H=AC

et en multipliant par l’expression de F , on aura l’expression de F'. v ‘ *

DU SYSTÈME DU MONDE. a65

64. Il est aisé de & assurer que les variations des excentricités et des longitudes des périhélies ne contiennent aucune inégalité de l’espèce de celles que nous venons de considérer ici, c’est-à-dire aucun terme dépendant de l’argument de la grande inégalité du second ordre par rapport à la force perturbatrice , et qui ait pour diviseur la très petite quantité (5ra' — 2/1)% du moins tant qu’on n’a égard qu’aux termes dépendais des troisièmes puissances des excentricités et des inclinaisons; il n’en saurait donc résulter dans les expressions des longitudes Vraies de m et de m' que des inégalités insensibles. En réunissant par conséquent les diverses inégalités des moyens mouvemens de m et de ni ' qui résultent des combinaisons énumérées n° 5y , et celles des longitudes des époques que nous venons de déterminer, et en désignant par , cPç',, cPê , et JV ces sommes , pour déterminer les inégalités correspondantes du mouvement en longitude de m et de m'y on aura

<JV -j— <?€ J = Sç' -J— (pé'*

Ces équations donneront les parties les plus sensibles des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne dépendantes du carré des forces perturbatrices.

65. Nous n’avons considéré jusqu’ici parmi les termes de cet ordre que ceux qui sont relatifs à largument de la grande inégalité; mais on peut tenir compte des principales inégalités de Jupiter et de Saturne , dépendantes de la seconde puissance de la

force perturbatrice , et relatives à un argument quelconque de la manière suivante.

Soit H cos (irit' — int + A) un terme du développement de R, et soit K sin {i'nt' — int -|- B) 1 inégalité qui en résulte dans le mouvement de m. L’expression de K, d’après ce que nous avons dit n° 28 , aura pour diviseur l’une des trois quantités (i n — in) , (iV — in) ou (iV — in)zhn. Maintenant, si l’on veut avoir égard aux termes dépendans du carré de la force perturbatrice, il faudra, à la place de n t et de nt , substituer fnd't et f ndt , et faire croître dans H et A les élémens de l’orbite elliptique de leurs variations. Mais on a fn'dt = n’t + et fndt = nt -f- Ç ; il faudra donc dans le terme Hcos(*V« — int A) augmenter les longitudes n't et nt de £ et de Ç , et en n’ayant égard dans les valeurs de ces quantités qu’aux termes relatifs à la grande inégalité : il en résultera dans R un terme du second ordre de la forme AH cos [ïn’t —int =fc(5 ntt — ant) -f-A + C], et l’inégalité correspondante de m aura pour diviseur [iV — in ri= (5 n1 — an) ]*, i'n’ — in ± (5ri — an) ,

i’n’ in ± (5 n — an)d=n. Si i'n'— in ou ïri—inzhn

ne sont pas de très petites quantités de l’ordre 5«' — on peut, dans ces diviseurs, négliger 5n' — an devant i'n' — in et i'n' — in riz n ; en sorte que l’inégalité correspondante à

AH cos [i'n' — int ± {ont — a nt) -f- A-f- C]

sera

AK sin [i'n't — int =fc {Sn't — ant) B + C] ,

tyili^eid bj

quantité qui est l’expression de la variation de Ksin (in! — int -f- B) lorsqu’on augmente n't ' et nt de leurs grandes inégalités. Ainsi donc, dans les inégalités de Jupiter et de Saturne, qui ne dépendent pas de l’argument 5n't — int , ou dans lesquels le coefficient de t ne diffère pas de la quantité 5n' — in du coefficient n pour Jupiter, ou du coefficient n' pour Saturne, on aura égard aux termes du second ordre , en augmentant n't et nt de leurs grandes inégalités ‘dépendantes de l’angle 5n't — int.

Quant aux inégalités résultantes des variations relatives à l’angle 5nrt — int des autres élémens de l’orbite elliptique, comme ces variations sont toujours très peu considérables par rapport à celles du moyen mouvement, on pourra les regarder comme tout-à-fait insensibles.

66. Lorsqu’on aura déterminé toutes les inégalités du mouvement d’une planète , dépendantes d’un même argument, on en fera la somme , et on les réunira ensuite en un seul terme , comme on l’a dit n° 3o. Soit

K sin (i'n't — int -h *V — U + A)

l’inégalité qu’on obtiendra de cette manière; K et A étant des fonctions des élémens des orbites, leurs variations séculaires peuvent avoir de l’influence sur les valeurs de ces quantités. Si l’on juge l’inégalité assez considérable pour y avoir égard, on pourra le faire par la méthode du n° 29. On calculera la même inégalité pour une époque éloignée de deux cents ans de la première , soient A' et B' ce que deviennent

a68 THÉORIE ANALYTIQUE

alors A et B ; on aura

dK , K' — K dk A' — A

• dt 200 ’ dt 200

On aura donc pour un temps t quelconque compté en années juliennes , à partir de l’époque qu’on a choisie , ,

(K + t sin Çi'n't — int -f- i V — ié -f- A -f- £ — ^ ;

et, sous cette forme, cette valeur pourra s’étendre à plusieurs siècles, sans erreur sensible. *

La détermination des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne exige qu’on ait égard aux termes dépendaus du carré du temps dans la partie qui a pour diviseur {5ri — an)*, et qui est, par cette raison, très considérable. En ne considérant que ces termes, on a , n* 41 >

p~ (5 n'Z)dt ;5n^^]co,(5n't-an<~f5,,~3,)- )

iVzzz

Les valeurs de P, P' et de leurs différences se rapportent à un instant quelconque. Si , pour fixer les idées , on prend pour époque l’année 1 800 ; que pour abréger on fasse

2dP' 3</»P

(5n — 2 n)dt (5 n1 — an)‘rf(J ’

idP 3d‘V

(5 n' — 2 ri)dt \f)ri — 2«)adt* 1

P, P' et leurs différences se rapportant ici à lepoque

de 1 800 , on aura pour un temps quelconque t f en négligeant les puissances de t supérieures à la seconde ,

(5 n' — 'tn)3

(Q'+<^+5 ^^)sin (Sn’t -wt-h 5i'—

~ÇQ + ‘7h+îi 7i?)C0‘ (5"'1 - Mt + w~

Les valeurs de Q, Q' et de leurs différences . s’obt tiendront sans peine lorsque celles des quantités P et P' et de leurs différences seront connues ; on pourra, dans ces valeurs, n’avoir égard qu’aux premières et secondes différences de P et de P', et ces quantités se détermineront comme on l’a vu n° 29.

Si l’on veut réduire à un seul terme l’inégalité précédente, on la calculera pour les trois époques de 1800, 23oo et 2800, éloignées de 5oo ans l’une de l’autre. Soit L sin (5n't — znt + 5s' — * 26 -+- £) cette inégalité réduite à un seul terme pour 1800, et soient L', £', L", ff r/, ce que deviennent L et £ aux époques de 23oo et de 28001 c’est-à-dire lorsqu on fait, res*pectivement tc=z 5oo et £==1000 dans la valeur de «ÎV, on aura pour un temps quelconque t , compté de< 1800,

L\. . ( c . , dC , t* d*C\

— J.sm ( 5 n t — tnt- f-5« — tt-bC -j-l -, — r- îi

* J \ * dt t dt*)'

les différences de L et £ se rapportant à l’époque de 1800, et étant déterminées par la méthode du n° 29. On aura ainsi

L" — al/ 4- h

IOOO

dt '

a5oooo

ÏOOO y

a5oooo 1 ’

?.7o THÉORIE ANALYTIQUE

on donnera de même à la grande inégalité de m' la

forme

(A -f- B/ C t*) sin (5 n't — 2 nt -f- 5«' — 2*)

+ (A'+ B ’t -f- C <*)cos [5rit — ont -f- 5 1' — ot) ,

et l’on réduira ensuite en un seul terme cette inégalité par les mêmes procédés.

Lorsque toutes les inégalités du mouvement d’une planète seront ainsi ramenées à la même forme , il sera facile de les réduire eù tables qui s’étendront à plusieurs siècles avant et après l’époque qu’on aura choisie. D’ailleurs, comme nous l’avons dit, il ne sera nécessaire d’avoir égard aux variations dépendantes de la première puissance du temps dans l’expression des coefficiens, que pour celles de ceâ inégalités qui seraient considérables, et l’on n’aura égard au carré du temps que dans le calcul des parties des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ayant (5n' • — on)* pour diviseurs et relatives à la troisième puissance des excentricités et des inclinaisons.