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De mèmè en qd^iûàHt Q'c#) , Q^'^, etc., ce que deviennent Q^o) , Qc'-), etc., relàtiVéthèfït ''à ‘ tiy*'6ïî trouvera

q'(o)= &1 2}gVMM, Q'(')=— ^^G,a,MC>,Q,(>)=aG,aM(<», QV^GaW'),

cy<«=-F.r^!, • '

Et en nommant ensuite A', et B', ce que deviennent A, B, A, , B; , relativement km', on aura

a5o THÉORIE ANALYTIQUE

l^ii-=(A'+A>n(5n'î— int+5,'-i,)-<b'+B'/)c(»(5n't-ant+5t'-2,).

Remarquons maintenant que par la nature de la fonction perturbatrice, les valeurs des quantités Mw, M(,) , etc., relatives à l’action de m' sur m , sont égales à celles des quantités correspondantes Mw, M(,), etc.,

' relatives à, l’action de m1 sur m , multipliées par

autant que l’dn fait abstraction des termes qui renferment la quantité Ac,>, parce qu’elles se rapportent alors au développement de la partie commune aux deux fonctions R et R'. Quant à celles de ces quantités qui renferment Ac,), dans le cas de mouvement de m troublé par ml , il faut supposer ( n* )

«'At0=£v, — a, et dans le cas dem' troublé par m,

il faut faire a'SS'^—b] ^ en faisant donc sîmple-

ment dans les 4êux ’ca«i>ci'A^=s= — «V les valeurs

de M(0), M(,) , etc. , lorsqu’on considérera les pertur-

bations de m , seront aux valeurs des mêmes quantités relatives aux perturbations de m ' dans le rapport de ma m'. Cela posé, si l’on compare respectivement entre elles les valeurs des quantités P(o), P(,), Pw, etc., et P'w, P'c‘>, P'(l) , etc., en observant

que 5n' — an étant une très petite quantité , on peut, dans ces valeurs, supposer sans erreur sensible 5re'pc2/i,

onauramnP(,--f-m'nT'w==o,m«Pw-f-mVP(')==o,etc., les quantités QCo), Q(l), etc. , Q'w, Q,(,î, etc., seront liées entre elles par des équations semblables, en sorte que relativement à cette partie de «f R', on aura

. tr.i R' <f./a

mdl m'dt *

Soit maintenant «TR." Faugmentation de la fonction cTR lorsqu on fait croîtra la valeur précédente de

a'Ac,) de a — *7 oa "aura.; évidemment

^ <PR' = — <fR— /R";

J IM y « 1 •

et en ne considérant que la seconde partie de la va-

1 1 ru, ^ ' d".JR' d'./R*

leur de SR , on trouvera encore -r— — rjr ;

9 mat m ai

oa aura donc généralement

d' ■ JR d’.i R»

v « ' ' •> ' • « y - m'd* mV*

aplè donnera très aisément la

celle de sera déterminée, ■ at

on rt’aura a Calculer que la valeur de cfR", qui sera toujours très peu compliquée. Si les quantités M(o), M(l), etc. , qui dépendent du développement de la fonction R ne renfermaient pas la quantité A0) , on aurait simplement

Et cette relation fort sir valeur de — lorsque

d r.JR' mdt **** m'dt *

Dans ce cas les inégalités correspondantes des moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne sont liées entre elles par la même relation que les inégalités correspondantes dépendantes de la première puissance des masses; c’est-à-dire qu’en n’ayant égard

qu’à ces parties des valeurs de et de Ç , on a

m Va ^

a5a THÉORIE ANALYTIQUE

En effet , ces inégalités sont alors déterminées par

les équations

' ï c : . JÇ r=s — San fdt f d' . «TR,

Za'n'm

-f dtjd! . <fR ,

d’où résulte la relation précédente.

Dans le cas général on aura

On y représente une quantité peu considérable détermi-

-né^p^r réquation^= ^^,m- fdtfd! . efR". Les mêmes

relations' existôroot: entre le» «inégalités qui résultent des diverses combinaisons *énupaérée$ $$ en gér néral entre les parties correspondantes des inégalités à longue période de deux planètes m et m' troublées par leur action mutuelle , qui dépendent du carré des forces perturbatrices ; cela tient évidemment à la forme des différens termes des expressions de d'£ R

et æm.

63 . Au reste, il existe généralement entre les valeurs complètes des deux quantités J'f et une équation de condition que. Ton., pept, démontrer q priori , et qui n’est qu’une extension aux. inégalités du second ordre de l’éqpation qui lie entre elles les inégalités , dépendantes de la première puissance de la force perturbatrice, des moyens mouvemens de deux planètes m et m! qui réagissent l’une sur l’autre, équation que nous avons démontrée n* 39 .

Dü SYSTÈME DU MONDE. s53

Cette relation devient ici d’autant plus importante , que les calculs quelle doit servir à vérifier sont plus longs et plus compliqués.

K Reprenons l’équation (14) du n° 3g.

Les caractéristiques d et d ' désignant respectivement des différentielles prises par rapport aux coordonnées de m et de m' 9 et en supposant pour abréger

» • • , 9 * fc.. ** ,

^ V (*'—*)• + (ÿ —yY + & — *)*' '

Pour déterminer le mouvement autour de M dé

la planète m troublée par l’action de m\ on a par le n° 8 du second livre, ..

d'x (M -f- m)x . m xr

p— + yr

Hr ^ ? r -pr

~dF * ~r* "* r^~

Le mouvement de mf troublé par Taction.de m sera déterminé par les mêmes équations, dans lesquelles on changera ce qui est relatif h m e n ce qui est relatif à m', et réciproquement.

Si Ton tire de ces équations les valeurs des six

... * (M-f-m)ar*. (M -f* m) xf . ^ ~ * 'o i u 1 '

quantités - — r-- - ■ , > > ■ ■ , etc. , qu on les subs-

titue dans l’équation ( t ) , qu’on intègre ensuite l’équation résultante , en observant que

xdx-\-ydy-\-zdzx=-idr , x'dx'-\-y'dyf-\-z'dz'=xr,dr' ,

et que par la nature de la fonction A on a

dA ... dA ... dA dA dA dA

-—dx'-b “Qj ■+■ T~d* — rdx — ~r~dy — -j~dz = — dA, dx dy J dz dx . dy J dz

dA,

dA ,

£dx +

on trouvera

(M-t-pi')mfd’R -+■ (M + m) m’ftPK = con»t. + mm" Q?

dxdx'+dydj'-hdzdt' ,M . „ ,, ,

— mrttf (M -f- « + m').mm'A.

Nous ne considérerons dans les deux membres de cette équation que les termes qui dépendent de l’argument 5 n't — a nt, et qui ayant pour diviseur 5n'~ an, sont du troisième ordre relativement aux excentricités et aux inclinaisons , ces termes , en effet , étant les seuls de cet ordre qui puissent acquérir par une seconde intégration la quantité (5 2»)* pour diviseur dans les valeurs de et de ef£'. Observons d’abord que les fonctions

, dxdx' 4* djdy + didz

mm - -jp- >

V (x' + — JV + & — z)’ ’

ne renferment aucun terme de cette espèce lorsqu’on y substitue pour x, ,y, etc., leurs . valeurs elliptiques , n° 60 , livre II. >

, Si l’on considère donc simplement les termes de

l’ordre m • dans l’equation (P) , on aura ’ •

mfdR -f- m'fd’K = o ( p ). , ..

’Cest l’équation à laquelle nous sommes parvenus n° 39, et qui nous a donné la relation très simple qui existe entre les inégalités de et de dépendantes de la première puissance des forces perturbatrices.

Considérons maintenant Jes termes du troisième ordre par rapport aux masses dans le second membre

de l’équation (P), la fonction mm' -f- étant

déjà du troisième ordre, il suffit d’y substituer pour r et r' leurs valeurs, elliptiques; elle ne peut donc donner aucun terme du genre de ceux que nous considérons. Quant à la fonction

fdxdoc*+djrdy+dzdz'\ —mm à y

Il est facile de s’assurer qu’elle n’en donnera pas non plus de semblables. En effet , soit A cosÇi'n't-f-int-f-B) 1 un quelconque des termes dans lesquels se développera le produit dxdx', par exemple , lorsqu’on y substituera pour x et x' leurs valeurs elliptiques , î et i pouvant avoir toutes 1er valeurs possibles , la valeur zéro exceptée > et A étant une fonction des élémens des orbites de m et de m\ Si l’on augmente ces élémens de leurs variations dues ?à Faction réciproque de m et de w', et qu’on observe que les seul» termes de ces variations qui aient 5ri^~ an pour di-

a5 6 THÉORIE ANALYTIQUE

seur sont ceux qui dépendent de l’argument 5n't — ant, on verra que la variation de A cos ( i'nt -f- int + B)ne saurait être aucun ternie de ce genre relatif au même argument , c’est-à-dire aucun terme qui puisse par une nouvelle intégration acquérir le très petit diviseur ( 5/î'~ 272)\

• Quant au dernier terme de l’équation (P), on peut

le réduire au suivant : r • ••

— Mmm'A.

Puisque la partie de ce terme qui est du troisième ordre ne peut donner aucun terme ayant pour argument 5n't — 2nt et pour diviseur M — 2 n.

• Il faut, dans le terme précédent , substituer à la place de p , sa valeur dépendante des forces perturbatrices. Or, si l’on regarde A comme une fonction des six variables r, v, s, r', v' , /, où des coordonnées polaires des planètes m et m\ en remplaçant Ces coordonnées par leurs valeurs, augmentées des parties dues aux forces perturbatrices , on aura

D’après cette expression, il est évident que les seuls termes de J' A dépendans de l’argument 5n't — ont qui puissent avoir 5/i'— un pour diviseur, sont ceux qui résultent de U substitution des valeurs de dV, dV, etc., qui ont déjà pour argument 5n!t — int ; combinés avec la partie non périodique de A. En faisant donc pour le moment abstraction de ces terrpes , , on peut regarder comme nul le second

membre de 1 équation (P) > et en désignant par J!R et cfR' Jes fonctions de R et de R' <jui dépendent du carré des forces perturbatrices , cette équation j en supposant M= 1, donnera ' ] '

mfd . J R + ni fit . R' -f- d'R 4- / oPR') =0 (q).

Si l’on ne considère , au contraire , dans l’équation (P) que les parties qui sont dues à la combinaison des argumens zéro et 5rit — 2nt , on aura

mfd.J^R + /ra'Af'.cfR/== — twttz'cT'A.

Or t la valeur de R donne 1

/a u , / /xf -I- r r' -h zz'\

m' A = — R + (-— ■ JJi ' - ■ ).

Nous ne considérons dans S A que les termes qui résultent de la combinaison de la partie non périodique de A avec ceux de JV, JV, JV, ete. , qui dépendent de l’argument 5rit--+2nt; Or, la dernière partie de l’équation précédente ne fournit pas de termes semblables, n* 60, livre H. Oû aura donc simplement, dans ce cas , 77»fA = — R, et par conséquent

L’équation (P)> en n’ajant égard qu’à ces termes,

donnera donc , ■

71 tu fd . *TR -f- fd J" dl • ef R; R £= o.

,En vertu de l’équation Çp) on peut donner à l’équation. (q) cette forme : ..

mfd1 . J'R+m'/J". <TR'+ m'{rn, — m!)f d"R'= o; (r)