etc.~lsin [i ( n't — •«*+•'— •)+//!<+/•] I

n)-H hïpth' J - ‘

r »rfP^ 3rf»P j

, etc.l co»[<(n'« — nH-i'->-i)+/n<+t<] •

Les quantités §, g, % , etc., décroissant

avec une grande rapidité, vu la lenteur des variations séculaires des élémens elliptiques, on pourra, dans la plupart des cas, n’avoir égard qu’aux deux premiers termes des séries précédentes. ' -

On aura ensuite, en vertu de la valeur précédente

de R ,

f* { «/RN am'a/z -xdn I a \ -7- )dt — -— —

J \daj i(n' — n) 4-

1 — a— cos [i(n’t — ni -4-t' — t)+lnt+lt] )-+-//* [i (j/t — nt+i' —

Il est inutile d’avoir égard aux variations des quantités P et P' dans ce terme , qui est toujours très petit relativement au précédent; la valeur de JV deviendra ainsi .

‘ a* ndi [* {n't — nt-{- •' — 1) ■+■ Int -bit -f-'Æj

f3(t — l)m an* r 3JP . T om an dP'\' . , , , . , . , »i^/0\

\ r-n — rrTT1 P -+-,^7-7 — 7~-Tj~ — -7~; — r ~r a~r \ ^n{i{n i-m-bt > (8)

l[i(«/-/i)-f-//i]» L [i(n -«)+/*]<*/ J Jrt J LV ' Jfv/

r3(i — l)ni'an* [* oJP' “1 vn' an JP s ' rv , , . ...

On obtiendrait relativement au rayon vecteur une expression semblable, en introduisant à la place de R sa valeur précédente dans l’équation différentielle (i), et en l’intégrant ensuite , en ayant égard à la variabilité de P et P'; mais comme les termes qui en résulteraient dans l’expression de ~J-sont, à très peu

près, insensibles, nous nous dispenserons de cette opération.

J^P JF de * dt *

Pour déterminer les valeurs de

, etc. , il faudrait différentiel' les quantités P et P'

par rapport aux élémens elliptiques que ces quantités renferment, en substituant ensuite, au lieu des différences de ces élémens, leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps , on aurait les

JP JaP jp' JP'

expressions de j- , > -^7 , etc. , dévelop-

i5o THÉORIE ANALYTIQUE

pées de la même manière; en s’en tenant aux termes multipliés par le carré du temps, l’expression précédente de JV prendra alors cette forme :

(A -f-B £-f-C£*)sin — e) -f- Int -f- k]

-j- ( A; -f- YS't -f- CQ*)cos[ i[n!t— nt -4— t1 — * é) -4“ —f— lï\ >

et cette expression pourra s’étendre en général à plusieurs siècles, avant et après l’instant que l’on aura choisi pour épçique.

Mais dans les applications il sera plus simple de

,, . , , , <iP rfF

déterminer les valeurs de ^-r

d'Y de *

de la

manière suivante. L’expression de P au bout du temps t sera généralement

‘ dt i . 2

~dë

-f- etc.

Cette expression , en s’en tenant aux termes dépendans du carré du temps, pourra s’étendre à mille ou douze cents ans avant et après l’instant que l’on -a choisi pour époque.

Cela posé on calculera , en ayant égard aux variations que subissent dans cet intervalle les élémens des orbites , les valeurs de P pour deux nouvelles époques distantes, la première de t', la seconde de t", de celle d’où l’on compte le temps t. En nommant P, et P, ces valeurs, on aura

1'* <f*P râ • de’ t"* d* P i . a ’ dr ’

d’où l'on tire

</P <**(P, — P) — <'*(P, — P) dt . t?(f — ()

On aurait de

la même manière les valeurs

de

dt

et de

d‘ Y dt''

Dans la plupart de ces cas, c’est-à-dire lorsque les inégalités que l’on veut déterminer ne sont pas très considérables, on peut, comme nous l’avons dit

plus haut dans l’expression de J'u, négliger

et ; on aura alors simplement

dP P, — P dP P', P'

dt /' * dt i *

t 1 désignant ici un intervalle de deux à trois siècles qui sépare les époques pour lesquelles les valeurs de P, P,, P' et P't, ont été calculées.

3o. La formule (8), lorsqu’on néglige les termes dépendans des différences ^ et — , doit coïncider avec la' formule (7). C’est , en effet , ce dont il est facile de s’assurer en développant cette dernière, et en observant que par la comparaison des deux expressions que nous avons supposées aux termes de R que nous considérons , on a

P' b /tcos£ , P t= — -ArsinÆ..^

,5a THÉORIE ANALYTIQUE

Réciproquement, il est souvent utile dans la théorie dés perturbations planétaires de réunir en un seul terme les diverses parties d’une inégalité dépendante d’un argument déterminé Un' — in. Pour cela, on commencera par décomposer ces différentes parties , de manière à donner à leur somme la l’orme suivante

Asin(tV* — int+i'i — ie) -f-Bcos(/»'* — int-f- ît—ii).

Si l’on suppose ensuite que l’inégalité dont il s’agit devienne

L sin (i'rit — int -f- iV — it -f- 0) ,

on aura pour déterminer L et 6 les deux équations

L = tang 9=5,

Ces transformations nous seront très utiles dans la suite.

3 1 . Lorsque la valeur de ^sera déterminée , il sera facile d’en conclure celle de En effet, si l’on désigne

par la partie de ^ qui dépend de l’angle

i(n't — nt- f- é' — t)-\-lnt + h et par

2Ncos[i(«'f — nt- f-ê' — e) -f- /Vif-b/e+X] les autres termes dont cette quantité se compose , on aura

^==^j^H-2Ncos[j(n'* — nt+é' —

Si l’on substitue pour ^sa valeur i H-«, et que dans

DU SYSTÈME DU MONDE. i53

le produit w2Fcos[«(w/^ — nt-\-i — e)+y«/-f^+X] > on ne conserve que les termes dépendans de l’angle i[n'£ — + e — g) + Int + lé > que pour abréger

on désigne ces termes par

2L cos [i{n't — nt -j- ef — é) + Int + /g -f- 0] , *

l’équation précédente , en n’ayant égard qu’aux termes qui dépendent du même argument , donnera ‘

——es — 2Lcos t-~ nt-\“ g! -f- f- OJ.

32. 11 nous reste à déterminer les inégalités du mouvement de . la planète en latitude. On pourrait employer pour cela la formule (7) du n° 89, livre II.

d* - rïs dfi

dK

dz

Comme cette équation suppose que l’on prend pour plan fixe celui de l’orbite primitive, après avoir difïerentié par rapport à z la fonction R, 011 fera Z — o dahs le résultat , et l’on formera le développement de la fonction

dK , — = mz dz

k*' -*)a + <y —j)% + y - *rv 1

par les mêmes moyens que nous avons employés pour le développement de la fonction R. On peut d’ailleurs déduire ces deux expressions l’une de l’autre au moyen des formules du n* 4 î l’équation ( 9 ) ayant même forme que l’équation (1) , s’intégrera

i54 THÉORIE ANALYTIQUE

ensuite de la même manière , et donnera , par des approximations successives, les inégalités de la latitude de tel ordre qu’on voudra, par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons.

Mais comme les inégalités de la latitude sont en général très peu considérables, il suffira de déterminer celles qui pourraient devenir sensibles par les très petits diviseurs que l’intégration leur fait acquérir. Alors il sera plus simple d’employer a cette détermination les formules relatives à la variation des constantes qui fixent la position du plan de l’orbite. On aura, n° 86, livre II,

cP* = «Tgr sin (o — II) — cTpcos(p — fl), (io)

Et pour déterminer <Pp et <Pq , on aura , n* 4 , les formules

andt \ dK

—t. cos - y j- ; y/ 1— 3 dh

andt

su» y ÿ

dt p/R -, i ^

\dt

Si l’on se borne à considérer dans l’expression de la latitude, parmi les termes dépendans d’un argument donné ceux qui sont de l’ordre le moins élevé par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, on pourra négliger les termes multipliés par e * et y2 , dans ces deux expressions , ce qui donne A = sin y on aura simplement ainsi

andt ~ ,

Dü SYSTÈME DÜ MONDE. i55

Soit donc

m'Â À3* cos (i'n't — int -f- B — 2gfl ) ...

un terme quelconque de R dépendant de l’angle int — int. Eq n’ayant égard qu’à ce terme on aura

= 2gm' cos (frit ~ int -t- B — 2gn),

= 2gml AâT"1 sin (i'n'* — m* + B — 2gll), . j

et par conséquent

Sp = — **s~l sin (i'n't — int -f- B — 2gl I) ,

S* cj — — K*S~' cos (i'n't — int + B — 2gn).

En substituant ces valeurs dans l’expression (10) , on trouvera

S' s = Y^^~X^s~ïsm[i,n't-int^-+-B~(2g-i)U]. ( 1 1 )

On aura donc ainsi les inégalités de la latitude correspondantes aux termes de R qui dépendent de l’angle ïnrt+~int9 et que la petitesse du diviséur iri — in peut rendre sensibles. L’expression de ne renferme , il est vrai , ce diviseur qu’à la première puissance; et sous ce rapport, l’inégalité qui en résulte doit être , par conséquent , beaucoup moins considérable que ^inégalité correspondante de la longitude moyenne ; mais , d’un autre côté , l’ordre de son coefficient se trouvant abaissé d’une unité , cette

i56 THÉORIE ANALYTIQUE

circonstance doit contribuer à augmenter sa valeur. Au reste , toutes les inégalités de la latitude d’un ordre supérieur au premier sont insensibles dans les mouvemens des planètes, excepté relativement à Jupiter et à Saturne, à cause du rapport de coromensurabilité qui existe entre leurs moyens mouvemens.

33.' Si l’on veut rapporter le mouvement de m à un plan fixe très peu incliné à celui de son orbite primitive , qu’on nomme <p l’inclinaison de cette orbite sur ce plan , 6 la longitude de son nœud ascendant , et v la projection de v sur le plan fixe , en supposant que m ne quitte pas le plan de son orbite primitive, on aura, à très peu près,

v' — 0 = v — ^ tang* <p sin 2 (v — 0), s = tang <p sin ( v — • 0 ) ,

ou bien

v' — 0=p — £ $ tang < p cos ( v — 0 ).

Si donc on fait croître la latitude ^ de S s, on aura v' — 0=v — ^tang*<?>sin2(V — 8) — î<JVtang(pcos(t' — 0).

On voit, par conséquent, que la variation de la latitude introduit dans l’expression de la longitude rapportée à un plan fixe , des inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons; mais les termes^ qui en résultent sont insensibles même dans la théorie de* Jupiter et de Saturne.