CHAPITRE III

Inégalités planétaires dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des

inclinaisons . t

3 Nous ayons divisé, dans le livre II , les inégalités des planètes qui résultent de leur action réciproque , en deux espèces distinctes, les unes séculaires , \es autres périodiques. Dans le chapitre Vlll du même livre , nous avons exposé la théorie complète des premières, et dans le chapitre IX, nous avons développé les inégalités périodiques indépendantes des excentrir cités et des inclinaisons, et celles qui dépendent de

leurs premières puissances. Nous nous proposons ici de porter plus loin ces approximations, et de présenter des formules générales au moyen desquelles on pourra déterminer les inégalités périodiques dépendantes d’une puissance quelconque des excentricités et des inclinaisons, et même celles qui dépendent du

carré des forces perturbatrices.

Dans toute inégalité planétaire il y a deux élémens k considérer, le coefficient et l'argument ; le premier détermine la grandeur de l’inégalité, le second sa période. Tous les termes du développement de la

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fonction perturbatrice, qui dépendentdu carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, étant en général insensibles, ils ne peuvent produire d’inégalité considérable dans le mouvement d’une planète , que par les petits diviseurs que l’intégration leur fait acquérir n° 5g, livre IL La grandeur de chaque inégalité dépend donc non-seulement de l’ordre de tenues auxquels elle appartient mais encore des modifications que les termes de la fonction perturbatrice auxquels elle correspond , subissent dans les équations différentielles du mouvement troublé. - • ■' •

Si. le coefficient qui multiplie le temps sous le signe sinus ou cosinus a une valeur considérable , l’argument prendra des accroissemens rapides , la période de l’inégalité sera courte, et sa grandeur dépendra uniquement de l’ordre auquel elle appartient, relativement aux excentricités et aux inclinaisons des orbites. Dans la théorie des planètes principales, on ne porte ordinairement l’approxima1tion, relativement à ces inégalités, que jusqu’aux termes qui sont du- premier ordre par rapport aux excentricités, et qui dépendent de la première puissance des masses perturbatrices. Cette approximation suffit; et d’ailleurs comme de pareilles inégalités se manifestent promptement aux regards de l’observateur, il n’est pas à craindre que la théorie puisse en omettre aucune susceptible de devenir considérable.

Si au contraire le coefficient du temps sous le signe sinus. ou cosinus est une très petite quantité.

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l’argument croit alors avec une grande lenteur, la période de l’inégalité est très longue, et pendant long -temps on pëut regarder j>es accroisseme ns comme proportionnels au temps. Ce n’est donc que par la comparaison d’observations très. éloignées que de pareilles inégalités peuvent devenk sensibles ; et elles ont , comme on voit, tous les caractères de véritables . inégalités séculaires. On les a nommées inégalités à longue période, et leur théorie est d’au-* tant plus importante dans l’exposition analytique dû système du monde, qu’après savoir été regardées long-temps comme une anomalie dans la loi.de la pesanteur universelle, elles en sont devenues une des preuves les plus convaincantes depuis qu’on en .a reconnu les véritables causes.

i C’est à Laplace qu’on doit cette découverte. Les observations anciennes et modernes indiquaient dans le mouvement de Jupiter,, et dans celui de Saturne deux grandes inégalités qu’on ayait en vain cherché a expliquer par la théorie, parce qu’on ne supposait . pas qu’il put exister dans le mouvement des planètes aucune inégalité sensible parmi les termes dépendans des puissances des excentricités supérieures à la première. Ces inégalités sont affectées de signes con-* traireSj.ep sorte que si /par leur effet, le moyen mouvement de Jupiter parait s’accélérer , le moyen mouvement de Saturne, au contraire, parait êtrerer tardé, et vice i)ersâ. Enfin, Laplace remarqua encore que l’accélération du moyen mouvement de, la première de ces planètes , déterminé par Halley, était au ralentissement du moyen mouvement de la seconde,

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à très peu près comme la masse de^Satiirne, multipliée par la racine carrée de fon denii^grand axe, est à là masse de Jupiter multipliée detriême pdr la i;aciriè carrée de la moitié du grand axe de soh Orbite. CesdiverseS relations sont celles qu’indique la théorie entre les inégalités à longue période de deux planètes réagissant l'une sur l’autre. Comme d’ailleurs les moyens mouvemens ne peuvent être soumis à aucune inégalité indépendante de leur configuration mutuelle, Laplace ne douta plus que les inégalités dont il s’agit ne résultassent de l’action réciproque de ' Jupiter et de Saturne , et que ces inégalités, rangées parmi celles que l’on avait regardées jusque-là comme inappréciables, ne devinssent sensibles par l’efTet de quelque circonstance particulière. En effet, les moyens mouvemens de ces deux planètes approchant beaucoup d’être commensu râbles, en sorte que cinq fois le moyen ’ mouvement de Jupiter, moins deux fois celui de Saturne, est une très petite quantité, l’inégalité à longue période qui dépend de cet argument peut devenir considérable en acquérant cette petite quantité pour diviseur, quoiqu’elle soit au moins dû troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Le calcul confirma pleinement cette conjecture; et c’est ainsi que cette découverte , l’iule des plus belles de l'Astronomie physique, résulta d’une suite de considérations fondées sur la théorie, sans que le hasard , quelquefois si favorable même aux géomètres, y ait eu aucune part(*

Il en est. de même de toutes les inégalités dérespèce de celles que noua avons nommées inégalités à lon-

gués périodes; elles seront d'autant plus sensibles, que les moyens mouvemens des deux planètes qui réagissent l'une sur l'autre , approcheront davantage d’être contmensurables; et l’on voit que plus elles croîtront avec lenteur, plus, toutes choses çgales-d’ailleurs, elles pourront devenir considérables. Parmi ces inégalités, les plus importantes sont celles de Jupiter et de Saturne , à cause de la grandeur de leurs coefficiens; et, par cette raison, on a été forcé de porter dans leur calcul l’approximation jusqu’aux cinquièmes puissances des excentricités et des inclinaisons , et jusqu’aux termes dépendans du carré des masses. On verra que les résultats qu’on a ainsi obtenus représentent les observations avec une grande précision. Une inégalité à longue période existe encore dans le mou ver ment de la planète Uranus ; une autre, mais beaucoup moins sensible, dans le mouvement de Mercure ; enfin, on a découvert, dans ces derniers temps, dans le mouvement de la Terre une inégalité de même espèce , dont le coefficient est peu considérable, il est vrai , puisqu’il ne s’élève guère qu a deux secondes, mais que cependant les observations modernes rendent sensible , et qui doit être comprise désormais parmi celles qui servent à la construction des tables du Soleil. i

La théorie des inégalités à longue période va particulièrement nous occuper dans ce chapitre^ Nous déterminerons celles du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, qui dépendent d’une puissance quelconque des excentricités, en employant la méthode fondée sur l’intégration directe des équa-

tions différentielles du mouvement troublé , et ensuite le procédé de la variation des constantes arbitraires. Ainsi que nous l’avons fait dans le livre II , nous

montrerons l’accord parfait de ces deux méthodes, et nous indiquerons les avantages particuliers à chacune d’elles. • . .. • , *

Dans l’un des chapitres suivans, nous réduirons ces formules en uombres , en y substituant les valeurs relatives à chaque planète. Ce grand travail avait déjà été en partie exécuté par divers géomètres avant meme lapparition de la Mécanique céleste; cependant il n’avait point encore atteint toute la perfection désirable : de nouvelles inégalités ont été découvertes depuis cette époque, et quelques erreurs inévitables dans les longues opérations numériques ont été signalées dans plusieurs résultats de cet ouvragé. J’ai donc pensé qu’il serait utile de reprendre ici ce travail en entier, et de profiter des recherches de tous les géomètres qui se sont occupés des inégalités planétaires, pour présenter dans un même ensemble le tableau des résultats les plus complets et les plus exacts qu’on ait obtenus jusqu’à présent dans cette partie de la théorie du système du monde, si importante pour la précision des tables astronomiques, dont elle est la base.