Tome III

a58 THÉORIE ANALYTIQUE

Si Toq considère uniquement les parties de J '£ et de JC qui sont indépendantes de la partie constante de la fonction R , en vertu des formules (o) > on aura simplement , . i ••

JÇ~ — 3anfdtfd'.jR:,

JC = — 3 a’n'/dtfd" . JR'. '

On- a , de plus, par la formule (8), livre II,

C— - Za'rifdtfd!'R'.

L’équation (r) , en la multipliant par dt et en l’intégrant ensuite , en vertu de ces valeurs donnera

m'JC -J- ~ mJÇ + (m — m! )m'C — o.

D’ailleurs, aux quantités près de l’ordre m, on

a /t*as= ce qui donne = y l’équation

précédente deviendra donc

m s/a.J^+m' \J a! . JC~\-{rn — m!)m! s/a'C—o, (M)

équation de condition à laquelle devront satisfaire les parties de et de JC qui dépendent du carré des forces perturbatrices, et qui résultent de toutes les combinaisons qu’on peut faire des différens argumens de chacun des facteurs de la fonction «TR , et qui ont été énumérées n° 57 , U combinaison des argumens 5 n't — ont et zéro étant seule exceptée. Quant aux parties qui dépendent de cette combinaison , en les désignant par J£ et J JC, on aura entre elles l’équation de condition

m V« . J'X + m' \/J. — ZmfSKdtz=o. (N)

Les e'quations (M) et (N) serviront à déterminer la valeur de «Pf lorsque celle de sera connue,, et * réciproquement, ou bien elles serviront à vérifier ces Valeurs, si elles ont été calculées séparément.'

Il faut toutefois remarquer que s’il arrivait, comme cela a lieu en effet , qu’une partie des valeurs de et de «f£' fût liée par l’équation de condition '' '

my/a.ft + m! \Q . £?'= o, (L)

toutes les inégalités qui satisferaient à cette équation n’ajouteraient rien aux équations (M) et (N), en sorte qu’on pourrait en faire abstraction sans nuire à leur exactitude, D'ailleurs, le dernier terme de lequation (M) étant une très petite quantité, d’après ce que nous avons dit n° 62 , chaque couple d’inégalités correspondantes de «f£ et de satisfera toujours en général, à très peu près, à l'équation (L).

Il ne suffit donc pas que les valeurs que l’on a trouvées pour et jÇr vérifient l’équation (M) , pour qu’on puisse en conclure que ces valeurs sont les expressions complètes de ces quantités ; il faut qu’on se soit, de plus, assuré, par le calcul direct, que l’on n’a omis aucune des parties de ces inégalités qui peuvent acquérir une valeur sensible. «

64. Déterminons maintenant les inégalités de la longitude de l’époque correspondante aux précédentes. Ces inégalités devront être ajoutées à celles

abo THÉORIE ANALYTIQUE

du moyen mouvement dans l’expression des longitudes moyennes. • .

Reprenons la formule (2) du n" 46» qui détermine la variation de* e. Cette formule, en intégrant et en négligeant les cubes des excentricités , donnera

3a'f”dt ■ Cir) + 'a>fndt- (S ^R) +

-+■ fndi ÇaJê — ^ eJa^ !

dR

En changeant dans cette expression tout ce qui est relatif à m en ce qui se rapporte à m'f R en R', on aura l’expression de JY.

Examinons successivement les différens termes de cette formule. Le premier ne peut donner dans J'* de termes divisés par (5n'— an)* qu’autant qu’on considérera dans J R les termes qui ont déjà poux diviseurs 5 n! — 2n ; si l’on se borne donc à ces termes , la valeur de J'R rapportée n° 58, donnera simplement . \

' • . ’ . J'R = ST *** JV + 51

a da a , daf