V-i, V* et V

. Il ne s*agira plus que de déterminer les quantités F(a) et E(a). Pour cela, si Ton veut les calculer directement, il faudra , conformément à ce qui précède, former la suite des modules décrôissans <t/f et*, etfll9 etc. , jusqu a ce quon soit parvenu à une valeur peu différente de zéro; on en déduira les valeurs de K et L par les formules (jc) et (£) ti° 22, et en substituant cés deux quantités dans les formules (a), on aura les valeurs de F (a) et E (a). Mais il sera plus simple de déterminer ces deux fonctions par le moyen des tables de Legendre.

Enfin, si Ton voulait faire dépendre comme dans le n° 5i du livre II, la détermination des quantités

b \ , b[^ , etc. , de celle des deux quantités

et ^ont les développemens en série sont plus

convergens, on aurait:

(o) I f'iir . /• — — ■■ — 1 ■

b x — - f d(D V 1 — COS<P + CL *

"a TT J o

b \ = - d(p cos<p V x 1 — 2acos^-f-at*

DU SYSTÈME DU MONDE. io5

Expressions qui, par des transformations 1res simples, se ramèneront à la forme des fonctions elliptiques.

Les formules précédentes sont , à ce qu’il me semble , les plus commodes que l’on puisse employer pour le calcul numérique des premiers coefîiciens

b\ , . bt , etc., et cette manière de les déterminer

me paraît à la fois plus simple et plus exacte que celle des séries. Elle réussit surtout lorsque cl est une très petite quantité , en sorte que la quantité i — et ne diffère que très peu de l’unité , et l’on n’a besoin dans ce cas de calculer qu*un petit nombre de termes de la série ay, aJt, <x/jr etc. , pour arriver à des résultats aussi exacts qu’on peut le désirer. Lorsque la différence i — et est au contraire très petite, on est obligé de pousser plus loin la série des modules; mais le nombre qu’il en faut calculer n’est jamais bien considérable ; et d’ailleurs la théorie des fonctions elliptiques offre alors des moyens de profiter de cette cir- 1 constance même, pour simplifier les calculs et rendre les approximations plus rapides. On peut aussi alors faire usage des formules relatives à la suite ascendante des modules et l’on doit remarquer en outre qu’alors et étant supposé très peu différent de l’unité , ce cas est celui où l’on ne peut employer la méthode des séries à cause de leur peu de convergence.

Eu fin , comme nous , l’avons dit, des tables très exactes ayant été construites pour les fonctions elliptiques, on pourra déterminer par leur moyen , presque immédiatement et sans aucun calcul, les valeurs des quantités F(a) et E(a), quel que soit le module a.

io6 THÉORIE ANALYTIQUE

et les valeurs des coefficiens bf* , b\'\ bf\ Si ' , s’en

déduiront par les formules 'v 1 8) et (19).

Pour appliquer ce procédé à un exemple particulier, supposons qu’il s’agisse de développer les trois

fonctiôns(i — 2acos<p-j-«*)“» , (i — aacosa-f-<p*)~ * et

( i — 2 a. cos <p + a*) ~ * , relatives à l’action réciproque de Jupiter et de Saturne. On aura dans ce cas

a. = o , 5453io24 ,

et par les tables des fonctions elliptiques on trouve

relativement à cette valeur du module

Ces valeurs, substituées dans les formules (18), donnent

b ^ = o.62o633oo, d’ou l’on conclut

- •èi°)= 4. 55828700,

bf = 3.i8538554,

et par suite

bf\ = 1 3 . 7985poo , ■

fi

. . bKP = 12.4x80486.. ..

Au moyen de ces valeurs on pourra déterminer , par les formules du n° 2 1 , le coefficient de l’un quelconque des termes du développement en séries des

trois fonctions ( 1 — 2«cos<p+a*) *,(ï — 2acos<p-f-a*) a

JJ • t‘ •'

et (i — • 2acosp-f-aa)~ 2 , quel que soit l’ordre de ce

terme. . . ,

24. Connaissant par ce qui précède les valeurs des quantités b^, b[^ , etc. , bf \ ! b^ , bf^ , etc.,

a 'a a a ^ . à fi

^5 5 b®, etc., et de leurs coefficiens différentiels

fi 3 a

successifs, il sera facile den conclure les valeurs des quantités A(o) , Aco, Ac0, etc. , BCo), B0), B°°, etc. , CCo), C(,), CCa), etc., et de leurs différences successives tant par rapport à a que par rapport à a'. En effet , nous avons supposé

(a* — iaa' cos$ -f- a'a)”"* — ■ a C~--9 ss - A(°>-4-A0)co5a-f-A(*)co8 aa-f^tc.,

et en faisant a =

(1 — a* cos 0 -f- a,3) ft = - bi cos p+b± cos a^-l- etc.

On aura donc généralement f en Comparant ces*

deux séries ,