CHAPITRE Y
Des perturbations dans les mouvemens des planètes et des comètes , dues à la résistance d’an milieu très rare.
67. La résistance qu’un corps en mouvement peut éprouver par la réaction du fluide qu’il traverse , dépend en général de la densité du fluide et de la vitesse dont le mobile est animé.
On suppose ordinairement la résistance proportionnelle au carré de la vitesse; et l’accord de cette hypothèse avec un grand nombre de phénomènes observés à la surface de la Terre semble indiquer que c’est en effet la loi de la nature. Quant à la loi de densité du fluide éthéré qui entoure le Soleil , elle est absolument inconnue, puisque l’existence même de ce fluide est encore très problématique. Cependant on doit supposer, en général, que cette densité diminue à mesure qu’on s’éloigne du Soleil, et qu’elle devient nulle à des distances infinies. On pourra donc regarder la densité du milieu comme une fonction inconnue de la distance au centre du Soleil, et faire ensuite sur la forme de çett<e' fonction différentes hy-
a7a THÉORIE ANALYTIQUE
pothèses , parmi lesquelles on choisira celle qui s’accorde le mieux avec l’observation. v - -
Soit donc ds l’élément de la courbe décrite par la
(ds \*
-jA l’expression de
la résistance du fluide quelle traverse, p , qui représente la loi de la densité du milieu , étant une fonction quelconque de la distance de la planète au centre
du Soleil, en sorte qu’on a généralement p = K <p
en nommant r le rayon vecteur de la planète et A: un coefficient constant. Cette résistance s’exerce évidemment en sens opposé au mouvement de la planète ; en multipliant donc son expression par les cosinus
^ & ique forme l’élément ds avec les axes coords* ds ds * ■ , . - .
donnés , on aura pour les trois composantes respectivement parallèles à ces axes
dz
di'
ds
-PdT
dx
ds djr ds
p dî T* p di
Pour déterminer1 le9 perturbations que ces forces introduisent dans le mouvement de la planète, on regardera son orbite comme une ellipse variable , dont on déterminera les élémens par la méthode ordinaire. Nous pourrions déduire les variations de ces clémens , des formules que nous avons données n*3i, livre III, et qui s’appliquent immédiatement an cas où la résistance de l'éther est la force perturbatrice qui agit sur Ta planète ; mais nous profiterons de cette occasion pour montrer comment , par la simple combinaison des formules du mouve-
DU SYSTÈME DU MONDE. a73
ment elliptique , on peut obtenir très aisément les expressions des élémens de l’orbite troublée sous telle forme qu’il conviendra de leur donner.
68. Si l’on désigne comme précédemment par R la , fonction perturbatrice, et qu’on néglige la masse de la planète devant celle du Soleil prise pour unité, ce qui donne jkssi, les équations différentielles du mouvement troublé donneront d’abord les qnatrd intégrales suivantes :
xdy ydx r/ dR. df{
de
Jl
zdx — xdz
ydz—zdy dt
Dans le cas de l’orbite elliptique, R est nul, et les seconds membres des équations précédentes se. réduisent à des constantes , on a donc
(bc1-\-djr',-\rdz* 2 1 i
xdj — ydx dt ;
de
zdx — xdz
dt
— c, di —c.
„ *. Les trois quantités ~ôdt , '-c' dt ,\ d'dt , représentent les aires décrites par le rayon vecteur de rrt, pendant l’instant dt sur chacun des plans de projection , et la racine de la somme de leurs carrés l’aire décrite sur le plan même de l’orbite ; cette aire est égale d’ailleurs à j VW1 — e*) dt , n* 20, livre II, en sorte Tome III. 18
qu’on aura .
Si l’on prend pour plan de projection le plan de l’orbite primitive de la planète , c' et c" seront de l’ordre des forces perturbatrices ; en négligeant donc
le carré de ces forces, on aura \'a(\ — e*) = c. Quant aux quantités c' et c", elles déterminent la position du plan de l’orbite ; et en nommant <p son inclinaison sur le plan fixe , et 0 la longitude de son nœud , on a, n* 3o, livre III.
c<— v/<i( 1 — é*jsïn ip cos 0 , c'=— \/a(i— e*)sin<p sin0.
En faisant donc, comme daus le n* 4, livre II, sin <p sin 0 = p, sia ç> cosQ = q , on aura
Cela posé , si l’on différentie , conformément à la théorie des variations des constantes, les équations (a), en faisant varier à la fois les constantes et les variables quelles renferment , et qu’on compare ensuite ces différentielles à celles des équations (1), on aura, pour déterminer les quatre constantes a, e,p, q que nous avons substituées aux constantes a,c , c' , c", les équations suivantes :
T'CZrTîr1'" "0US 'li°"S d'jà 1»"— v
On déterminera donc immédiatement ainsi fe quatre pnneipanx élémens de l'orbite troublée- les deux autre, peuvent s'en déduire avec la même
.^E„ effet, par les rormu, es du mouvement ellip-
nt-
■ K LOS U ) f
■ CO
e — e sin u ,
,a,*g ; (u — <■■>) —\/~ tang i u.
Ces équations , ainsi que leurs différences premières, doivent egalement convenir à l’ellipse invanable et a l orbite troublée , ce qui exige que leurs différentielles, prises relativement aux constantes qu elles renferment et aux quantités qui varient avec elles , soient milles d’elles-mêmes. On aura ainsi n° 3i , livre III , *
fia(i — ecostt) — ade cos u + aedu sïn u o ,
dî — da + desinu— du( 1 — ecos «) = o, da \/i e*(i — ecos u) -f- désinw 4- du{ 1 — e*)s= o.
orjG THÉORIE Ai^AljTIQUE
Ces trois équations suffisent pour déterminer de et dco , en fonction de de et de da. Si Ton substitue dans les deux dernières la valeur de du tirée de la première , on aura les deux suivantes :
ae \A — e'dasimi ade(e-\-cosu) — da( i — e*)=o,>
(de — dj))aes\nu-\-ade(e--cosu)-\-da(i — ecosw)*=o; ( ^
ou bien en ajoutant ces deux équations : dé — dco ( i — . V7 1 — c* ) =
-\ d.a( i — ea) — da[ i — ecosw)*
ffesini/
Cette dernière équation peut prendre, comme on sait, une forme très simple. En effet, on a .
et en substituant pour da et d . \/ a(i — e%) leurs valeurs , en observant qu’on a
\/n=a,n , d'R^dx+^dj, et *“£+/£=££ ,
JR
JR
JR , JR JR
dx
dy
dx J dy
dr
et faisant attention aux valeurs de doc et ^ données , n° di, livre III, on aura ,
dé = da) Ç i — y' , — ^ — zandt Ç r , (5)
équation à laquelle nous sommes déjà parvenus, n° cité. ,r
En substituant dans la première des équations (4) pour da et de leurs valeurs , on aura la valeur de dau, et l’équation précédente donnera celle de dé quand la valeur de dco sera déterminée.: „
'On aura donc. ainsi des différentielles de tous les élémens de l’orbite exprimées au moyen des différences partielles de da fonction perturbatrice relatives aux coordonnées de la planète troublée. On peut donner à ces formules différentes formes, selon les cas où Fou se propose de les employer. Si au lieu des coordonnées rectangulaires on veut faire usage des coordonnées polaires/*, v,s, on* observera qu’en regardant R comme fonction de ces quantités, on a
d‘R—d:^dr + ~ dv +~ds. .
dr dv
Nous avops supposé dans ce qui précède
dx
aæ -j-
dy
en négligeant les quantités qui sont de l’ordre du carré des forces perturbatrices, on a d ailleurs.
x — r co${v — co) , jr = rsin(p — cû), z = rs .
En comparant donc tes deux expressions de d'R après avoir substitué pour dx, d.y, et dz leurs valeurs, on ' trouvera , aux quantités près que nous négligeons ,
dK , dK dK
x Tx +Ï & =
rfR «ffi rfR ' '
• x dy dx do*
. • ' ' dK i dK
• dz r ds * ' ' * '
En substituant ces valeurs dans les formules (3) , (4) et (5) , et en exprimant les sinus et cosinus de l’ano-
malie excentrique u en fonction du âinus et du cosinus de l’anomalie vraie v — rey on aura les variations de tous les élémens de l’orbite exprimés par des formules qui ne contiendront que les différences partielles de la fonction R relatives aux coordonnées polaires de m multipliées par des fonctions de ces coordonnées.
Enfin , si l’on observe que l’on a, n° 4 >
dh
dv
dK
dK ,
r: — zrj7 -r
dr sin (v-
ndt dK
U ' da
dm
d R dq
cos (y — Cû)
dK
ds
dK
dp’
en substitua ut ces valeurs dans les formules précédentes , les variations de tous les élémens se trouveront exprimées par des formules qui ne contiendront que les différences partielles de la fonction perturbatrice relatives aux élémens de l’orbite elliptique # multipliées par des fonctions de ces élémens indépendantes du temps , conformément au théorème démpntré généralement dans le n° 1 7 , du livre IL
Nous avons vu les avantages de cette manière d’exprimer les variations des élémens de l’orbite elliptique dans la théorie des inégalités planétaires,
6g. Revenons maintenant à la question qui nous occupe ici , et déterminous par les formules précédentes les altérations de l’orbite de m dues à la résistance du milieu que cette planète est obligée de traverser*
Nous avons représenté par c~ f
</R d R . r dyf di 9 eS
Dü SYSTÈME DU MONDE. a79
qui sollicitent m dans le sens de ses coordonnées rectangulaires , on aura donc dans ce cas, n° 67 ,
rfR dsdx
dK
dt a * dy ? dl ’ ’ dz r dC
On voit que z étant de l’ordre des forces perturbatrices est une quantité de l’ordre du carré de ces
forces , on peut donc supposer « = o, ce qui donne
p = constant, q — constant ; c’est-à-dire que l’action du milieu résistant n’influe pas sur la position de l’orbite de m, ce qui devait nafurellement résulter en effet de la supposition que nous avons faite , que la résistance du milieu était une force qui s’exercait tangentiellement à chacun des élémens de la courbe décrite par le mobile.
En observant que l’on a
dx * -f- dy • -|- dz* = ds * , xdy — ydx z=s r*dv — dt \/a(i — «*).
Les valeurs précédentes donneront
dsdy */R
dsdz
de
</R </R ds f . r'dsdv
■ *-&-r7ï=-Pj?0'dx-*'/Jr)c=-t-3r‘
itR an, an ua , » , . iujik
rdr=xr*+?i}^—ï77- (xdx-^r4r)=-p sr
Ed substituant ces valeurs dans les formules (3) et (4), en observant que par les formules du mouvement elliptique on a
dK
ds
rdsdr
r%di> = 'a%ndt V i— e* ?
* 2 i I + e cos u
dt M df .. r « <z(i — ecosu) *
et a* n= i , on trouvera sans peine
, i /I -+• ecos K\
, oa = — ’ zacas l ) , •
r • \i — e cos u J 7
. • . , de = — ajccfo P^1 ~ e )- c-°-s— ~1 .
r L i — e cos « J
• , * , /t/ i-^ea siniA
ea<w •= — acoi' ( ) ,
. / . • . \ 1 — eco $u / 7 * .
.. cU *— tfor ( i — y/ 1 — e%)=ipds e sin u *
Oh peut, dans ees formules, substituer à la place de ds sa valeur en u , en sorte qu’elles se trouveront toutès exprimées en fonction de l'anomalie excentrique. En effet, on a
ndt 5= du ( f — e cos u) ,
d’où , en observant que — — = ==; a , on conclura
dsz=zadu \/i —e% cos* u • ‘
On aura donc ainsi .
* , > /(H-ecosw)-1
da = •— 2a*pdu\/ - — — : — - • *
•*. , r V i — e cos m
* ’ . , , A 4- e cos u
ae = — — e*) paa cos ai/— , "
' /r Vi — ecos u 7
sdco = — aa \/î ~ e'pdusinu %/
e cosw
e cos u
edé =: icipdu ( i — V1 — e* — £3 cos
-f- e co sm
ecos u'
En nommant Ç = /> ndt le moyen mouvement dans l’orbite elliptique, on a dans l’orbite troublée , n* 43, livre II * ’ • ....
d(=:— Zandt Jd'K.
On aura donc , par ce qui précède ,
dÇ=Sadu(l -ecosu)f (7)
70. Ces formules donneront les variations des élé— mens de l’orbite elliptique dues à la résistance du milieu que la planète est forcée de traverser. Pour les intégrer, il faudra supposer connue la loi de la densité du milieu , ou la valeur de p. On observera d’abord que la fonction p doit être supposée une très petite quantité , puisque les perturbations caüsées par la résistance du fluide éthéré sont elles-mêmes très peu considérables, ce qui permet de négliger son qprré et de regarder a et e comme constantes dans le second membre des équations précédentes ; on pourrait d’ailleurs , par des approximations successives, tenir compte ensuite des termes négligés.
La valeur de p , comme nous l’avons dit , sera eu général une fonction donnée de la distance r de la planète au centre du Soleil; et en y* substituant pour' r sa valeur a(t — ecobu), elle deviendra fonction de cos u. Supposons qu’après avoir
multiplié pàr \J cette fonction, on la réduise en série ordonnée par rapport aux cosinus de l'angle « et de ses multiples, et représentons cette série par • . > •
a8a THÉORIE ANALYTIQUE
A -f- e B cos u -J- <?* Ccos 211 4- etc.,
A, B, C étant des fonctions qui ne renferment que des puissances paires de e , et devant être regardées d’ailleurs comme des quantités positives , lorsqu’on suppose que la densité décroît en raison inverse de la distance au Soleil. Si l’on substitue cette valeur dans les formules (6), et qu’ensuite ou intègre , on en déduira très .aisément les valeurs de chacun des élémens elliptiques de l’orbite exprimées en séries ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de l’excentricité.
Si l’orbite s’écarte peu de la forme circulaire, en sorte que e soit une très petite fraction , en négligeant les termes dépendans du carré et des puissances supérieures de l’excentricité, on aura
*Sa = — aa*[Àn -f- e(A -f- B)siou] ,
Se — — aa[Asinu sin «)] ,
C —l an[Au‘ — 2<?Bcos« ), eSa> — 2a( Acos u -+• \ eB cos a«) ,
Se. — — a (Acos u -+* ~ eB cos 211).
On voit par .ces formules que la longitude du périhélie , ainsi que celle de l’époque , ne sont assujetties qu a des variations dont la période n’excède pas la durée d’une révolution de la planète; il en serait de même relativement à l’inclinaison de l’orbite et à la longitude du nœud, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice ; si l'on ne considère donc que les inégalités qu’un long inter-
DU SYSTÈME DU MONDE, valle peut rendre sensible, on aura ’•
Sa = — 2aaAw, Se = — aeBw , £ = \anPiu\9
eS& — o, ^=0, Sp = o9Sq = oi
d'où I on doit conclure que la résistance du milieu n’altérera à la longue ni la position du plan de l’orbite , ni celle de, son périhélie ; mais comme A et B sont , par hypothèse , des quantités positives , elle fera décroître indéfiniment , et par degrés insensibles, le 'grand axe et l’excentricité. L’orbite se rapprochera de plus en plus de la forme circulaire , et il en résulter* une inégalité séculaire dans l’expression dé la longitude moyenne , et par conséquent dans la durée de la révolution de la planète. En effet, fndt -f-* dtantda longitude moyenne de laplhnète dans le vide, la variation du moyen mouvement fndt introduira
dans cette expression l’inégalité - anAwa. Ainsi donc ,
en vertu de la résistance du milieu, le mouvement angulaire de la planète s’accélère de plus en plus , et par conséquent le temps périodique diminue à chaque révolution.
Si l’oti considère les variations totales du grand axe et de l’excentricité pendant une révolution entière de la planète, onaura cTa= — Se= — 2ÆéB;r;
ainsi, par l’effet de la résistance du milieu, J’orbite se rapproche de plus en plus de la forme circulaire , tandis que la distance moyenne de la planète au Soleil diminuant continuellement , elle doit finir par atteindre la surface de cet astre.
Au j'este, si les espaces célestes sont remplis par
a84 THÉORIE ANALYTIQUE
un fluide très rare, aucune observation n’a indiqué jusqu’ici que ce fluide exerçât la plus Jégère influence sur le mouvement des planètes ; mais il serait possible qu’il eût une action sensible sur les comètes, à cause du peu de densité de la matière qui les compose , comme nous l’avons dit n° 40 , livre III.
71. Considérons donc maintenant le cas des orbites très excentriques comme celles des comètes. Si l’on n’a égard qu’aux, inégalités séculaires que la résistance du milieu peut introduire, dans le mouvement dè la comète ,, on pourra ne s’occuper que des variation§ du grand axe, de l’excentricité du moyen mouvement , puisque celles du périhélie et de la longitude de l’époque ne renferment aucune inégalité de cette espèce. Reprenons les deux premières formules (4) et la formule (7) , que nous écrirons ainsi :
cf a = — 2a% Ce duf~ — V 1 - — eacos* u "7,
J ' L.^/ 1 — e'ÿosa u . x „ —J.
* 2<a(i — e°) r J t ~^€ cos u J — : ; — rr-Ti
de — edui — — vi — e cos*« L
e • L.|/ i-e*co ¥u , -*
E2(i -j-ecosw) . r- •* “i
’JT=^U~ S 1 ~e‘COS‘“J-
Supposons qu’en développant en série ordonnée par rapport aux cosinus de l’angle u et de ses multiples la fonction
p (i -f- e cos u )
l/ 1 — e* cosa u 9
dans laquelle on substituera pour p sa valeur en.fonc tion de u , on ait . . , . - - * 1 •
DIJ SYSTÈME DU MONDE. z85
A -f- A'cos u A "cos 2M + etc. , et supposons que la fonction
1 t?'- p \/ 1 — e*cos*u\‘
développée de la même manière , donne la série suivante :
B -f- B' cos u + B" cos 2 u + etc;
en négligeant les quantités périodiques , on aura .
Sa = — 2/2a( 2A — B)z* , „ ,
Se — —
C = f afcÀ —
et pour déterminer les coefïïciens A et B, on aura ,
“ \ 1 f>du( 1 -f ecosu ) » ‘ '
• irj Q |/ 1
t* COS' U
, .B = — J pau y ï — e* cos* u.
Ces deux intégrales définies peuvent , à l’aide de transformations très simples, se ramener à ltf forme d’intégrales elliptiques dans un cas très étendu , celui où Ton suppose la loi de la résistance exprimée par une série composée d’un nombre quelconque de termes , et ordonnée par rapport aux puissances descendantes du rayon vecteur r multipliées par des coefficiens constans.
Prenons d’abord pour exemple le-cas le plus simple , celui où Ton suppose que la densité du milieu est la
même clans tous les points de l’orbite. On a généralement, n° 67, p=K <p , r étant le rayon vecteur de
la comète, et une fonction de r qui devient égale
à l’unité quand r= 1 , enfin K une constante qui dépend de la densité du fluide à l’unité de distance , et de la masse de l’astre en mouvement. Dans le cas que nous examinons, on a donc p =£= K, et , en observant que l’intégrale f ■ cos ggi entre les
J V 1 — e* cosa u
limites « = oetn = 7r, on aura
Ces intégrales doivent s’étendre, comme les précédentes, depuis n = O' jusqu a u='X; mais il est clair qu’on obtiendra également leurs valeurs en intégrant entre les limites u±=o et = eten ayant soin de doubler les résultats. Les expressions de A et B représentent alors des fonctions elliptiques de première et de seconde espèce; et, d’après la notation adoptée , on aura , n* 22 ,
