TR

m'Jrt —T

a * — y* [Psin(5/»'X — artX-f-5*/--a«)*4“Pcos(5n'x — a*H-5*' — a*)],

fl/a ~r~T7y /[t>6irt(5n/x — anX-t-5/-— a#)4*P/cos(5n/X — a/ix-f>5»' — a»)]. dada, *

Mous avons trouvé , n° 38 ,

am'na , ,, 5mnV

, v " ' 5n'*— a./i * /în'

On aura donc, en ne considérant que le premier terme de la formule (2)

— -.-.a' . [«/P6in(5Vx-a/>X-f-5«,-a>)-fl,Pcos(5fi/x-a/iX-4-5i/«a«] (5n'— -a/»)a </a* ; . v . *

(5 n' — a n) io mm'nn' ,

-s—, —.a' a*— -J-J- . [n'P'»in(5/ï/X-ant-f-5«/-ai)-a/Pcos(5/i/<-anX+5i'-a«] .

(5n — an)a dada * . j

Considérons le second terme de la même formule. Les seuls termes divisés par (5/i' — 2/2)* qui puissent en résulter dans J^, sont ceux qui dans la valeur de f d1 R ont déjà Snr — *xn pour diviseur.

î6i . THÉORIE ANALYTIQUE

. Si l’on suppose donc • *

K s= m' P sin (5 n1 1 — ml -+■ 5i' — ai) -f- m'P'cos (5 n't — anl -f- 5*' — ai) j

d’où Ton tire ,

f d'R= — p [Pain (5n't — int+5* — ai)+P/cos (5 n't — mi+5/ — ai)] .

Il faudra combiner dans Je la valeur précédente de

JD r

f é/'R avec çelle de qui résulte de la partie non pé-

riodique de R ; c’est-à-dire qu’en ne considérant que le second terme de la formule (2) on aura '

■ n.<L. n' a~- — ^ . rfi'P',8in^5n,i-a/ït-fi5«,-ai) — a'Pco8(5rt'<-a/?£-f-5*'-tai)3 . (5/i-a«ja da

Si l’on ajoute cette partie de la valeur de Jé à la précédente , en observant que

, , ^AC°) t dk^ 3 d»AC?)

^ a dada ' da U da x ’

on trouvera , en vertu des deux premiers termes de la formule (2),

*a ( /tA(°) , /Z*A(#>\f a'P'«în(5n'l — an/-f-5i'-*at)^

^^{Ü/J—mÿ \ Ua da Qa ° da a /( — a/Pco8(5n'/-a«r-4-5i'- ai) l

< é xnmm'nn'a. f ,dA<°\^ ■, j«,P'ain(5^— aitf-h5i'— a»)

* (5,ï — a/z)**\ aû da aa da » / (— a'Pcosfin't-ml+St'-ii) J *

et par une analyse semblable pour la partie correspondante de JV , on aura

- 5m*n '• f a'P/sin(5/i/«— ant-^5i'— ai) |

\ a% da' da '• Jl — a/Pco»(5n'î— a/it-f-Si'— a») (

Anwtnqfdkf ,**A<*>, , &A<9>\S a PVu>(5/i'*— ant+5.'— ai) > da +a a )\-~a'Pcos(5n't-mt+5t'—ït)f '

Le troisième ternie de l’expression (2) ne peut donner aucun terme de l’espèce de ceux que nous

considérons lorsqu’on néglige les quantités dépendantes des puissances des excentricités supérieures à la troisième. En effet , pour avoir ces termes, il suffit de supposer > ' . ;

m’ rfAW

2 da 2 da

Cette expression, différentiée par rapport à e , sans faire varier Sr et Sd, se réduit à zéro.

Passons au calcul du dernier terme de la valeur de Je. En n’ayant égard qu’à ce terme, on aura

Se — -^--J'ndtÇeSa — - aSe ^

Il est clair que les seuls ternies qui puissent avoir (5nr — 2 n)* pour diviseur sont ceux de Sa et de Se qui dépendent de l’argument 5n't — i nt , combinés

avec les termes non périodiques de e ~ et de

Or, e est une fonction du second ordre par rapport aux excentricités, et les térmes de Sa dont il s’agit sont déjà du troisième ordre; il ne résulterait dônc de cette combinaison que des termes du cinquième ordre relativement aux excentricités, quantités que nous négligeons. Tenons-nous-en donc à considérer les termes de Se qui naissent de la substitution de la valeur de Se. On a pour la variation de l'excentricité , n° 42 , livre II ,

de = — - aed' R — andt

La première partie de cette expression ne peut don-

ner dans aucnn terme du genre de ceux dont il s’agit, par la même raison que précédemment; il suffira donc de considérer la seconde. En n ayant égard qu'aux termes qui dépendent de l’argument 5n't — mt , on a, n* 36,

«Te = a i f ^77 sin (5 n't — int- ^-cos (5 n't—ïnt -f- 5 1 — 2«)J .

.yy'

5n' — an L de

On aura donc par la substitution de cette valeur

^ , f/Fr ,dP' . r , , ,dP , ~|

fi—T7ï-, a ~ï~ a —r-&in.5n' t-'jnt-+-5t ~a«) — a -.—cos (on t-znt+'Jt -a») I

4(5« -anj* de L \de - ' 'J

et en changeant tout ce qui est relatif à m! en ce qui est relatif à m, et réciproquement, on aura pour la partie correspondante de <JY,

■ Tt£*a'*n'* JF' f (fl* . K . ■; t , . dp ■ , ■. 1

* = Ld?“,,( +Ï -v)--cos{5n'l.i,u+5. -») I,

F et F' désignant respectivement les parties constantes du développement de R et R'. Si l’on n’a égard qu’aux termes dépendans des carrés des excentricités et des inclinaisons, on a

fe-- AC’)+'H(e*+e'a)-f-— ee'H'cos(* ûd'BC'V* -2*0/ 2 O

où l’on fait pour abrégea

„ dAC°) , ; d*AC»>

H = ia — ; \r cl*

TI/ AfO dAO> 1