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Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de dp et dq, qu’on intègre, et qu’on remplace ensuite Sp et Sq par leurs valeurs dans les expressions de S'y et de ySU , on trouvera
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On déterminera , au moyen de ces expressions , les valeurs de <fy- et de y SU; on en conclura, en vertu des formules ( e ) et (/"), celles des quantités Sp, Sp', Sp e\ Sq' , et par suite les valeurs des quantités S<p , Sa, «ftp', .Sx', qui déterminent les variations des orbites de m et de m', résultantes de leur action réciproque *et relatives à un plan fixe quelconque.
Les quantités Sy et y SU, comme les valeurs de Se, S a, etc., sont encore affectées d’inégalités périodiques dépendantes de l’angle 2(5rit — in£) ; mais comme elles sont absolument insensibles, nous n’aurons égard ici qu’aux inégalités séculaires.
55. Nous avons vu, dans le n° 78 du livre II, que les inégalités de cette espèce, dépendantes de la seconde puissance des forces perturbatrices , comme celles qui dépendent de la première approximation , Tome III. i5
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livre II ; ce système est donc stable , c’est-à-dire que les excentricités et l’inclinaison mutuelle des orbites de Jupiter et de Saturne resteront toujours très petites , en ayant même égard aux variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice et du troisième ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
56. Ce résultat n’est qu’une vérification particulière du théorème que nous avons démontré généralement n* 78, livre U, et en considérant un nombre quelconque de planètes circulant autour du Soleil. 11 faut toutefois faire ici une remarque importante. Si les masses m, rd, m", etc. , ainsi que les demi-grands axes a, d , d1, etc., et les excentricités e, e, e", etc., des orbites , différaient beaucoup entre elles, comme cela a lieu dans notre système planétaire, il s’ensuivrait que les quantités ms/aej'e , m's/de é 'é , etc., pourraient se compenser entre elles , quoique les variations J'e , JV , etc. , fussent très differentes. Les équations (e) et ( l ), n° 54 , livre II , pourraient donc être satisfaites, sans qu’on en dût conclure que les oscillations des excentricités et des inclinaisons seront toujours comprises dans d’étroites limites. Il faut, dans ce cas, recourir à l’intégration des équations différentielles (P) et (c) des n*“ 64 et 69 du livre II; si l’on n’a égard qu’aux variations séculaires , qu’on suppose
b = e sin co,, c — e cos co ,
b' = e' sin co' , c' = e' cos co',
etc.
On sait qu’on satisfait au premier système en faisant
b = M sin {ht 4- /) +M, sin ( \t -f- /,) 4 Ma sin(Aa/ -f -/,) -|- etc. , h'— r M'sin (ht -f- sin(A,t -J- /') -f-M'asin(7iat 4-/a) -f- etc. ,
c = Mcos(/jt4'^)“f-Mi cor>(A,/ -{-/,) -|-Ma cos(A./ etc., c'=Mcos {ht -f- /)-f-M'tcos (h{t + /,) -f-M'acos -f A) -f- etc. ,
etc.,
I, /,, /a, etc. , étant des constantes .arbitraires en nombre égal à celui des équations (P); M, M', M", etc., M,, M',, M*,, etc., Ma,M'a, M\, etc., des systèmes de valeurs dont chacun renferme une arbitraire et des quantités déterminées, et enfin h, kt9 hA, etc., les racines d’une équation d’un degré égal a celui des corps agissans que l’on considère. ^ Soit X = o cette équation. Si toutes ses racines sont réelles et inégales, les valeurs d e b, c, bf}^etc. , seront toutes composées de quantités périodiques; et,
en vertu des équations b*+c\ é=\J etc., il en sera de même à l’égard des excentricités e, e\ etc. Si, de plus, les quantités M, M', M", etc., sont supposées très petites et du même ordre que les excentricités des planètes principales à l’époque ac-, tuelle, les intégrales précédentes montrent que les quantités b , b\ etc. , c , c', etc. , et par conséquent les excentricités qui s’en déduiront, varieront dans des rapports peu considérables, et seront, dans tous les temps, très petites, comme elles le sont aujourd’hui. Il en sera de même des inclinaisons qui dépendent d’un système d’équations absolument semblables. On démontre aisément, parles considérations exposées n°65, livre II , et sans avoir besoin de résoudre l’équation
X = o, que celte équation ne saurait admettre que
des racines réelles et inégales : niais il reste encore à calculer les quantités M, M', Mf/, etc., qui sont des fonctions de ces racines, pour être assuré que l'ellipticité de l'orbite de chaque planète sera toujours comprise entre d’étroites limites qu’elle ne saurait dépasser (1) : c’est d’ailleurs le seul moyen de déterminer avec exactitude, pour un temps quelconque, les élémens des orbites planétaires. Jusqu’à présent on s’était contenté de donner leurs variations séculaires développées par rapport au temps, et en ne portant l’approximation que jusqu’à la seconde puissance; mais la connaissance plus exacte que nous avons maintenant des masses des planètes et des élémens de leurs orbites exige qu’on détermine ces variations d’une manière plus précise. Aussi , quoique la formation et la résolution de l’équation X = o , lorsque l’on considère à la fois le système des sept planètes principales, demande de pénibles calculs; la nécessité d’établir avec certitude un point si impor* tant dans le système du monde, ne nous a pas permis d’hésiter à les entreprendre, et l’on verra que les résultats que nous avons obtenus confirment -les conclusions auxquelles nous étions parvenus dans le chapitre VIII du livre II , en admettant comme un fait la petitesse des quantités M, M', Mf/, etc. , qui n’avaient pas encore été calculées.
Lorsqu’on veut avoir égard au carré des forces perturbatrices, il faut, dans les équations (P) et (<?), nos 64
iw:
(*) Voir les notes à la fin du volume.
ropifix?' in
sj 2 , î
et 69, livre II, augmenter les quantités ~ , etc. r
, etc. , de leurs variations séculaires relatives à la
Seconde approximation , et déterminées par les formules précédentes. Ces équations alors ne sont plus linéaires , cependant on peut encore les intégrer par les méthodes ordinaires d’approximation. En effet, supposons d’abord qu’on ait égard aux quantités d’un ordre quelconque par rapport aux masses m9 m’y mut etc. , mais qu’on néglige dans les équations datées tous les termes qui dépendent des puissances des excentricités et des indinaisons supérieures à la première. Les équations qui en résulteront seront encore linéaires et à coefficiens constans; en les traitant comme on a traité les équations primitives (P) et ( c ) , on en déduira une équation de la forme
