CHAPITRE VI
Perturbations des mouvemens des planètes dues a la
non-sphéricité du Soleil. . °
76.‘Dans la théorie des perturbations planétaires, nous avons regardé les corps célestes coétois pW" faitement sphériques; mais ils s’écartent. tous plus ou moins de cette ligure, en vertu de leur mouvement de rotation, qui a dû influer sur.. la disposition de leurs molécules supposées originairement fluides. H en résulte dans les mouvemens des planètes autour du Soleil et dans lès mouvemens des satellites autour de leurs planètes respectives des inégalités dépendantes de l’ellipticité du Soleil et de la non-sphéricité des planètes principales. Nous ne considérerons ici que les premières- inégalités , les a titres, trouveront leur place lorsque nous nous occuperons de la théorie des satellites. (!*■ ' '• "V , '• ' ‘
Si l’on nomme A l’ellipticité d’un sphéroïde dont la masse est M et qui diffère peu de la sphère, q le rapport de la force, centrifuge à la pesanteur à sou équateur, 0 la déclinaison de la planète m. relative à ce plan , et r son rayon vecteur compté du centre
DU SYSTÈME DU MONDE. 3a q
de gravité du sphéroïde, on aura, n* 36, livre !V,?V/r
V=" + "(jî- A)(coS‘8-i)
En nommant V la fonction dont les différences partielles prisés avec un signe contraire, ônt la propriété de représenter les attractions qu’exerce le sphé^ roïde M sur la planète m.
Supposons que ce sphéroïde soit le Soleil. Le premier ternie de l’expression précédente est célui qui se rapporte au mouvement elliptique et au cas où l’on regarde la masse du Soleil comme réunie à son centre de gravité. En faisant donc M=i, ét en observant que l’expression précédente de Y suppose que l’on prend pour unité le rayon moyen du sphéroïde, on voit que l’ellipticité du Soleil ajoutera à l’expression de la fonction perturbatrice R, la quantité
(*■-; ?)Ü-cos‘0)t’
h étant l’ellipticité du Soleil , D son demi-diamètre, q le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur solaire , et 0 la déclinaison de la planète relative à cet éqüateur, en sorte que si l’on nomme y l’inclinaison du plan de l’orbite sur l’équateur solaire, et 4 la longitude de leur commune intersection , qu’on désigne par v la longitude de la planète comptée sur le plan de son orbite, on aura
cos 0 = sin sin (v — 4-)î et par conséquent
3io THÉORIE ANALYTIQUE ‘
R = (h — \ ÿ)^— sin>[i — 2Cos2(v — 4)]} yr-
Nous supposerons très petite l’inclinaison du plan de l’orbit0 de la planète à l equateur solaire , ce qui permettra de négliger les quantités de l’ordre y%:i JSn faisant de «plus pour abréger . <v ; ; - • ^
on àur^
A: désignant un coefficient constant dépendant de l’aplatissement du Çoleil. . ^ f‘r- t . U4 .
Les formules de la variation des élémens ellip-r tiques, en négligeant l’excentrjçi^é de l’qrbite , donnent * j , , • < • * » > j;j. * - « •*
aa=^2a%d!K , — ^andtfd'W , dez=> 2
de = - ai«* (â) >,'^ = ' ... , •
En différentiant l’expression de R , on trouve V 4R • dR . , «DR <»<*• i.i
Ifa rrfr r1’ - de- ■ dr de , . r* de *
</r k dr,^.
dr d»~7“ . r4 A»
Par les formules du mouvement elliptique on a * r = û[i + ïe* — -ecos(ni + è — ,
d’où l’on tire
Dü SYSTÈME Dü MONDE. 3it
^=«|> — cos(n* + e — «)] ,
^ = — aesin(nt-f- e — a ) ,
et par conséquent V
«tu ;
*iR k* >* ' *' ’ v * ^ » :
-r-=— — .[e — co«(nt-+-»— »)][i+4eço*(/it+» — •)]= — ;[e-f-co*(n4-H— «)] - «c d3 ( t a3
Si l’on substitue ces valeurs dans les formules précédentes , et qu’on-les intègre ensuite, en nommant g la constante arbitraire jointe à l’intégrale f ri'R , on aura , aux quantités près que nous négligeons ,
J'a=2agt, Ç = — 3 agnt , cfs = ~ nt , h kk.
J*e =— cos(n£-H — a>), Ja>= ^n<-+- — esin(n*-f-é — co).
L’influence de la figure du Soleil introduit donc dans les expressions de là longitude de l’époque et du périhélie des termes croissant connue le temps , tandis que l’excentricité n’est sujette qu’à des variations-périodiques.
77. Les variations précédentes produisent des inégalités correspondantes dans l’expression du rayon vecteur et de la longitude vraie de m. On a dans l’orbite elliptique
v=znt -j-<;-l7,3fisin(ni -j- e — co),
En différentiaut cette expression par rapport à la caractéristique eT , on trouve,
/.e^=;(-+-£f'ë-f-jefesin(ne--f-é — <*•) — aee L»eos(nt-H a>).
Si l’ou substitue les valeurs précédentes dans cette
expression et qu’on néglige tous les termes périodiques, on aura , ,
JV = — ^3ag — 2 nt — e cos {nt -+• €*— «).
Si Ton veut donc que le moyen mouvement soit représenté par nt dans l’orbite troublé comme dans l’orbite elliptique, conformément à ce que nous avons dit n° gv, livre II, le [premier terme de cette valeur doit être égal à zéro, ce qui donne pour déterminer
la constante g, 3 ag — — := o y et par conséquent
On aura donc ainsi
' En différentiarit de même par rapport k ef la valeur de r , ôn a
* y • . ( 1 1 ■ i ii
— = — r^CCOS (7l£ + ê G?) — ei>œS&T\{nt^iyr+Cù.)
En substituant pour Sa, Se, et Soù , leurs valeurs * et négligeant les teçmes simplement périodiques, on aura ,
— = 5 — resin — a>).
a 3 aÀ , ar v '
^8. On voit donc que l’ellipticité du Soleil introduit des variations séculaires dans l’expression de la longitude et du rayon vecteur ; et ces inégalités ayant
DU SYSTÈME DU MONDE 3i3
pour diviseur le carré du demi-grand axe de l'orbite de m , elles seront d’autant plus sensibles que la planète sera plus rapprochée du Soleil. Par conséquent, si les variations précédentes pouvaient acquérir une valeur appréciable, c’est principalement dans le mouvement de Mercure que leur influence se ferait sentir. Supposons donc que jVÏ représente la masse de cette planète, et désignons par S celle du Soleil que nous regarderous comme un sphéroïde homogène, on a dans ce cas k — ~q; la valeur du coefficient A devient ainsi
; À- =?= | çD* ,1 ••
q étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur solaire , et D le demi-diamètre de cet équateur. Or, si l’on nomme m la vitesse angulaire de rotation du Soleil', la force centrifuge sous l’équateur sera to*D, - n" 16, livre I, et la pesan-
teur . D’ailleurs , en nommant a' le demi-grand
axe de l’orbe solaire , et n't son mouvement dans l’écliptique , on a , à très peu près, S = a'3ri‘; on aura
donc .
La durée de la rotation du Soleil , suivant les observations, est de 35^,417 ; la durée de la révolution sydérale de la Terre est de 365h56, les moyens mou- # vemens mt et rit sont réciproques à ces deux nombres. On a donc
m __ 365,256 ri 25,4»7 "
3i4 THÉORIE ANALYTIQUE
Le demi-diamètre du Soleil, observé dans sa moyenne distance à la Terre > est de i6'i',6> ce qui donne
Au moyen de ces. valeurs on trouve
logÿ = 5,5ao694o,
et le mouvement du périhélie , qui est égal à — t devient ainsi égal à
^ <7 sin‘ ( 16' 1 ",6) . ( .ni.
On a d’ailleurs
a( ssa 1 ,00000000 ,
En substituant ces valeurs dans l’expression précédente , on trouve pour le mouvement du périhélie produit par l’ellipticité du Soleil o",o 1 2 1 o5 1 . . . . Cette valeur ne s’élèverait guère qu’à une seconde en cent ans , l’inégalité correspondante de l’époque serait double de celle-ci ; ces variations sont donc à très peu près insensibles , et .elles deviendraient plus petites encore si le Soleil au lieu d’être homogène est composé, comme tout porte à le croire , de couches dont la • densité croit de la surface au ceutre. On pourra donc négliger l’effet de l’elliptiçité du Sbleil sur le mouve-
DU SYSTÈME DU MONDE. 3i5
ment en longitude de Mercure,* et à plus forte raison sur célurdes planètes plus éloignées du Soleil.'
79. Considérons maintenant l’influence de la figure du Soleil sur la position de l'orbite. 'Pour la déterminer , en prenant pour plan fixe celui de l'équateur solaire , et en changeant (p en y , «t a en dans les ^fiormules» (5) .et (6) du n° 43 ? livre II , on aura*
. ' » » ' /) ' J ’ l Jt l . t *V ' ‘ . * ,1 'Vf * 1 ' ’
- ««# (nSÿ)’ : d>=-andt(s£dù- •■■■
La valeur de R, en y conservant les termes dç l’ordre >% devient . - .
R “ l sin*>[i— 2Cos2(c* ^-4)}} »
d’où l’on tire
dR
sin ydy
■’ dR '
Sinycfy
^[l — 2COS2(p— 4)],
= -^5. sin y sin 4 )& ‘
-Si l’on substitue ces valeurs dans les formules précédentes , et qu’on intègre en observant que nous négligerons ici les excentricités > ce qui permet dé
faire rzsza ej. •+•€, onsaura • . f • • . >
cT0 = — -t \nt — sin a(nt + t — 4)3*
Sy = ~i sin^cos2(wf + t — 4)3*
On voit par ces équations qu’en vertu de l’ellipticité du Soleil , le nœud de l’orbite de la planète sur
3i6 THÉORIE ANALYTIQUE
l’équateur , solaire est sujet à un mouvement rétrograde qui est égal au mouvement direct du périhélie, du moins tant qu’on néglige les quantités de Tordre . L’inclinaison au5 contraire , comme l’excentrieité, n’e$t soumise qu a des inégalités périodiques. Il suit de là que I ellipticité du Soleil n ajoute rien aux équations^) et (p) des nos 65 et 69 du livre II , et qu’elle n’altère point, par conséquent, la stabilité du système du monde , ni l’invariabilité du plan que nous avons nommé plan invariable dans le n° 79 du même livre. * * ' - , *• 1 i
La valeur de gTÔ introduit dans l’expression de la latitude s de m rapportée à l’équateur solaire la variation séculaire ' ‘ *' j v
= — sin y cos ( nt -f- e — 4 ). •
Mais cette variation, comme celle du nœud de l’orbite , est insensible , d’après ce qu’on a vu pour Mercure , et à plus forte raison pour les autres pla- . nètes.
II est clair que les formules précédentes s’appliqueraient également à la Lune , et donneraient les inégalités de son mouvement dues à la non sphéricité de la Terre ; ces formules feront connaître, en général, l’influence de la figure des planètes sur les moUvemeris de leurs satellites.
Dü SYSTÈME DU MONDE.
