X -f- X, -f- X, -f- etc. = o, ' (et

qui remplacera l’équation X te o , et dans laquelle le premier terme sera cette même quantité X de l'ordre des masses . m , m! , etc. ; X, désignera une quantité .du second ordre par rapport à ces masses, X* une quantité du troisième ordre , et ainsi de suite. Or, les racines de l’équation (cl) se déduiront de celles de l’équation X = o par le procédé ordinaire des substitutions successives , et d’après les principes de cette méthode si les racines de cette équation sont toutes réelles et inégales, il en sera de même des racines de l’équation (a) , qui se trouveront exprimées en séries ordonnées par rapport

DU SYSTÈME Dll MONDE. 23i

aux produits et aux puissances des masses i/i, m.', m", etc. Les excentricités et les inclinaisons seront ' donc encore , dans ce cas , composées de quantités périodiques.

Si l’on considère maintenant les termes dépendans des cubes et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons , les équations (P) et (c) ne seront plus linéaires, et pour les intégrer il faudra recourir aux méthodes d’approximation. On supposera qu’on ait déterminé les valeurs des inconnues , en faisant d’abord abstraction des termes dépendans des puissances des excentricités supérieures à la première , mais en ayant égard à toutes les puissances des masses qu’on veut considérer. On substituera dans les équations proposées les premières valeurs approchées, et l’on déterminera les variations qu’il faut faire subir aux constantes qui entrent dans les intégrales , pour satisfaire à ces équa- . tions, lorsqu’on a égard aux termes du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. On parviendra ainsi, par des approximatiojfis successives , à déterminer les valeurs de ces quantités avec tel degré d’exactitude qu’on voudra, et ' toutes ces valeurs, d’après les principes de cette méthode d’approximation, conserveront la même forme que dans le cas où l’on n’a égard qu’à la première puissance des excentricités et des inclinaisohs. Soit donc • .

^ + ïi + Y, + efc. — o ,

l’équation qui remplace l'équation (a) , et dans la-

a3a THÉORIE ANALYTIQUE

quelle Y est le premier membre de cette équation, Y, uue quantité de l’ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons, Y, une quantité de l’ordre de leurs quatrièmes puissances, etc. Toutes les racines de cette équation, résolue par la méthode ordinaire d’approximation, seront réelles et inégales si les racines de l’équation Y = o remplissent cette condition, et elles se trouveront exprimées en séries convergentes ordonnées comme les quantités Y , Y, , etc. , suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons.

Ainsi donc la stabilité du système planétaire est généralement assurée, quel que soit l’ordre des termes auquel on veut pousser les approximations, du moment qu’on a prouvé que les valeurs des excentricités et des inclinaisons résultantes de la première approximation ne sont composées que de quantités périodi ques. Nous avions déjà démontré ce théorème au moyen des équations qui résultent du «principe des aires , n° 78 du livre II , en étendant les approximations à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons , et aux quantités du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. La démonstration précédente, déduite de la considération même des équations différentielles qui déterminent les variations des excentricités et des inclinaisons, en est une confirmation nouvelle.

Le principe important de la stabilité du système du monde repose , comme on voit , sur deux conditions également indispensables : il faut, 1° que l’équation X = o ait toutes ses racines réelles et inégales ,

DU SYSTÈME DU MONDE. s33

2° que les valeurs de M, M', M", etc. , qui sont des

fonctions de ces racines, soient toutes de très petites quantités. On prouve, n° 65, livre II, que la première condition est remplie dans la supposition que tous les corps célestes circulent dans le meme sens autour du Soleil. C’est en effet ce qui a lieu dans la nature ; mais il était d’autant plus intéressant d’examiner ce qui résulterait de l'hypothèse, que quelques-uns des corps célestes tournent dans des sens opposés, que plusieurs géomètres avaient cru pouvoir avancer que l’hypothèse contraire n’était pas indispensable à la stabilité du système. M. Poisson a démontré, en ne considérant, il est vrai, que l’action mutuelle de deux planètes, que, dans ce cas, les excentricités seront encore des quantités périodiques, mais que les inclinaisons ne seront pas assujetties à cette condition, et qu’elles pourront croître indéfiniment avec le temps. Mais comme cette recherche n’est que de pure curiosité, nous ne nous y arrêterons pas ici, et nous renvoyons, sur ce point, au mémoire du savant géomètre (*).

57. Considérons maintenant les inégalités des élémens des orbites de Jupiter et de Saturne, de Tordre du carré de la force perturbatrice, et qui dépendent simplement de l’argument 5n't — *mt de la grande inégalité. Il est aisé de s’assurer que parmi ces termes les moins élevés, relativement aux excentricités et aux inclinaisons, sont ceux qui dépendent des cubes et des produits de trois dimensions de ces quan-

(*) Connaissance des Tems pour Tannce i836.

tités> et que les plus considérables sont ceux qui, après l’intégration , acquièrent le très petit diviseur (5n -y- 2 n)%. Nous n aurons donc égard ici qu a ces termes, parce que ce sont eux qui fournissent néces* sairement la partie principale des inégalités correspondantes des longitudes et JV, que nous nous proposons de déterminer.

, Occupons-nous d’abord des moyens mouvemens. En supposant que m représente Jupiter, trî Saturne, et que toutes les quantités relatives à m, marquées d’un accent , désignent les mêmes quantités relatives à in! , pour déterminer les inégalités de et cfÇ', on aura *

3 cûn

cTÇ = — Sanfdtfd' . -/R + — fdt{fd'R)',

S'-C— — îa’n’fdtfæ. JR'-f-

Les différentielles d' et d" se rapportent uniquement, la première à la planète m , la seconde à la planète m! 9 et devant être prises, par conséquent, en faisant varier dans chaque formule le temps t introduit par les coordonnées de la planète troublée, et en regardant comme constant le temps relatif aux coordonnées de la planète perturbatrice.

D’après la forme des fonctions /R et J' R', n?47» il faudra, dans chacun des produits qui les composent, combiner entré eux les différens : termes des

deux facteur^, de manière que la somme ou la différence des argumens relatifs aux termes que l’on a considérés, soit égale à 5nft — 2 nt\ c’est-à-dire que

DU SYSTÈME DU MONDE. a35

si l’on désigne par U, l’argument du terme que l’on a considéré dans l’un des facteurs, et par l't l’argument du terme correspondant dans l’autre facteur, que, pour fixer les idées, on suppose de plus que soit toujours précédé du signe -f- dans It et dans l't , il faudra qu’on ait

l'~\-l = 5n' — 2 n ou V — l — 5n' — 2 n.

Il faudra , en outre , que 4a somme des exposans des excentricités et des inclinaisons dans ces termes ne surpasse pas trois.

Or, d’après les lois du développement de la fonction R , n* 4, et celles des diflerens termes des expressions de JV, «JV, JV, etc., il sera aisé de reconnaître que les valeurs de l et de l', qui satisferont à la première condition , seront , ' .» •

l = o et /' = 5n' — 2ti , l = n', V = 4 n' — 27i , " •

l — 571 , V =. 27lr 271 ,

l — Tl1 71, V = ^7l' 71 ,

l — 3 Tl' 71, P — 271 71.

Ces combinaisons sont au nombre de six , mais elles en fourniront douze, parce qu’on peut changer dans chacune d’elles l en V , et réciproquement.

Quant aux valeurs de l et de l qui satisferont à la deuxième condition , leur nombre est indéfini , et l’on peut les comprendre sous ces quatre formes générales :

l = 5 n' — 2H -f- i(n — n) et l' = i(rt — n)

l = 5n' — 5n -f- /(«' — n) V =. i(ri — n) — 3 n,

i étant un nombre entier et positif quelconque.

Ces combinaisons sont doubles, comme les précédentes, parce qu’on peut y permuter les lettres / et r .

On voit, d’après cela , que la partie des valeurs de eP£ et eT^ qui provient de la combinaison par voie de soustraction des argumens le il sera composée d’un nombre indéüni de termes, et que par conséquent il serait impossible de calculer rigoureusement les valeurs de et de qui dépendent de l’angle 5n't — vit , et qui sont du troisième ordre par rapport aux excentricités des orbites, et du second par rapport aux masses perturbatrices. Mais comme les inégalités que ces termes produisent sont pour la plupart très petites, il suffira de tenir compte des plus considérables ; en général , ce sont celles qui répondront aux moindres valeurs de i; et, en effet, on verra, lorsque nous réduirons en nombres les formules du chapitre précédent, que les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, forment des séries qui décroissent avec beaucoup de rapidité à mesure que leur argument dépend d’un plus grand multiple des moyens mouvemens de la planète troublée et de la planète perturbatrice. Les premiers termes de ces séries seront donc , en général , les seuls qui puissent, par leur combinaison avec les

différences partielles de R et R', produire des inégalités sensibles dans les valeurs de cf£ et de

Considérons maintenant la seconde partie des formules ( o ). Il est évident que les seuls termes qui, après la double intégration, auront la très petite quantité ( 5n — 2?î)% pour diviseur, sont ceux qui , dans les intégrales (fd'R)* et (f d!’ R'/, sont déjà divisés par 5«' — 2 n. En nous bornant donc à déterminer ces termes, il faudra, pour les obtenir, combiner la partie constante des intégrales f ûTR et f d"R' avec la partie de ces intégrales qui dépend de l’argument 5n't — 2nt.

La détermination des inégalités dépendantes des seconds termes des expressions de et de cT£' sera comprise, par conséquent, dans la première des combinaisons des argumens It et l't, c’est-à-dire dans celle des argumens zéro et 5n't — 27it.

Commençons par déterminer les inégalités relatives à cette combinaison.

Inégalités de Sé, et cTf' qui résultent de la combinaison des argumens o et 5n't— 2nt.

58. Pour les déterminer, reprenons la première des formules (o) , en n’ayant d’abord égard qu’à son premier terme.

Si l’on ne considère que la partie non périodique du développement de la fonction R , et qu’on néglige les termes dépendans des excentricités et des inclinaisons , on aura

et par conséquent

rfAW » , m dkW

-7— . àr-\ . sy-r'&r .

da i da

En prenant la différentielle d' «TR, on ne doit faire varier dans cette équation que les coordonnées de m, c’est-à-dire qu’il faut différentier l’expression précédente par rapport à JV, en regardant cf r' comme constant. On aura ainsi

d'.S R __ rd dkW dïr

ndt a da andl

Supposons qu’en n’ayant égard qu’aux ternies du troisième ordre par rapport aux excentricités qui dépendent de l’angle 5n't — 2rlt pn ait

^ = FC0S(5«'< 2nt-f-5ê' 26 + f),

F étant déterminé par la première approximation et étant affecté du très petit diviseur 5nr — 2«. En vertu de cette valeur on aura

a'd'.i fi ndt

m’{5n — in) , dk C“> . , , ,

. aa — — . Fsin(5n i — 2/i/-j-5< — n) .

da

3 an*

sim

Et en multipliant cette expression par

en supposant, comme dans le n° 18, a = — , on

aura la partie correspondante de J"Ç réduite en secondes.

On doit observer ici que la différentiation relative à la caractéristique d' introduisant dans d'R le multiplicateur 5n' — an, la valeur de ne semble af-

DU SYSTÈME DU MONDE. 23g

fectée, après la double intégration, que du diviseur 5n — 2n ; mais comme la quantité F renferme implicitement le même diviseur, il en résulte que l’inégalité correspondante est réellement affectée du très petit diviseur (5ra' — 20)“, et quelle est de l’ordre des quantités que nous considérons. 11 n’est donc pas permis de la négliger , comme le suppose Laplace, (. Mécanique céleste, n° 16, livre Vï), et l’on verra qu’en effet cette inégalité s’élève à plus de 8" sexagésimales relativement à Saturne. On peut, pour plus d’exactitude , substituer dans les équations pre'cé-

dentes , à la place de A(o), la partie non périodique de R, exacte jusqu’aux quantités du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinainaisons, et que nous avons désignée par F dans le u° 17..

Supposons réciproquement qu’en ne considérant que les termes dépendant des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons , on ait

R= m'Psin(5n'< — a/tt+5*'— -a») -f-n* P cos(57i'f-— ara<-{-5j'— 2») .

Il faudra combiner avec cette valeur de R celles qui proviennent des parties constantes de <fr et de S'r ; nommons aF et a! F' ces parties , en sorte qu’on ait

il en résultera

<JR — m' (a -^-F + a' ^rF'^sin(5n'f — 7.nt -J- 5i' — 21)

+ m (" a ^ F -f- a F' ^cos (5 n't — 2 nt + 5«' — 2 « ) ,

d’où en différentiant par rapport à nt , en regardant rit comme constant, on tirera

r'd'JR

ndt

=—im'Çaa'^F-ha'‘ ^ F'^ cos (5 n't — mt 4- 5«' — as)

(dV dV

aa'— F+a'*^, F'J kin (5n't — mt -f- 5s' — si).

En multipliant cette expression par ^'^2ny^p >

on aura la partie correspondante de «f^.

Considérons maintenant le second terme de la même formule. Supposons, comme précédemment.

B = m'P sit» (5n't — a nt 4- 5s' — as) 4- m' P' cos (Mt — an 1 4- 5s' — ai),

d’où en différentiant par rapport à nt , et en intégrant ensuite , on tire

fdR=m'g— ■ [P*in(5n't— an«4-5s'— as4-Fco»(5n'« — ant+5s'— as)],

g étant une constante arbitraire.

En ne considérant donc que les termes dépendans de l’argument 5ri t — ant , on aura

(/ <<R)»=— . [Pstn (Mt— an«4-5t'— as)4-Fcos (5n't— an(4-5s'— as)] .

On a d’ailleurs , n° 92, livre II,