etc
Représentons par h cos g — w) un terme
quelconque de cette suite, et considérons comme
précédemment dans ^ le terme
G cos \i(n't. — rt£4-s,“s)4~§7**4,gfi+ #]•
Si l’on combine ce terme avec ceux dont se compose l’expression précédente de , il en résultera
dans le produit . — une suite de termes de cette
andl * a
forme :
dh - Ksin[/(w^ — nt+t' — g) +{gdbf)(nt-\-t)
g et i étant susceptibles de toutes les valeurs positives et négatives, y compris zéro, et le signe supérieur ayant lieu quand / est pris positivement et le signe inférieur dans le cas contraire. On voit de plus,
par l’expression de
dr
andt }
que f est l’exposant de la
DU SYSTÈME DU MONDE. t4«j
puissance la moins élevée de l’excentricité e dans la série que h représente.
Si dans la suite de termes ainsi déterminés on choisit ceux où l’on a gdb J — l, et si on les réunit aux termes qui résultent directement du développement de R, et dont l’expression a été donnée plus haut , on aura alors tous les termes de JV qui dépendent de l’argument i(n' — n)t-j-lnt, et que l’intégration peut rendre sensibles. On trouvera ainsi,
^td.rfr t — nt j int j /,j
a^nat a
!3(i—l)m'n* , im'n di
l'nt+*
i étant susceptible de toutes les valeurs positives ou négatives, y compris zéro, l étant le nombre d’unités dont le coefficient de n't surpasse ou est surpassé par le coefficient de nt, et le signe 2 devant
Comprendre tous les termes du produit qui dépendent de l’argument Vn! — n) t-^lnt, et qui sont par rapport aux excentricités et aux inclinaisons du même ordre que K.
La période des inégalités du rayon vecteur et de la longitude dont nous venons de donner l’expression générale étant supposée très longue , les élémens elliptiques des orbites de tn et de m! changeront pendant cet intervalle, en vertu de leurs variations séculaires; et pour l’exactitude des résultats, il sera nécessaire d’avoir égard à ces altérations dans les formules précédentes. C’est à quoi l’on parviendra très simplement de la manière suivante :
Nous supposerons aux ternies du développement
de R qui dépendent de l’argument v • *
— /ri + *' — «) + Int + 1* Cette forme :
Pi = ro'P sin [i(n't — nt-\-e' — *) + Int + h] mV'cQs[i(n't — nt-+- è — *) + ^nt + ^1*
En différentiant par rapport à nt, on aura
— m!(i — T)ndt?cos\i{ri t — nt-\-J — «) -lnt+ le] — l)ndtVsin\i(n' t —nt+e'—e)^ b*t+ h].
Si l’on intègre maintenant cette expression, par parties en y regardant P et P' comme des fonctions variables des élémens des orbites de m et de m,
on aura
3 {/ — i ) m'an *
3afndtfiTR =
!r. rf >
[P I InJJl I Â(n'- n) + /»]•**
