Reprenons la formule (5) du n° 89 du livre II

Si l’on suppose, comme dans le n* 48, r— æ(i+m), et qu’on observe que par les formules du mouvement

elliptique on a ^ = 77*, on aura

urft

— j-=3on,<ftv+uXH-u)î*w/i,/r(i-f-u)(i-3«+6u*-iottï-M5a<-aii<s+nc.5,

ou bien

— n'rtr — an'tr (3u — 3u*-f- 4U>— "5« '+6«5— 9“*+ elc).

En faisant donc, pour abréger, ,

F=3« — 3u,-f-^u3 — 5n4-j-6«5 — ju'+Bu7 — gn'-J-elc., l’équation (i) deviendra ..-y..-

Tdrr

-{-TiVdV — an'.YS'r — i/d'K — r . ==o. (a)

D’après l’expression du rayon vecteur, m, et par conséquent F, sont des quantités de l’ordre des excentricités , il suffira donc , dans l’équation précédente, de substituer pour <fr, dans les termes multipliés par F, la valeur de cette quantité résultante des approximations qui précèdent celle que l’on considère. Si donc on substitue pour u sa valeur dans F, et pour cTr les valeurs résultantes des premières approximations, etqp’on fasse, pour abréger.

P = an' FJV 4- a/r/'R + r

,dr '•

On pourra regarder P comme développé en une suite de sinus et des cosinus des multiples des moyens moüvemens dè la planète troublée et de la planète

perturbatrice. Soit donc Q^'s [fit + />) l’un quelconque des termes de cette suite; en n’ayant égard qu’à

DU SYSTÈME DU MONDE. i3g

ce terme, on aura !

et l’on satisfera à cette équation en faisant

. r^r = co's $ +

On déterminerait de la même manière chacun des

termes de la valeur de rjr correspondant au terme que Ton ‘aura considéré dans la fonction P ; et d après la théorie des équations linéaires, la réunion de tous ces termes formera la valeur complète de la quantité rJY.

Cela pose, considérons dans R un terme de la

forme :

p.4i mu; ' ,*•/!* M-i /Ofll ; tu II ’• ;.üt-vnn

tu k. cos (il t — lit — {— ç! — é) — 1“ Int “f- Zé -4—

hn observant que r — = a-^ , n° on aura relativement à ce terme :

uy» ri *)h

r j. n r/R ,r a(t — i)rc . 1 r/A"| >, •

*WK+rdr ='" ( ''.â, J ros '-«<+. -.)+/«/+/.+c] ;

et si l’on observe qu’en faisant fJL = i , ce qui revient à prendre pour unité de masse la somme des masses du Soleil et de la planète m, on a a3n% = i , il est aisé de voir qu’il en résultera, dans la valeur de

, le terme suivant :

U ) ii . . • i ■ >

, r a (i — l)n . dk~\ . , .

- nt,n^\ ~ T—rak—a'-- •

,i4<> THÉORIE ANALYTIQUE

où i peut prendre toutes les valeurs positives ou négatives depuis zéro jusqu’à l’infini. v

Le diviseur de cette expression étant la différence de deux carrés, peut s’écrire ainsi

h) + (Z + i ) n] [i(n'—n) + {l — \)rï] ;

et si l’un des deux facteurs de ce produit est une très petite quantité, l’inégalité précédente pourra devenir considérable. ... ,i

Dans l’impossibilité où l’on est de calculer rigou-r reusement toutes les inégalités qui dépendent du carré et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, à cause de leur multiplicité, on doit s’attacher spécialement à celles qui peuvent acquérir quelque influence par l’intégration, et l’expression (3) donne un moyen très simple de les reconnaître à priori .

En effet, tous les termes du développement de R sont généralement insensibles, lorsqu’on passe la première puissance des excentricités et des inclinaisons , à cause de la convergence de la série ; et si ces termes produisent ensuite , dans l’expression du rayon vecteur, quelque inégalité importante , cela provient nécessairement dé ce que l’intégration leur fait acquérir de très petits diviseurs qui les rendent considérables. Cette circonstance se présente toutes les fois qu’il existe quelque rapport de comipensurabilité entre les moyens mouvemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Les inégalités qui en résultent dans les mouvemens de ces deux planètes

croissent avëc une grande lenteur, puisque le coeflir

cient du temps , sous les signes sinus ou cosinus dont elles sont affectées, est supposé une très petite quantité ; elles mettent , en général , plusieurs siècles h passer de leur maximum, au minimum de leurs valeurs, et, par cette raison , on les a nommées, comme nous l’avons dit, inégalités à longue période.

On voit, par ce qui précède J comment les inégalités de cette espèce peuvent devenir considérables , quand même elles dépendraient des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.

Ainsi donc, pour étudier complètement la théorie d’une planète , on commencera par former les trois quantités i {n' — n) + (/ — 1) n , i (ri — n) -\-ln , i(n' — n)-f-(Z-f- 1 )n, dans lesquelles l sera l’exposant de la puissance des excentricités et des inclinaisons auxquelles on s’est arrêté (n° 4) , et i pourra prendre toutes les valeurs positives et négatives possibles, depuis zéro jusqu’à l’jnfini. Si parmi ces valeurs il en est qui rendent l’une des trois quantités précédentes très petite, on considérera dans R le terme qui leur correspond, et l’on déterminera par la formule (5) l’inégalité qui en résulte dans l’expression du rayon vecteur; on réunira ensuite cette inégalité aux autres termes du rayon vecteur qui dépendent du même argument, et qu’on déterminera de la manière suivante :

Nous avons supposé

F = — 3m -f- 3m* — 4m3 -{- 5m4 — 6m5 + 7M5 — 8m7-|- ga8 — etc.

On a (n° 3)

u=^e* — — ^e5+~e54-etc ^c<is;n(+i-ai)— — ^e<+ctc.^ cosi(nf+«-»)

~ (l°,— ^<’5+ctç,)00,3(nt+»-«)— je*c°»4(/it-H-*i)— i||c°»5(nt+«— •)

-b etc. ;

d’où l’on conclura

P = sÇe-h g e5 — ^je*^ cos (nt + ‘ — «•) + 3e* <:o* a(nt -f- • — m j — ^-^6*+ co* 3 (nt + 1 — et) + — e< co« 4 (nt ~b e — «X.

-h es cOs 5 (nt -+- i — et) -f- etc.).

Soit maintenant • ' .

G cos [i(n't — nt- ht' — t) -f- gnt -f- gg -(- »)J

l’un des termes de la valeur de — dépendant des

puissances des excentricités et des inclinaisons d’un ordre inférieur à celui que l’on considère , et déjà déterminé par les approximations précédentes. En combinant cette valeur avec la précédente , il en résultera dans la fonction an*.F<fr des ternies de cette forme

~ a*n* H cos [i(rit — nt -f- g' — g)

où i est susceptible de toutes les valeurs positives et négatives , en y comprenant. zéro,; et où l’on doit supposer successivement f — i, f= 2, f= 3, etc.

Si parmi ces termes on choisit ceux dans lesquels on a gziz f = l, et où le coefficient H est du même ordre, par rapport aux excentricités et aux incli-

raisons, qne les inégalités que Ton veut calculer; qu’on les substitue: dans l’équation différentielle. (2), et qu’après l’intégration on les réunisse aùx termes qui résultent directement de la fonction R , et que nous avons déterminés plus haut; on aura toutes

les inégalités de ~ qui. ; dépendent de l’argument

i ( n't*. — nt) -f- Ifit , et qui peuvent, par conséquent, devenir sensibles dans l’expression du rayon vecteur. On trouve ainsi

rir

^ — - «*2H cos [i {n't — ni -f- ** — *)-t- Int -f- U <f] »

^ ni+hi — 17 J “•H*'^** +A 4“ff] j > (4)

la caractéristique 2 devant comprendre tous les termes de la fonction F JV qui dépendent de l’argument in't + (Z — i)nty et qui sont de l’ordre Z par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

En donnant à / , dans cette formule, toutes les valeurs entières positives et négatives, y compris zéro, on aura toutes les inégalités du rayon vecteur de l’ordre Z dans lesquelles le coefficient de nt surpasse ou est surpassé par celui de n!t de Z unités.

29. Déterminons les termes correspondans de la valeur de JV; on a, par la formule (6) du n° 89 du livre II,

2 rd .$r -f- drïr axndt

■ — an ^Jffdt.d'h+

Eu négligeant, pour plus de simplicité, le dénomi-

nateur V* i — e*, et en ne considérant d’abord que

la partie de Sv qui dépend de la fonction R, on aura '

JV = — 3 af ndt f d' R — a \a J'r • ndt > (6)

par conséquent, en vertu du terme * mk cos [t {nt — nt -f- 1 — e)~f- Int -j- h £] ,

que cette fonction renferme , on aura

tv=

• ak —

i et l étant -susceptibles de toutes les valeurs positives ou négatives, y compris zéro.

Si la quantité i(nr — n) -f- In est très petite, il en résultera dans fv une ine'galité d’autant plus sensible, que le carré même de cette quantité entre comme diviseur dans l’expression précédente. C’est donc spécialement au calcul des inégalités qui sont assujetties à cette condition qu’il faut s’attacher ; et elles sont d’autant plus importantes à considérer, que le moyen mouvement de la planète m est affecté luimême des mêmes inégalités. En effet, en faisant £ = fndt, on a (n° 43 , livre II)

«TC = — 3 ffandt . dR.

En n’ayant donc égard, dans le développement de la fonctiôn R, qu’an terme que nous considérons, on aura

dK— ■ nk ,in [* ("'* —ti(rh./—t)-b l/it +■*• + É].

La partie de J'y qui a pour diviseur le carré de i(n'‘ — ri) -f- In est donc celle qui résulte de la variation du moyen mouvement dans 1’expression de la longitude moyenne nt -}- s. Le second terme de cette expression dépend de la variation de l’époque ; mais comme le premier est généralement beaucoup plus considérable que les autres, on pourra, sans erreur sensible, appliquer au moyen mouvement la variation entière de J'y calculée par la formule précédente.

Considérons maintenant la partie ad. rïr — drS'r

ard.fr -f- drfr a'ndt

a'ndt

de l’expression de J'y. La quantité s’obtiendra immédiatement en multipliant le coefficient de l’expression précédente de ^ par

2 [i(ri — n)4-fn\ n

, et en changeant ensuite les cosinus

en sinus. Pour plus de simplicité, nous la laisserons sous cette forme.

Quant à la quantité > c’est d’elle que résultent dans J'y les termes indépendans de R, qu’on calculera de la manière suivante : l’équation

r=a(i -4 -«) donne, en différentiant

dr du

andl ndt

. En

vertu de la valeur de u rapportée plus haut, on aura donc