I -f- cf

Ou a d ailleurs

Eu faisant donc.

K- +r+ir+T£+«*).

on aura pour le cas de la fonction complète : E(CJ = ^r- •< °g tang (45° + <p* ) 4-

Cette formule s’applique au cas où le module est peu différent de l’unité ; elle suppose seulement que l’on à poussé la série des modules assez loin pour que (b1)* soit une quantité négligeable, ce qui permet de faire c' = 1 .

La suite des quantités croissantes c , c' , c ", etc. , dont la limite est l’unité et la suite des quantités décroissantes c/f cu, cw, etc., dont la limite est zéro , n’en forment qu’une seule liée par la même loi et qu’on peut écrire ainsi .

limite o c c , c , c, c',c",c'" limite i.

Cette suite, qui peut être prolongée indéfiniment

lOO

THÉORIE ANALYTIQUE dans les deux sens , est Ce qu’on appelle une échelle des modules, et l’on voit que les fonctions F(c, <p) , E (c, peuvent être transformées en une infinité

d’autres fonctions de même espèce , qui auront pouf modules les différens termes de cette échelle.

La précédente échelle a d’abord été découverte par Lagrange ; la loi de sa formation est très simple ; mais cette loi peut varier, et par conséquent il peut exister différentes échelles de modules pour la même fonction elliptique. Long-temps après Lagrange, Legendre en découvrit une seconde dont la loi est plus compliquée, mais qui jouit de propriétés analogues. Enfin , dans ces derniers temps, on a démontré qù*on pouvait former une infinité d’échelles de modules , à chacune desquelles correspondra par conséquent une infinité de transformations diverses de la même fonction elliptique en d’autres fonctions de même espèce, dont les modules seront tous déterminables par des opérations algébriques. La démonstration de cette belle propriété des fonctions elliptiques fait l’objet du célèbre théorème dû à M. Jacobi , dont les travaux, ainsi que ceux de son émule l’ingénieux Abel, trop tôt ravi aux sciences * ont donné tout à coup un nouvel essor à cette branche d’analyse au moment où on la croyait épuisée. Cependant, tout en rendant justice aux savantes recherches de ceux qui , après Lagrange , se sont occupés de la théorie des fonctions elliptiques, nous devons dire que sous le rapport du calcul pratique de ces fonctions, qui est le véritable but que l’on doit se proposer, leurs travaux n’ont rien ajouté aux résultats obtenus par ce grai

<fv.

DU SYSTÈME DU MONDE. i«i

mètre. En effet, cette multitude d’échelles de modules dont ils ont démontré l’existence , en permettant de varier à l’infini les transformations des mêmes fonctions , a conduit à la découverte d’un grand norftbre de propriétés neuves et intéressantes dont s^est enrichie l’analyse ; mais relativement à l’intégration de ces fonctions , elle n’a fait que reproduire sous des formes diverses la même méthode d’approximation , sans conduire à aucune intégrale nouvelle; et comme de toutes les échelles celle de Lagrange est la plus simple et la plus facile à former, c’est en définitive à celle-ci qu’il faudra recourir toutes les fois qu’on voudra calculer numériquement les fonctions elliptiques qui se présentent dans un grand nombre de questions de Géométrie, de Mécanique ou d’Astronomie. Legendre est donc, après Lagrange, celui qui a rendu le plus important service à cette partie du calcul intégral; il a fait pour les fonctions elliptiques ce que les successeurs de Neper avaient fait pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques ; il a construit des tables au moyen desquelles on peut, dans chaque cas, trouver la valeur numérique de toute fonction donnée avec toute la précision désirable , sans être obligé pour cette recherche à des calculs laborieux. Le secours de ces tables rend l’emploi des fonctions elliptiques d’une application aussi facile que celui des fonctions logarithmiques et circulaires. Ce travail , moins brillant sans doute que tant d’autres du même auteur, est celui qui doit peutêtre lui mériter le plus la reconnaissance des géomètres, par les soins qu’il a exigés et par son utilité.

THÉORIE A5iAi.YT.lQUE Nojii aurons plusieurs fois, v dans la suite de cet ouvrage , l’occasion den faire usage* . y

2 5. .^Rè prenons 'les valeurs des deux quantités b±

et b{!] qui nous reslent à déterminer. D’après la

formule ( i ) on aura

I ? "" 9rJ o y/ i — 2à<

2stC0Sp -f* *a r

j,’ d<p COS <p J

£ rr“ srj o \/T — 2«ecos<p 4-&a

II y a plusieurs moyens de ramener ces deux intégrales à la forme des fonctions elliptiques. Soit sin (<p -f- 0) = & sin 0 , d ou l on tire

cos (<p + 0) l = V 1 — sii* 9-.

Faisons pour abréger A = V" i — a*sin*î, ces. deüx équations donnent en diflférentiant . , ,

S{* cos 9 — a)

En vertu des mêmes équations on a d ailleurs

cos ® m:&sina 0 *4* cos 0 A. j • -

et par suite

vr— âôTcos (p + “* = v'a*c0s*® — S!t cos 0 A + A*

= a cos 0 — A.

On aura donc ’

d<p dl

ÿ i : — 2# cos ç> *A

d<p cos <p 4- cos6a)-

V/ 1 — 2*«osp 4- A ,

DU SYSTÈME DU MONDE. io3

Si l’on intègre ces deux formules en observant que a*sin*0= i — A*,, et que l’intégrale f r/Ocosô devant être étendue depuis 0 = o jusqu’à 6 =27 r, ce terme

est nul entre ces limites , les expressions de b^ et

de b j deviendront »

,(o) 1 r™ àj

j xJ o V1 — a,sin,( ’

f" d» v, - asa- r -r»^Wy

1 <tx \J o J o Y J— a'sin’S/

Désignons par F(a) et E(a) les fonctions complètes de première et de seconde espèce relatives au module a, c’est-à-dire celles qui se rapportent £ des

intégrales prises entre les limites 0 == o et 0 = - ,

on aura /*., ■■ — ^ - — 4 F(«),

J o y i — srn’ t

f** e?0 \/i — a'sin'ô = 4E(a).

Les intégrales indiquées devant s’étendre depuis 0 = o jusqu’à 0 = 2 7T. On aura donc ainsi

41;1 = i F («) , *f.° = [F (CL) - E (*)]. ( 1 8)

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations (5) du n* 19, après avoir fait s = 1 = 0, on aura pour

déterminer les coefficiens b[ ' et b\ J ,

io4'' . THÉORIE ANALYTIQUE'.'

et eu faisant ensuite s = - dans ces mêmes formules,

on en déduira

. 3(i “h a4)^lî ;*f* 2*^3/

3(l — aa)a *

Ces valeurs ainsi déterminées, on peut déduire facilement tous les autres coefficiens des fonctions