Q^°,.+Y,,.+Y, .. . .+Ym, „+ Y

Cette formule représentera d’autant plus exactement la yaleur de l’intégrale J'ydxdz , que le nombre des parties dans lesquelles on aura divisé a et b sera plus considérable , puisqu’il est évident qu’en multLpliant le nombre des parallélépipèdes élémentaires leur somme approchera davantage du solide cherché. On a donc ainsi un moyen de calculer l’intégrale fjrdxdz avec toute la précision qu’on pourra désirer ; on pourrait d’ailleurs déterminer analytiquement la correction qu’on doit appliquer à la formule précédente, pour avoir une valeur plus exacte de l’intégrale qu’elle représente ; mais comme cette formule de correction serait très compliquée , et qu’ôn en ferait bien rarement usage dans la pratique , nous ne nous y arrêterons pas ici. *.

Appliquons maintenant les considérations précédentes au calcul des formules*

R cos ( i<p — ? <p') d<pd(p' y

R sin ( i<p — i <p') dqdtp' ,

où les doubles intégrales doivent être prises depuis $ et <pr égaux à zéro , jusqu’à <p et <pr égaux à 27 r.

Si l’on suppose * ' ,

-- f ** R cos i$ça$ir<p'd<pd<p' , v J o J o

l— f** f R sin kp cos i'q'dtydq' , J O J O

f f R cos 2<psîtK i'ty'dqdty f ,

Les intégrales étant prises dans les mêmes limites que les précédentes, il est clair qu’on aura K4 y= A-f-B et K \{ — C — D ; on aura par conséquent les valeurs de K, y et de K', /, dès qu’on connaîtra celles de A , B, C et D. Occupons-nous donc de calculer ces quatre quantités.

Commençons par la première. Si l’on veut comparer son expression à celle de 1’intégrale générale fydxdz, il faudra supposer <p = x , <p' = z et

jr=F(x, z ) = R cos i<p cos i'p' . Les intégrales relatives à <p et <p' devant être prises depuis <p =5 o jusqu’à tp = 2T, et depuis <p' = o jusqu’à <p' == 2 7T , si l’on suppose la circonférence entière divisée en m parties

égales, qu’on substitue successivement <p = ,

<p = 2 . — , <p = 5 . —, etc., à la place de <p dans

R ; qu’on suppose ensuite la circonférence divisée en n

parties égales, qu’on fasse successivement <p' =

<f>'=z 2.^, <p'~^. etci,dansR, et qu’on désigne

en général par RM- la valeur de cette fonction correspondante à la supposition que l’on a simultanément

<p = A . et 2= À' . ~ , d’après les notations

précédemment adoptées, on aura généralement

' ’ ' = Rx> / cos (i\ £)cos(;'A'£). 1

La formule (A), en y supposant c» = — et

2 flr

û> = — > et en faisant pour abréger et — i ~ et

a' = i' — , donnera donc ainsi : *

A= (X - ° +R„oco‘ *+B„0cosa. . ^ cos m«t)

-f- -L. ,cosflt'. ( -R , eos o-f-Rt t cosa-f-R., cosâat. . .>4“-Rm , cos ma. ^ mn \a 0,1 *»* a«* a mtl J

H . co$a«£ . ( -Rft , cos o -f-R. co$ ct-f-R. ,cos a*. . . -f- - R„ „ cos ma. \

mn \a °* 1,3 *»* a m> 3 /

+ T^n CO*ntC' GR0,« COS ° +Ri,n 008 *+R3,„C08 “Rm,„ COS »/*) .

Pour faire usage de cette formule , on commencera donc par calculer les quantités RQ Q, Ri,o , etc., ensuite on calculera les quantités suivantes :

P'^-R cos o -f-R cos «t -f-R cos a*. . .-f- - R cos met.

O a 0,0 1,0 3,0 a nh° 1

P' = - R cos o -f-R cos <t -f* R cos a*. ..-f- w R cos met.

• • •••«••••a«s»SS«k*StS«S«'SotSS|«t««SS«SSS«SSS»SS«SSts«SS«*«

P = - R cos o -f- R cos et -f- R cos a*. . . -f- - R cos met ;

et l’on aura enfin cette expression très simple ,

- P/ cos o -f- P' cos *'•+- P'ios a«t'. P' co*/ia\ (B)

En changeant dans lçs expressions de P'0, P', , etc. , et dans celle de A les cosinus en sinus, on aura la valeur de l’intégrale que nous ayons * représentée par B , et l’on trouverait aisément des formules semblables pour déterminer les valeurs de C et D.

Si Von nomme F le premier terme ou la partie constante du développement de R , on aura

Ce terme répond à la supposition de *= o et i== o , ce qui donne a=o et! —o. On aura donc pour la valeur de cette intégrale

En faisant, pour abréger, *

R O - R#,o + R,,o 4- Rft|o« • ; + - Rm,o>

^1 = 2 Ro.i + Ri,» + R»,1* • • + - Rm,i î R» = - Ro,« + Ri,a 4- Ra,»- • • 4“ - Rm,.'

La valeur de F ainsi calculée est celle qu’il faudra substituer dans les équations différentielles qui déterminent la partie séculaire de la variation des élémens des orbites planétaires.

On voit donc qu’il sera toujours facile de déterminer par une suite d’opérations très simples les coefficiens de l’un quelconque des termes du développement de la fonction perturbatrice, du moment que l’on aura calculé la suite des quantités que nous avons désignées par R0(0> Ro.i > etc.

Il nous reste à montrer comment se calculeront ces quantités.

Or, R étant la fonction qui représente l’action réciproque de deux planètes m et m! , on a

R = mY

V {X — *)a4- if- jY 4- (*'— 2)a

iaa THÉORIE ANALYTIQUE

Comme la partie — — — — =— est

V (*'— *)“+ (jr'—yY -f O'— *)a

commune aux deux planètes , et qu elle est celle qui entraîne les plus longs calculs , il sera bon de la calculer séparément , et de diviser ainsi la fonction R en deux parties. En n’ayant égard qu’à la première , et nommant p la distance dés deux planètes, on aura

et par le n°

pa = r* + r'* — 2rr' cos* cos (</ — v) — 2rr' sin* £ y cos {y1 -f- v) ;

r et r' étant les rayons vecteurs de m et de m! dans leurs orbites elliptiques, v et v* les longitudes vraies comptées de la commune intersection de ces orbites. . , .

Nous avons nommé précédemment p et <p' les anomalies moyennes de m et de m!$ et nous avons choisi ces deux variables pour les abscisses du solidè parabolique dont F (<p, <p') représentait l’ordonnée. Si l’on suppose donc qu’on remplace dans l’expression précédente r, r\ *>, par leurs valeurs en fonction des anomalies moyennes des deux planètes , on aura

F (p, <p') = , et il faudra commencer par cal-

culer les diverses valeurs de p(<p, <p') qui correspondent aux valeurs successives qu’on peut donner à <P et à <p', .

Pour cela, on calculera d’abord les valeurs du rayon vecteur r et de la longitude v de la planète m correspondantes aux valeurs successives de l’anomalie

Dü SYSTÈME DU MONDE. n3

moyenne <p = o , tp = ~ , tp — 2^ , etc. ; on cal-

culera de même les valeurs de t* et de </ cor-

respondantes aux valeurs de l’anomalie moyenne

<p' = o, cp'= — , <p' = 2 — , etc. , et l’on formera

un tableau de ces valeurs. On combinera ensuite en-

tre eux les résultats de ce tableau , de manière à former les valeurs de chacune des quantités représentées

généralement par f> (à ^ , A'~^, A et A' pouvant

prendre toutes les valeurs positives, comprises pour la première, entre o et m, et pour la seconde, entre o et n . Ces combinaisons seront au nombre de mxn, ainsi que les quantités à former. Ces valeurs Calculées,

on en déduira généralement Rx,*'

les formules (B) et (C) donneront ensuite les valeurs des intégrales cherchées.

Tout ce qui précède s’appliquerait dé même évidemment au calcul de l’intégrale fydto d<p ', résultant de la deuxième partie de la fonction R : on observera seulement que cette partie ne produisant aucun terme constant dans le développement de R, la valeur de F n’en sera pas altérée.

26. Lorsqu’on aura effectué, par ce qui précède, le développement de la fonction perturbatrice en série de sinus et de cosinus des multiples de <p et de <p', rien ne sera plus facile que d’en déduire le développement de R en fonction des longitudes moyennes «<-+-# et vit -f- é', de m et .de c’est*à-dire sous la forme où

cette quantité est ordinairement employée dans le calcul des perturbations planétaires. Ep effet <p et tp' étant les anomalies moyennes des planètes m et m!, on aura

tp = nt + € «. — a et tp' — n!t -f- e' — g/.

En substituant ces valeurs dans R f et en faisant

R = rnT sin (fnt — int + îY — iè)

+ mT' cos (iïn’t int -f- £V — U) ,

on aura

m!V = K 4/ sin ( [i'œ ' — ico) — K',/ cos (toof — ico ), m,P'== K,/ ços(zyry — ico) -f- K'f / sin (i'œ — ico).

On pourrait encore , à la place de tp et de <pf9 employer toute autre variable que l’on voudra pour le calcul des coefïiciens du développement de R, il suffira de substituer à la place de (p et de <p\ dans les expressions de K, / et K',/, leurs valeurs en fonction de ces nouvelles variables. Par exemple , si Ton veut faire usage des anomalies excentriques u et d’après les; formules du mouvement elliptique , on aura *

<p = n -r- e sin u , <p' = u' — e' sin u' ;

d’où l’on tire

dtp = du( i — e cos u)9 dtp' = du (i — e'cos u').

Les angles m et u ' ayant d’ailleurs les memes limites que les angles ^ et tp'9 on aura donc *

K/ii,= I I Rco8[i(M-esinu)-t/(u/-c'’sinu,)](î-ecosu)(i-e'co8a')JuJu',

, piir r*nt •

K' i,f= — - I / Rsin[t(u-esinu)-i'Çu/-e/sinri/)](i-eco3u)(i-c'cosu/)du</u'j

et pour le cas où l’on ai = o,i'=o,

F=~; — ecosw) C1 — e' cosu') du du' .

On réduira les coefEciens de R, sous le signe intégral , en séries ordonnées suivant les puissances de e et de e', et l’on effectuera ensuite les intégrations relatives à u et à u

Pour cela, il faut supposer R exprimé en fonction des anomalies excentriques u et u’ , en développant ensuite R en série de çinus et de cosinus des multiples de ces deux angles. Soit

R = 2 Ai i, cos (iu — i'u ) + 2BM' sin (iu — i!u') ,

i et i! étant des nombres entiers positifs , négatifs ou zéro ; on aura généralement

R cos (iu — iu!) du du', R sin (iu — i'u') dudu! ,

et en particulier.

= j r*r*Rdudu'.

Il est aisé de voir que tous les termes des valeurs de K,/ et K'i / pourront s’exprimer au moyen des quantités A*/ et B|/ , supposées calculées pour toutes les va-

ia6 THÉORIE ANALYTIQUE

leurs de i et de i', et sans qu’il soit besoin de nouvelles intégrations. Quant à ces dernières quantités , on les calculera par la méthode exposée plus haut pour les intégrales doubles, après qu’on aura exprimé les variables qui entrent dans l’expression de R en fonction des anomalies excentriques u et u'. Mais , comme il est aisé de le voir, cette méthode entraînerait dans de plus longs calculs que la précédente, et encore ne donnerait-elle que les valeurs des coefficiens K, / et K', ,' exprimés en séries ordonnées par rapport aux excentricités et à l’inclinaison mutuelle des orbites de m et de m't comme on les obtient par les méthodes ordinaires.

Cependant l’expression de la fonction R en série de sinus et de cosinus des multiples de a et de jouit d’une propriété particulière très remarquable , c’est qu’on peut en déduire immédiatement les valeurs des intégrales f rf R, fdtfd'R,e t des autres différences partielles de la fonction fRdt qui entrent dans les expressions des variations des élémens de l’orbite de m, développées en séries semblables, sans être obligé de substituer les valeurs de u et u ' en fonction du temps t avant les intégrations. En effet, soit

/rfR=2A'M'cos(«< — /'«')-+- 2 B',/ sin (m — /«'),

et supposons, comme précédemment,

R = 2 Aj, t' cos (iu — tu) -f- sin (iu — tu!) . (c)

Si l’on différentie par rapport à u cette dernière équation, qu’on différentie, par rapport aux varia-

blés u et u! , la première, et qu’ensuite on compare séparément, dans les équations résultantes, les termes affectés de sin\is et de cosinus des multiples de u et u ', en observant qu’on a

1 — e cos u

ridt

1 — e'cos u'

on trouvera les deux

équations suivantes :

2A#/sin(izz-tV) — — — =SAVsin(iH-zV/ — —

i-ecos u '\i-ecos u i-ecosuj j

2Bj/cos(itt-iV) - — i/cos(iu-C u')( — l-^t — * Lü \