Considérons maintenant les perturbations qui

résultent de la même cause dans la position du plan

de l’orbite. En nommant <p l’inclinaison de ce plan

mobile sur celui de son orbite primitive, et fl la

longitude de son nœud ascendant , on a

/A\ <m — andl /A\ *n*W' ab — iïw{jïJ-

L’expression (ro) de R donne, en diffe'rentiant,

^ ___ ^R ds JR dK ds

dq ds dç* ~Ft> ds dî >

J étant le sinus de la latitude de m au-dessus du plan fixe, on a ’ v r

s = sin ^ sin (p — fy;

d’où l’on tire

% = cos <p sin (t* g), * = - sin p cos (y — 0).

On a d’ailleurs

dK 6m' a% . '

KF ~ "JF7* Sln 2a cos (y — £); on aura donc JR 6m' a? . .

dj— sm 2asin(p — 0) cos(p— . ■'

JR 6m' a* «

dï l^nr «n <P sip 2* cos (y— 0) cos (p— £ ). '

En substituant ces valeurs dans les formules précédentes, et en intégrant ensuite, en négligeant les excentricités, ce qui permet de supposer p— ■ ~nt-\- ç on aura > - . • . ■ ^ .

• ■^7T*lna*| C05(® — 0 + - sin (int -f. i, g q f

siD<prfc=--pr «n ^nt sin (9 -,C)+ i co»(v,t + a, g C) j.

L’inclinaison de l’orbite est donc sujette à une varia-

tion séculaire , et le nœud à un mouvement rétrograde sur le plan fixe ; c’est l’effet le plus sensible de l’action des. étoiles sur le,. système planétaire , puisqu’on voit en effet que les expressions précédentes sont les seules parmi les variations oculaires résultant de cette cause, qui soient indépendantes de

l’excentricité de l’orbite..-

En différentiant , par rapport à f , l’expression de la latitude , et négligeant les termes dépendans des excentricités et du carré des inclinaisons, on a

J' s = JNpsin (ni -H — 0) — sin <p<T0 cos (nt + e — ô;.

En n’ayant donc égard qu’aux variations séculaires, en vertu des valeurs de cT<p et sin <pd 0 , on aura .. -

3 m'a*nt

siu 2ût sin (nt -f-

Cette variation séculaire du mouvement en latitude , surpasse, comme on voit, celles dù mouve— ment en longityde et du rayon vecteur; elle sera d’autant plus sensiblë, que la moyenne distance de la planète au Soleil sera plus considérable, mais son diviseur est lui -même si grand, qu’il est évident qv’elle ne saurait devenir appréciable qu’après un

grand nombre de siècles..

Supposons par exemple, /que m soit la Terre, d’après les suppositions les plus vraisemblables sur la distance des étoiles, r' ne peut être au-dessous de joooooa, en faisant donc a — i et /ï = 129^97 7 35, la

quantité sera moi[ulre tIne «''.00000000097,

ainsi le terme précédent dé la valeur de fs n’excé-

DU SYSTÈME - DU MONDE. 3s5

dérapas • ; ' *• ... • •î’'

t désignant un nombre d’années juliennes, en sorte qu’il faudrait supposer aux étoiles ,une masse cent fois plus grande que celle du Soleil, pour que cç terme pût s’élever à i o7 dans un million d’années..

Il en serait de même, à plus forte raison», relative-

ment au rayon vecteur et à la longitude. On# peut donc regarder, quant à présent, l’influence des étoiles sur le mouvement des planètes, comme absolument insensible.

Concluons donc que l’action des étoiles sur le système solaire introduit, à la vérité, des variations séculaires dans lps excentricités et les inclinaisons des orbites des planètes, et que comme ces inégalités ne satisfont pas aux équations de condition (e)èt(p), n°® 65 et 69, livre II, il s’ensuit que la stabilité du système planétairé n’existe plus relativement à cette cause perturbatrice. Mais à raison de l’extrême éloignement des étoiles, les effets qui en résultent seront probablement toujours inappréciables , . et dans tous les cas ils ne pourront se manifester que dans des temps trèséloignés.

Nous ne terminerons pas cet article sans faire remarquer encore une fois combien la méthode de la variation des élémens elliptiques que nous avons employée dans ce chapitre et dans celui qui le précède est supérieure , pour traiter les questions du genre de celles que nous avons considérées, à l’intégration directe des équations du mouvement troublé. Nonseulement cette méthode donne, de la manière la

plus simple , toutes les inégalités du mouvement de la planète en longitude et en latitude , mais elle a seule l’avantage d’indiquer clairement l’influence de la force perturbatrice sur chacun des élémens de son orbite , et d’offrir ainsi le moyen de remonter aisément des effets aux causes, au milieu de toutes les influences diverses qui compliquent les mouvemens

planétaires^ w