Nous allons considérer en particulier les inégalités
DU SYSTÈME DU MONDE. i57
dépendantes du carré et des produits des excentricités et des inclinaisons. En ne portant l’approximation que jusqu’aux termes dépendans des premières puissances des excentricités et des inclinaisons, on a trouvé, n* 85 du livre II ,
fr
— = — -CCOcos ivn'f — nt-t-i' — «)-f-m'eDWeo» — nt +«' — «)+n«+t — a]
-f- mVËO co* [i (n't — ni -+• t' — «) -+• ni -+■ • — a'] .
En supposant 1 = 2 dans les formules (4) et (7) (*), on trouve ainsi :
rtr
r3 , s f (CO+D<0)«*cos [«(n't — nt -4- «' — «' + ont -f-at — aa] I j. J a** n J +E(0ee'co* [i(n't — ni + t' — i) -f> ant + 3< — a' — a] ( /
a ,d(rtr) m! 4 (C(0+D(0)e*sin [i(nft — nt +•' — «'-f-ani+ai — aa'
v a'ndt a I +EWee'«in [«(n't — ni 4- •' — t)+ani + a« — a'— a]
{, dk i 1
. , a mna*— I
(i i)mn ^ — r— — j sin[i(n'f — nt+«'-»)+ant+a«+C]./
[i(n — n) -+■ an]* i(n'r-n)+anJ
En donnant à i toutes les valeurs positives et négatives, en y comprenant zéro, On aura toutes les inégalités du second ordre, dans lesquelles le coefficient de n't surpasse celui de nt ou est surpassé par lui de deux unités.
Si la quantité in' -f- (2 — i)n diffère peu de dan, l’un des diviseurs i(nf — «) + 3 n on i(n' — n) -f- n
rit
étant peu considérable, l’expression de — peut acquérir une valeur sensible. Si la quantité /«'-{-( 2 — i)n est très petite, les termes de l’expression de JV et
(*) Les valeurs de F, pages j 4 > et 1 42> doivent être changées de signes.
ceux de la valeur de — qfai ont cette quantité pour
diviseur, pourront donner lieu à des inégalités considérables.
En désignant par — la partie de — qui dépend
des carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites et de l’angle i(n't — rc£ + é' — e)-\-2nt~ f-26 , on aura
— = r—~ 4 ~ (C(04aD(*))e4 cos [i (n't — ni -b t) 4 an* 4* a* — a»l ) a 4 l(B)
fr r<fr m'
, 4- — EOee' cos ri («'f — 4- •' — «) 4* 4- a* — »—«']. 1
La fonction R renferme de$ termes de Tordre du carré des excentricités et des inclinaisons qui dépendent de l’angle i(n't — w£ + é' — i). Supposons qu’en •n’ayant égard qu’à ces termes on ait
R = ni Æ'cos \}{p!t — nt -f- i — O + p]*
En faisant l — o dans les formules générales (4)
et (7), on aura pour les inégalités de — et £v dé*-
pendantes du même argument,
S • , f D(0<r»cos — nt 4- /— •) % * -’V
a m n * 1 4-E<')ce'cos [i ( n't — nt 4- «' — «) 4 » — *'] j . • v '
4- m> nlÇj}'Jz7'n a K — Æ* cos£t(/j/i — nt 4- *' -T- •) 4- f]
^ a ({{rfr) t ro'f D(0c* sin i(n't — nt 4* *r — *) ^
V a*ndt ^ a( 4E('>ee'sin i ( n't — nt 4- «' — ,j 4- « — »/} >
i 3m' n a ,, aro'/t r/A'-» . . , . . .
4* i r“7 — 7-7 sm 4- «) 4 f]
tt{n' — ny i[n! — n ) du J r
Si la quantité i(n' — n) diffère peu de ± n , alors l’expression de — petit acquérir une valeur sensible
Dü SYSTÈME DU MONDE. i59
en vertu de l’un des très petits diviseurs i{n' — ou i(n! — n ) — n quelle renferme ; enfin si la quantité i(n' — ri) est très petite, c’est-à-dire si les moyens mouvemens des deux planètes diffèrent peu l’un de l’autre , il en résultera des inégalités qui peuvent devenir très sensibles dans l’expression des longitudes des deux planètes.
En désignant par — la partie de ~ qui dépend
de l’angle i(rit — rctf-f- g' — g) et qui est de l’ordre
des carrés des excentricités et des inclinaisons, on
aura :
-£= — “1“ ~ (aD<4)< — C^)e*cos i(nft — nt -f-g'— g}
+ — EC0ee'cos[ï(rc'£ - -&/] .
i devant être pris avec le signe + et avec le signe — dans toutes ces formules. Les formules (C) et (D) introduisent , comme on voit, dans l’expression du rayon vecteur et de la longitude, des termes du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, qui dépendent dés mêmes argumens que les termes indépendans de ces deux élémens.
Les formules (A), (B), (C) et (D) donneront toutes les inégalités du rayon vecteur et de la longitude , dépendantes des carrés des excentricités et des inclinaisons ; mais comme leur nombre est trop considérable pour qu’on les puisse calculer toutes, on se bornera à déterminer celles qui sont assujetties à l’une des quatre conditions énoncées plus haut , et
qui , par cette raison , jpeuvent acquérir une valeur
sensible.
Si l’une des inégalités de la longitude est susceptible de devenir, considérable il sera nécessaire, dans l’expression de cf p , d’avoir égard à la variabilité des élémens des orbites, on pourra recourir alors à la formule générale (8) , et elle donnera sans peine des formules applicables au cas où l’on considère les inégalités dépendantes du carré des excentricités et des inclinaisons. • .
35. Considérons maintenant les inégalités dépendantes des cubes des excentricités et des inclinaisons. Comme ces inégalités ne deviennent sensibles que par les petits diviseurs que l’intégration leur fait acquérir, on peut se borner à calculer les termes qui sont affectés de ces diviseurs.
Pour cela, supposons que par l’approximation précédente on ait
- = h cos [i(n't — nt -f- e' — £ ) -f- znt -f- 26 -f* «f ] .
Le coefficient h étant affecté du très petit diviseur i(n' — /i)-j-3n. Il en résultera dans — le terme
ùcos [ i(n't — nt -f- — é) + 2nt -f- as + «T].
Et cette valeur de — introduira dans l’équation
différentielle (i) des termes dépendans de l’angle i(n't — nt- f-s' — 5fi , et des termes dépen-
dans de l’angle i(jït — nt -f- 1' t— £) -f* nt -f- «, qui auront pour diviseur i(n' — ri)-j-$n, d’après ce que
nous avons dit n° 28; en ne considérant que ces termes, on aura
Jy 3
û9h*F — = eh.a'ri*. cos [i(jît — nt+t — t)-f-3/U+3i —
