AC

et dans le cas de i — 1 ,

io8 THÉORIE ANALYTIQUE.'

En différent iant ces valeurs et en observant qu’on a

da. i

-j — = -t, on aura , da a

da d*

et pour le cas de i = i

<*AO l ^

En différentiant de nouveau , on trouvera dans le cas même où i— i

æp£'i

" da%

— et * ^ • def

cPKV)

“ d* * da?

etc.

D’où l’on conclura généralement

W j - t m Ct . •

aû® <2

Le cas où l’on a à la fois m— i ef>* = i étant seul excepté.

* * De même nous avons supposé

(«* — *aar cos a>-4- «'•)“* â__L —l BC°) 4- BCO cos a -f-BC») cosae» 4* etc.-

(a* — a«ra' cos$ -f* a'*) a = - CC°) 4- C(0 cos ^ 4- C(’) cos a? 4- etc.,.

etc.;

[\ — a* COS A -f* et*) 4 == - &3 4* ^3 cos 4 4“ ^3 CoS 4" e*c< »

*(r — oacos 4 4- A1)-* = - &5 4* *5 COS -f- fcs cos 34 4* etc. -

On aura donc en général . ,

et dans le cas dé i = o ,

En différentiant successivement ces valeurs, on en conclura généralement

é^ÈCO

Ja01 .

d"CtO

dam

mlM)

dmb

da “ ’

da'

L’emploi des quantités b^\ b[ etc. , b^ ' , etc. ,

J(o) etc., a l’avantage d’introduire de l’uniformité

dans les formules, et de simplifier les calculs, parce ces quantités et leurs différences relatives à et servent k la fois à la détermination des inégalités des deux planètes troublées par leüF action réciproque. Il conviendra donc d’introduire ces quantités et leurs différences dans le développement de. la fonction R, à la place des quantités A^, A^, etc. , \ B^, etc. ,

çp) C(l>, etc. , et de leurs différences relatives, soit à a7 soit à a'. Cette- opération sera facile, au moyen

IIO

des formules précédentes , lorsque les différences relatives à a. auront été converties en différences relatives à a par les formules du n* 52 du livre II , qu’on peut prolonger aussi loin qu’on voudra, c’est ce que nous avons fait dans le n° 6 et éuivans. On peut d’ailleurs, popr éviter toute opération inutile, exprimer de suite les différences relatives* à a1 en fonction des

quantités b^\ b) \ etc. , b\\. b^\ etCi, b^\ etc. ,

ïï a ï si a a

et de leurs différences ; on les obtiendra très aisément par la différentiation successive de l’équation .(21), • . - . . • . -v: ,v-

25. La méthode par laquelle nous avons ramené à la forme d’intégrales définies les expressions des divers coefficiens du développement de la fonction ( a% — 2aa' cos <p + a'*)~s s’appliquerait de même au développément de toute fonction donnée, en série de fonctions périodiques de la variable, du moment qu’on est d’avance assuré que cette fonction peut être exprimée par une semblable sérié.' ' ’ • • •

Si les intégrales indiquées peuvent s’obtenir, elles donneront, sous forme finie, l’expression des coeffi-

ciens du développement de là fonction proposée. Si intégration est impossible par lès méthodes directes, CÔmme l’expression dé chaque coefficient est donnée sous la forme de quadratures, on pourra toujours* eqi détehniner la valèur par les méthodes d’approximation connues, avec tel degré (Fèxàctitude qu’on voudra. Dans tous les cas, dette éxpréMsion indiquera les relations qui lient ce côefficient à ceux qüi Je précèdent, et ramènera , par Conséquent > leur déterminai

tion générale à celle d’un petit nombre d’entre eux. 9

Cette manière de former le développement d’une fonction peut être principalement utile quand char cnn de ses coeificiens est lui-même exprimé par une série infinie ; en sorte qu’on ne, saurait avoir sa valeur exacte par aucune autre' méthode. C’est ainsi , par exemple, que dans les 'formule# du mouvement elliptique chacun des coeificiens des séries qui, expriment le rayoti vecteur et la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne, forme une suite ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de l’excentricité de l’orbite. Lorsqu’on vent réduire ces expressions en nombre, il est donc bon d’avoir le moyen de calculer ces coeificiens par des formules indépendantes des excentricités, et qui indiquent clairement le degré de petitesse des quantité^ négligées. ■

Mais c’est surtout dans la théorie des perturbations planétaires que l’emploi de cette méthode pourrait être d’une grande utilité, car les coeificiens des différens termes du développement de la fonction perturbatrice , en sinus et cosinus des multiples des moyens mouvemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice, étant également des séries ordonnées par rapport aux excentricités et aux inclinaisons n* 4 > l’on parvenait à évaluer ces coefficîens par le moyen des quadratures paraboliques, non-seulement on éviterait les pénibles calculs qu’exige le ’ développement de cette fonction, mais encore on arriverait, dans la recherche des inégalités planétaires,

ii2 THÉORIE ANALYTIQUE

à des résultats beaucoup' plus certains que ceux qu’on obtient par les méthodes ordinaires, parce qji’on n’est jamais bien assuré que quelque circonstance particulière ne rendra pas sensibles des inégalités dépendantes des puissances des excentricités et des inclinaisons qu’on a cru pouvoir négliger.

On a donc dû chercher à étendre la méthode précédente au cas où la fonction qu’il s’agit de développer rfenferme à la fois deux variables, et où la série qui l'exprime doit être une suite de shius et de cosinus des rtmitiptes de ces variables. Supposons > en général , la fonction R développée en une suite de termes périodiques de la forme

K,/ cos («p — i'p') -f- K/,/ sin (i<p — i’tp') ,

dans lesquels <p et <p' représentent les anomalies moyennes de la planète troublée et de la planète perturbatrice , i et ï deux nombres entiers qui peuvent avoir toutes les valeurs positives ou négatives, y compris zéro. En n’ayant égard qu’à ces ternies, on aura 1 .

, R = K,/ cos (itp — i'<p' ) -f- K',/ sin (itp — i'p').

Si l’on multiplie successivement par.

cos (i<p -f- i'<p') dp dp' et par sir» {ip -|- i'p ') dtp dp' les deux membres du cette équation , et qu’on intègre entre les limites o et vrr , il est aisé de voir que tous les termes du développement de R dépendant d’un argument différent de ip — i'p' disparaîtront deux-mêmes^ en sorte qu’on aura t

K./ = R cos ( i<p - ï<p')d<p d<p>,

Kd = ~ rr R sin ( i<p - ty) dpdf;

les inte'grales devant être prises depuis <p=o jusqu’à <p = -Tir > et depuis <p'=o jusqu’à p' = 27r.

Si l’on désigne, comme nous le faisons, par F le premier terme du développement de R, ou celui qui répond au cas où l’on fait à la fois i = o et of cette formule devient

Les coefîiciens du développement de la fonction R se trouveront donc ainsi exprimés au moyen d’intégrales définies doubles, et il ne restera plus qu’à chercher les méthodes les plus simples, pour en déterminer les valeurs approchées avec le plus d’exactitude possible.

Cette manière d’exprimer les coefficiens du développement en série de la fonction perturbatrice, n’est qu’une extension du procédé employé parD’Alembert pour calculer les valeurs de ces coefficiens relatifs aux termes indépendans des excentricités et des inclinaisons, ce qui réduit les expressions de K* y et K'| y à des intégrales simples prises par rapport à <p et <p'. M. Poisson, en l’indiquant pour la première fois, concevait en même temps l’espoir que par quelque artifice d’analyse on parviendrait a réduire ces intégrales doubles à la forpe d’intégrales simples ; mais il ne paraît pas qu-on y ait réussi jusqu’ici } èt le seul Tome III. 8

moyen qui se présente pour les calculer, est d’étendre à deux variables la méthode des quadratures paraboliques. Cette méthode consiste, comme on sait, à regarder l’intégrale dont on veut déterminer la valeur, comme l’aire d’une portion de courbq parabolique comprise entre des limites données, et à partager ensuite cette aire en un assez grand nombre de parties pour que chacune d’elles, regardée comme un petit trapèze curviligne sur l’un de $es côtés , puisse se déterminer, aussi exactement qu’on le voudra , par les moyens du calcul différentiel : la somme de tous ces trapèzes sera la valeur de l’intégrale cherchée.

Supposons donc le cas où la fonction qu’il s agit d’intégrer comprend deux ou un plus grand nombre de variables. Soit, par exemple, fjrdxdz une intégrale quelconque dont il faut trouver la valeur approchée entre des limites assignées à x et à z, en supposant y une fonction connue de ces deux variables ; en sorte qu’on ait y = fonct. (.r, z). On pourra regarder y comme l’une des trois coordonnées d’une surface parabolique dont les deux autres coordonnées sont x et z ; et la question consistera , par conséquent, à cuber le solide compris entre cette surface, le plan des xz, et les plans menés parallèlement à ceux des xy et des yz, aux limites des coordonnées x et z. Nous prendrons pour ces limites x — O, x — a et z = o, z=S, et nous supposerons que pour les deux premières valeurs de x et de z on ait fydx dz — o ; ce qui est permis, puisqu’on peut toujours placer l’origine des coordonnées au point où commence le solide cherché, et

DU SYSTÈME DU MONDE. n5

faire, par conséquent, que x et y s’évanouissent en même temps que l’intégrale fydxdz .

Nous supposerons en outre , conformément à ce qui a été ditn0 34, livre III, que dans l’intervalle compris entre les limites x =o et x—a, z=o et 2 = b9 l’ordonnée^* reste toujours de même signe, de manière que le solide qu’qn ^eut cuber soit compris tout entier du même côté du plan des xy ; s’il en était autrement, il faudrait chercher successivement les différentes parties du solide, situées soit àu-dessus, soit au-dessous du plan des àcy, et retrancher la somme de celles qui sont comprises dans un sens de la somme de celles qui sont comprises .dans l’autre.

Enfin, nous supposerons que dans l’intervalle compris entre les limites assignées à l’intégrale, la courbure de la surface n’éprouve aucune variation de nature à rendre infini l’un des coefficiens différen- . -, dod dr dy ,u^s Sp » Tz ’ <&’ etc‘

Cela posé, divisons en n parties égales l’un des côtés de la base du solide que nous voulons évaluer; soit a7 Tune de ces parties, en sorte qu’on ait b =/*#'. Si l’on mène par chacun des points de division des plans parallèles à celui des xy, on pourra regarder le solide cherché comme étant la somme de tous les petits solides curvilignes dont la base est a>'a . Divisons de même le côté a en m parties égales, soit a=moù'y par chacun des points de division menons des plans parallèles à celui des yz : il ést évident qu’on pourra considérer le solide représenté par l’intégrale fydxdz comme étant la somme de tous les petits parallélépi-

pèdes curvilignes dont la base commune est au', et dont les hauteurs sont les valeurs que prendra z lorsqu’on y fera simultanément z=o et.r=o, x~u , x = ico, x = 5u, etc., jusqu’à x=(m — i )u; puis z = a', et de même x = o, x — u, x—i a , etc. , jusqu’à x = (m — i)û>, et ainsi de suite jusqu’à z = (n — i )u' et x = o ,x=^u, etc. } c’est-à-dire que comme nous avons supposé^- — F(x, z), si l'on désigne généralement pâr Yi it, ce que devient y lorsqu’on fait simultanément x=ziu , z — i'u', les valeurs successives de y seront

Y».» — F(o, o), YIl0=F(«,o),... Ym,i0=F[(rn — i)*r, o], Y0l, = F(o,«'), Y,tl = F(«, Ym, ( ,=F[(m — i )• , *»'],

Y0|» =F(6,24)'), Y,,,=F(»,2#'),... T^^.sFKm —

Y,,*., =F[(a»,(n— 1)»/]. . .Ym,,,,=F(i»i — i)»'].

I,a valeur approchée du premier solide sera égale à wu\.t „ , celle du second à au Y, 0 , et ainsi de suite ; on aura donc pour la somme de tous ces solides , ou pour la première valeur approchée de l’intégrale cherchée :

fyclxdz=au(y #i 0 o 0 +Y,,1( .)

-\-uu(\,t , +Y,, , +Y,t +YM t> ,)

-f-aifiy’(Y0f «1+YliJ,,-f-Y1 a,...-f-Y„l B,).

On peut encore , en commençant par les derniers solides dans lesquels nous avons décomposé le cube

DU SYSTÈME DU MONDE. n7

représenté par fydxdz , regarder ce cube comme la somme de tous les petits parallélépipèdes curvilignes dont la base commune est coco' , et dont la hauteur est la valeur que prend z lorsqu'on y suppose simultanément z — ti'jù et x = moù , x = (m — i)cd, etc. , jusqu a 3c-=i(jùy et ainsi de suite, en remontant jusqu'à z — © ' et x = tjiûo , x = ( m — i ) dw.. . x = ct>. On trouvera ainsi une nouvelle expression de l’intégrale cherchée; la première représentait la somme des petits parallélépipèdes inscrits au solide qu’on veut évaluer, la seconde sera celle des petits parallélépipèdes qui y sont circonscrits. En prenant donc la demisomme de ces deux expressions, et en observant que l’on a de la même manière , en ne considérant que les deux tranches extrêmes du solide ,

»«'(Y0,04YI>0 4- Ya,Q...4 Ym,>0)

= «û'/(îY0)0 + YI|o+ Yt>0...-f-'Ym,l0 - h ïYm, 0)>

*4',(Yi,»*fY,)n+ Yj.B.-.+ Ym,»)

— - ciU (fYo,„+ 4 Ya>n...-f- Ym 1> n-f- âYm>a) y

on trouvera pour l’expression de fydxdz plus approchée de la précédente

Çydxdz~^.(^ o, Q+'ii , o+ « • • •+ Ym , j0+^ ;Ym ,*,) ,

«+Y , f »+Yft> , . . .+ Ym 1( Ym> 1) ,