<p‘) = /cos<pW = sin <p‘ ,

F (c% <P0 = = loS ta“g (45° + Ï^O-

Dans le cas des fonctions complètes il faut supposer <p c - 7T , et calculer les angles <p', <p", etc., par les

équations (r) ; mais cette supposition ne ferait pas disparaître les quantités algébriques des formules précédentes, On ne peut supposer non plus <p‘=parce qu’alors la valeur de F( c‘, <p‘) deviendrait infinie ; mais si l’on fait <p<- = ce qui n’est sujet à aucun inconvénient , on trouvera , en remontant ,

or ’• .. j -*■

. __ 2i— ï. En substituant donc pour F(c', <p') ,

Ffc" ®"), etc., leurs valeurs , et réduisant les expressions résultantes , en observant qu’on a généralement

•’ . • ' Aa

on trouvera

X V (b‘ i j b b b ' -4- etc 4

<+• sm <p K' * 1 4- c1"1*

Mais l’équation tang (*'- - <P‘) = dans

l'hypothèse de «f- = ; » , donne tanS ** =

d’où l’on tire sin <p* == -7===- 1 - h1 inv

>.i .7 ■ \/i 4- b1 7. ° 9 aUX

quantités près de l’ordre (£')• que l’on peut négliger,

puisque l’on suppose à très peu près cl = 1* On aura

ainsi

ni

éf

ï + Cl~\

2 Ci~l \