CHAPITRE Y II

De 1 action des étoiles sur le système plaiiétaire.

r 6a. On peut considère* les étoiles comme des astres séparés de nous par des espaces immenses et qui sont absolument immobiles » dans le ciel, ou animés du moins de mouvemens d’une extrême lenteur. Déterminons l’influence que de pareils corps doiyent exercer sur notre système planétaire.

.Soit/n' la masse d’une étoile; en désignant comme à l’ordinaire par R la fonction perturbatrice qui ré*; suite de son action, on a, n° i , ;t

jc'9 jr\ z\ étant les trois coordonnées rectangulaires de m' rapportées au cèpfre du Soleil, r'sa distance à ce centre, et x , jr, z , r, désignant des quantités analogues relativement à m. \ f - ; .. i, ^ ,,,

Prenons pour plan fixe celui de J’orbite de, la pla^ nète à une époque; déterminée ; en nommant v sa longitude, et s sa latitude^ au-dessus du plan fixe > et négligeant les quantités de l’ordre du carré de s 9 on aura , ! * • • ■*. *• * - -#r * *:

x — rCosv, y = rsinv, z = rs.

Soient a la latitude de l’étoile, et € sa longitude, on aura

x' = r' cos Q cos a, y =x r' sin£cosa, z = r'sina. La substitution de ces valeurs, donne ,

yy.+ri —à r/froi a co»( v — C,i-+-.«i i*a]

rr/[co5acos(i'-f,4-jsiD<t] i

■■V .> Vf U ■ ~V

La distance des étoiles au Soleil étant très grande, relativement à celle des planètes , si l’on développe cette expression par rapport aux puissances descendantes de r!f et qu’on néglige celles qui seraient audessous de r'3, on trouvera ; r.- iu auiorq

r' ' ■ 1 ‘ ° ‘ 1 l'OIiiti-

R — — 7-7- {a — 3 ço»* «[1 +cos a'v — CJ] — &j sin la. cps (f — C)}, («*)

r 4r» ». ■*« ■ 'Us ft'i',1,/

s étant dne quantité taès |>étité qui dépétid dé Tattion des planètes, sut m, ëf qiri est de lordre des forcés perturbatrices, on peül la négliger lorsqu’on ne cdrisidère que les variations des élémens de Fbrbite de m qui ne contiennent pas - les différences de tt relatives à cette quantité ; on aura ainsi

••UlV “ i ■ I O ;[ •; •; 1 . , t

R =s= — ypr- [2 — 3 cos*ct — -5 cosru cos 2 (v — ff)J. y

r7, ainsi que a et £, dépendant des déplacemens de l’étoile, et fie variant par conséquent qu’avec une extrême dewteur, on pourra les regarder comme des quantités donnantes , pendant un grand (KrtoWre dé

siècles.'’’ O nf- MÎ-.f/l ‘>b » >|

Par les formules du mouvement elliptique, ona

DU SYSTÈME DU MONDE. 3t$

r-= i + ^ e* — ecos(n<-f-€ — u>) — ^e'cosa (ret-f-e — a),

v =n£ -J- « -j- ae sin (n£+ e — «)+ 7 e* sina(n£-f-e — a),

en négligeant les cnbes des excentricités, et dans la valeur de v, les termes dépendans du carré de s.

De là il est facile de conclure

— = » -+-^e*-aecos(ni-f-6 — tv) — -e‘cosa(n£-{-e — a)

cosa(i>-C)=(i-4c*)c6s2(n£'4-£-£)-2ecas(ni-t-É-f-û>- 2<?)

+^e*cosa(û» — 6)+etc. .

Si l’on substitue ces valeurs dans l’expression de R, en ne retenant que les termes indépendans du temps, on trouvera

R~“3 — 3co#!«) — -^c» C06* icnt%(m - ©Jj.

d’où en différentiant et en nommant, pour abréger, R,, le second terme de la valeur précédente, on tirera

JR da

JR

de 4 r'

Par les formules de la variation des élémens elliptiques, en négligeant les carrés de l’excentricité de l’orbite, on a, n° 42» livre II,

. * = i aeSR - amk (£),

v dw = undt ,

.iTi JR i5m'a‘et . ,

a — = — ^R,, = yr~ eos^asm a(û> — £),

3m a,° [2 < — 3 cos*a — 5 cos*a cosa(« — £)] .

Lorsqu’on ne considère, comme nous le faisons, que les Variations séculaires, 6n peut supprimer le premier terme de la valeur de de, parce que l’intégrale f d! R ne produit que des inégalités périodiques et un terme constant. D’après les formules précédentes, on aura donc, en intégrant

i5m'asnt

ecos*a siua (a>

— 1 3 fTt (2 Tlt p- <7 m . / , fi I

a> = — [a — • 3 co6*a — 5 ços*acos2(ai — b)J.

L’excentricité de l’orbite pourra donc croître progressivement en vertu de l’action des étoiles, et le périhélie aura un mouvement séculaire rétrograde ; mais comme le diviseur r'* qui entre dans les valeurs précédentes, est très considérable à cause de la distance des étoiles, il faudrait supposer à m , qui représente leur masse, une valeur excessivement grande pour que ces variations pussent devenir sensibles.

8 1 . Considérons maintenant les variations séculaires du moyen mouvement et de l'époque. En observant

i • ' > JO \ Il

que la partie constante de la fonction ~ étant déjà

multipliée par e, la fonction e ^ serait de l’ordre du

carré des. excentrici^s , quantités que nous! négligeons, on aura pour les déterminer . , , > , ,,

d( = — Nantit f R , dt — — icdndt

En nommant donc, comme précédemment, g la constante ajoutée à l’intégrale fdK, et en substituaut

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DU SYSTÈME DU MONDE. 3a,

pour a ^ sa valeur, ces formules donneront en intégrant

Ç = — 3 angt, Se == — 4 antRr

On aura donc pour l’expression de la longitude moyenne

/ ndt -f- Se ni ( 1 — 3 ag — 4^/)-

Pour que le moyen mouvement soit représenté par nt dans le mouvement elliptique et dans le mouvement troublé , il faut qu’on ait 3 ag — — 4 æR; , ou bien , en remettant pour R, sa valeur et négligeant le carré des excentricités,

3 ag — -pg- (2 — 3 cos* a) .

La variation du grand axe est donnée par l’équation Sa = za'/d'K — 2a*g; on aura donc

Sa = — 3cos*a), <

ma'nt . - .

K — pr- (2 — 3 cos* a)..

Les valeurs précédentes de r et de o , en les différentiant par rapport à la caractéristique S, négligeant les carrés des excentricités, et en observant que la variation de la longitude moyenne est nulle par ce qui précède , puisque nous ne nous occupons ici que des variations séculaires , donnent

S - = — Secos(nt-\-e — ct> ) — eSco sÀn(nt-\- e—cû) ,

cfv =2efesin (n£-f-é — a») — -leSc* cos — a).